Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 4
Текст из файла (страница 4)
4, Отыскать решения среди всех критических точек или доказать, что решения нет. В заключение приведем те три примера, о которых говорилось выше. П р и м е р 1 (показывает, что в правиле множителей Лагранжа не всегда можно полагать Х,=1). /з(х> хэ) =х> 1п1; />(хь х>) =х>з — хзз=О (Х=Кэ). Функции /э и 1~ непрерывно дифференцируемы. Легко понять, что решение задачи х=(0, 0). Если прямо следовать Лагранжу, то надо составить сумму 2'=х~+Х(х~з — хээ) и далее ре>шать уравнения Я,=О, Я„=О~»1+ЗА,=О, — 21х,=О. Но эти уравнения несовместны с уравнением связи х>з — хат О. П р и м е,р 2 (показывает', что экстремум функции Лагран-, жа как задачи без ограничений может не совпадать с экстремумом исходной задачи с ограничениями).
/0(хь х2) =ха — х~ >ш1; /~ (хь хг) =х~+х~з=О (Х= К~). Ясно, что решение задачи х= (О, 0). Функция Лагранжа: .2'=Ха(хэз — х,)+Х(х,+х~з). Необходимое условие экстремума: .Мк> =0> Я~>=Ось — Л>+Х(1+Зхз) =0> 2Л х =О. Если Х>=0, то АФО, и, следовательно, 1+Зх~з=Π— противоречие. Значит, )о~О. Полагаем )о=1. Тогда функция Лагранжа примет вид я=хээ — х~+) (х~+хР).
Однако ни при каких Л эта функция в точке 2=(0,0) не имеет даже локального минимума. П р и м е р 3 (яоказывает, что принцип Лагранжа при несоблюдении .определенных условий может приводить к неверным результатам). Пусть Х=У-1м /(х) =х,+хэ/2+... +х„/и+ ..., Р(х) = (хь хз/2,..., х„/и,... ) (х (хь хв...,х„,...)). 15 Рассмотрим задачу 1(х)- (и(; г" (х)=О. Здесь х=О есть единственный допустимый элемент, следовательно, он и является решением задачи. Если предположить, что существуют множители Лагранжа Хаят и у~а1ь неравные одновременно нулю и такие, что для элементарной задачи Я=101(х) +(у*, Р(х) )- ш1 выполнено необходимое условие минимума 2'(х, Хм у*) (теорема Ферма), то Я, (х, Х„у') = ОеьХ, = — у„..., 3„= — у„,..., где у*=(уь..., у„,... ) ен(м поскольку 1з' нзоморфно 1з (КФ, с.
177). Но этн условия противоречивы: либо Лээьб, тогда у*= ( — Хе,..., — Ам...) Ю1м либо Хо=О, тогда у*=О, т. е. оба множителя Лагранжа равны нулю. Здесь 1э — пространство всех последовательностей х- (хь..., х„,... ), для которых СО !)х(~п= (Я ~х„~*)'~'«-со, 1э — пространство, сопряженное к 1з (КФ, с. 177).
Часть 1 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ $1. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА Построения общей теории экстремальных задач, а также основных разделов варнацнонного исчисления н оптимального управления требуют рассмотрений в нормнрованных и банаховых пространствах. Однако важнейшие фрагменты теории могут быть проиллюстрированы в евклидовом пространстве 11". В первой части этой книги, где возможно, ограничиваемся конечномерным случаем.
Сводка всех необходимых сведений из функционального анализа, дифференциального исчисления н выпуклого анализа (с полными доказательствами) содержится во второй части ($7 н 8). Здесь же мы используем лишь необходимые элементы бесконечномерного анализа, уделяя преимущественное внимание простейшему, конечномерному случаю. 1.1. Нормированные и банаховы пространства 1.1.1.
Пространство й". Пространство й" — пространство п-мерных векторов 11"=(х-(хь..., х„) 1х;енй, 1 1,..., п). Векторы из 11" можно складывать (по правилу: х=(х„...,х„), х'=(х',,...,х'„)=:-х1+х',=(х,+хь....,х„+х',)) и умножать на вещественные числа (по правилу: 'х=(хь..., х„), 'АыЙ=:-лх= =(Ххь..., Хх„) ). Вектор 0=(0,..., О) называется нулевым вектором. Это превращает К в линейное пространство. В пространстве 11" обычно вводят расстояние следующим образом: и х=(х„...,х„), х'=(х'„..., х„')~ а(х, х')=( у (х; — х,'.)'Г~, ~см Это расстояние называют евклидовым. Его можно выразить через евклидову норму: (х~: =(~," хэ)1п 1 по формуле й(х, х') = ~х — 'х'~.
Евклидова' норма, как это нетрудно проверить, удовлетвоРяет таким соотношениям: а) !х(ъ0 для всех хаий" и ~х~- 17 =0<=»Х=О; б) ~ах~=!а~ (х~ для любого х из 11л и любого а из й; в) ~х+х'~ «~х(+~х') для любых х и х' из йл. Функции, обладающие подобными свойствами, называют нормами, а линейные пространства, оснащенные нормами, называют нормированными пространствами (точные определенля в следующем пункте). Нормы в Кл можно определять по-раