Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Теорема о компакт ности поляры и субд и ф ф е р е н ц и а л а. а) Пусть А — открытая окрестность нуля в К«. Тогда поляра А компактна. 6) Пусть р — непрерывная сублинейная функция на К«. Тогда субдифференциал р — выпуклый компакт. Если р — замкнутая сублинейная функция, то др — замкнутое выпуклое множество. Оба этн результата о компактности тдопускают бесконечно- мерные обобщения. Их доказательства приведем в п. 8.1. В конечномерном случае все совсем просто.
<3 а) Мы уже пользовались тем, что поляра — выпуклое, замкнутое множество. Если шар В(0, г)=(4!х~~т) содержится в А, то для поляр имеется обратное вложение. Но (В (О, т) ) а= =В(0, г'). Итак, Аа — ограниченное замкнутое множество, в (с', т. е. компакт. б) Пусть р — непрерывная сублянейная функция.
Всегда можно считать, что Ръб (вычнтая, если это не так, линейную функцию из субдифференцнала). Пусть М=шах(р(х) ~ )х~ = 1). Тогда в силу однородности р(х) ~М)х~ =:ро(х)Ух н, значит, дрс:дро(х) =В(0, М). Замкнутость др очевидна, откуда (в случае. непрерывности р) др — замкнутое ограниченное множество, т. е. компакт.
1.5.4. Выпуклое исчисление. В п. 1.5.2 были введены операции над выпуклыми объектами (суммы, конволюцнн н т. п.), а затем — операторы двойственности (сопряжение Функций и конусов, поляра, д, з). Выпуклое нсчнсленне составляет набор формул такого рода. Пусть выпуклый объект составлен, скажем, из двух объектов с помощью некоторой операции.
Требуется выразнть двойственный оператор от этого объекта через двойственные операторы от составляющих. В этом отношении выпуклое исчисление сродни дифференциальному. Формулы выпуклого исчисления делятся на два класса. Одни верны всегда, н тогда пишем =, другие — при выполнении определенных условий. Тогда пишем ы. Приведем таблицу основных формул. 1. Исчисление преобразования Лежандра — Юнга — Фенхеля: 1.' И~91~) *=Ь "+1~'.
3. 0~сомо) '=1!*Уй'. 2 (1~+6) ~ы)1~91оо. 4. (11У1о) м11~соЛ1оР 11. Субднфференцнальное исчисление: 1 д(Р1+Ро)ядр,+др, 2. д(РИро)вкдр1соЦдрь П1. Исчисление поляр: 1. (А +Ао)а=А о1+1Аоо. 3) (А~ПАо)амА асо()Аоа. 2) (А,(+~ Ао)омА,о+Аоо 4. (А1со()Ао)а А1опАоа 1Ч, Исчисление опорных функций: 1. з(А,+А,) =зА,+зА,. 2. з(А~ПАо) мзА,ЮзАо(оизА~соЛзАо) 3. з(А1со()Ао) =зА,~/зАо. Из формул 1 — !Ч и соотношений Кь= — Кь, с'."='с".ь вытекают очевидные соотношения для аннуляторов и сопряженных конусов: (! ~+1.с) '=(-с ЧУ.т'. 2. (1.~Й!.с)~а1.~~+).с~.
~у с ' с В формулах 1.1 и 1.2, 11!.1 и 1П.2 раскрывается смысл и значение операций конволюции для функций и множеств. Приведем доказательство двух важнейших формул из приведенной таблицы. Формула Моро — Рокафеллара. Пусть р, и рс— сублинейные функции, из которых р, непрерывна, а рт замкнута. Тогда д(р,+рг) =др,+дрь <3 Если уепдрс+дрь т. е. у — '— ус+ум уседрь с=1, 2, то (х, ус) (рс(х)Чх. Тогда (х, у)к:(рс+рг) (х)Чх, т.
е. у~д(рс+ +рг) =ьдрс+дрес:.д(рс+рс). Предположим, что дрс+др,+д(рс+рг) и фяд(рс+рг)',(дрс+ +дрс). В силу теоремы компактности др, — выпуклый компакт„а дрз — выпуклое замкнутое множество. Тогда, очевидно, дрс+дрг — замкнутое выпуклое множество, и'по второй теореме отделимости можно найти элемент х, такой, что зпр (х, у,+у,)» (х, у). усеарс Но по опРеделению зцР ((х, У,+Ус) ) ! УсЯдРс, с=1, 2)чьздРс (х)+ +здрг(х)= (по теореме двойственности г)) =Рс(х)+Ре(х). Получилось, что рс(х)+рт(Х) <(х,у). Это противоречит допущению о том, что бенд(рс+Рз). ~> Формула Дубовицкого — Милютина.
Пусть рс и рг — непрерывные сублинейные. функции. Тогда д(рс ~/р,) = со (др, () др,). ( < Если уенсо(др ()др ), т. е. у=ау +(1 — а)у„у, андр,, с'= = 1„2, 0»а»1, то (х, у) =а(х, у,)+(1 — а) (х, у,)»ар,(х) + +(1 — сс) р,(х)»(р Чрь)(х), т. е. со(др,()др,) ~д(рс'с)Рь). Предположим, что со(др, ()др,) чад(рс !)Р,) 1и у ен д(РДрг)~со(дрс ()др,). Из непрерывности рс и теоремы о компактности следует, что др; — компакты.' Но тогда выпуклая оболочка объединения со(дрс()дрг) — компакт, т. е.
замкнутое множество. Следовательно, по второй теореме отделимости можно найти элемент х, такой, что а: = зцр (х, ау,+(1 — а)у,)»(х, у). аерьсв ьсебРс с=кь! 40 Из определений сразу следует, что а: = зцр (амУр, +(1 — а)здр,)(х) ае!а.д = (по теореме двойственности г)) = зцр (сср,(х)+(1 — а) р,(х)) = ае!о,п =д(р, )/р,)(х). Это противоречит допущению о том, что у~д(р, ~/р,). > 'Для выпуклых функций имеются аналогичные формулы.
Если ), и ):г — выпуклые замкнутые функции, причем )1 непрерывна в некоторой точке х, где 1з конечна, то для любой точки хенй" дЦ,+Ц(х)=д~,(х)+д~,(х) Если ~~ и 5 — выпуклые и непрерывные в точке х функции, причем 1,(х) =!г(х), то д (~Д~з) (х) = со (д~, (х) Д д~,(х)). Обе формулы — Моро — Рокафеллара и Дубовицкого — Милютина (для выпуклых функций) — допускают бесконечномерные обобщения. Приведем формулировку обобщения последней формулы. Тео р ем а об очистке (для субдифференциалов). Пусть Т вЂ” компакт, 1:ТХК"-~"!1 — функция, обладающая следующими свойствами: а) ! (1, ° ) — выпукла и непрерывна на 1( У1~Т; б) )(, х) — полунепрерывна сверхутеяЯ".
Положим Т (х) = так ! (1, х), у ен дТ (х). Тогда существуют с<а+ 1, сет т, ~ Т, такие, что 1(то х)=У (х) у, ен д„~(то х) и у я со (у„..., у,). Доказательство этой теоремы см. в п. 8.2. Э 2. ГЛАДКИЕ ЗАДАЧИ С РАВЕНСТВАМИ И НЕРАВЕНСТВАМИ. ЗАДАЧИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В этом параграфе выводятся необходимые условия экстремума для гладких и выпуклых задач с ограничениями типа равенств и неравенств. Материал этого параграфа базируется на стандартных средствах алгебры и анализа. Одна нз основных теорем (п. 2.4) доказана сразу в общем случае, но понятно, как она может быть изложена в конечномерном варианте. Основные результаты этого параграфа обсуждаются еще раз во второй части (см. п.
9.1 и 11.1). 41' 2.1. Задачи без ограничений 2.1.1. Экстремумы функций одной переменной. Пусть 1:Й-~- -~К вЂ” функция одного действительного переменного. Рассмотрим задачу об отыскании экстремумов этой функции 1(х) -~.ех1г. (з) Теор ем а 1 (Ферми). Если Х вЂ” точка локального экстремума функции ( и ( ди4ференцируема в точке Х, то ~'(Я) =О. Доказательство теоремы Ферма проходится сейчас в школе, и здесь его не повторяем. Теорема Ферма дает необходимое условие 1 порядка для существования локального экстремума. Сформулируем условия 1 — П порядка. Теорема 2. Пусть функция 1' дважды ди4ференцируема в точке Я.
Необходимые условия экстремума: если У— точка локального минимума (максимума) функции 1, то 1(2) =О, 1-(2) ~О (1"(2) ~О). Достаточные условия экстремума: если ~'(2) =О, 1" (Х) )О (("(2) <0), то Х вЂ” точка локального минимума (максимума) функции 1. Доказательства теорем 1, 2 будут даны в п. 2.1.2 для более общего случая. В одномерном случае можно дать почти исчерпывающий анализ вопроса о том, является данная точка х локальным экстремумом или нет.
1 Теорема 3. Пусть 1 — 4ункция одного «еременного, о«- ределенная в некотором интервале, содержащем точку У и л раз, дифференцируемая в точке А Необходимые условия экстремума: если Х есть точка локального минимума (максимума) 4ункции ~, то либо )'(2) =...=1" (Я) =О, либо 1'(х)=... =1 ' ' (х)=0, 1' '(х)~0 (1' '(х) 0) (1) «ри некотором т«~1, 2т~л. Достаточные условия экстремума: если вылолняется условие Щ, то х — точка локального минимума (максимума) функции ~. <1 По формуле Тейлора для и раз дифференцируемой функции в точке х имеем следующее разложение: 1(х+х) = ~' хь+г(х), — -«О при х-~О. , )он(') г (х) 2~ и Л~ а-о Необходимость прин=1 следует из теоремы Ферма.
Пусть далее п).1. Тогда либо 1'(х) =... =1~"~(х)=0, либо 1'(х) =... ..:= Г" "(х)=0, ~'п(х) та О, 1(п. Возможно одно из двух: 1— нечетко или 1 — четно. В первом случае положим ~р($)=1(х+)т'$), йенй. Тогда <рЯ)=1(х)+ ~ — ($' +т(М 3) (т ()~$))хь -~0 ь 1 при й- 0) — дифференцируемая в нуле функция. Поскольку хы ен 1осгп!п1, то 0 ~ 1осппп<р. По теореме Ферма ~р'(0)=1~" (х)1Й=О.
Противоречие показывает, что 1 должно быть четным: 1=2пг. Поэтому из формулы Тейлора 1(х+х) — 1(х)= х'"'+т,(х), — '-ьО при х-ь О. Гь"1(х) т,(х) (2т)! х ь' Так как 1~~ ~(х) ~ О, то 1~~~(х)) 0 при х ~!осш!п1' и Тч~~ (х)с..'0 при х ен 1остах1. Достаточность. Поскольку,Ц'(х) = ... = 1' ' (х)=0, ~Р~"~(х)~0, то по формуле Тейлора 1'~' (х) тх (х) Р(х+х) — 1(х) = " х""+т,(х), —,„-ь 0 при х-и-О. (2т)! х Следовательно, если 1~~~ (х) ) О, то 1(х + х) — '1(х) ~ 0 при достаточно малых х, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
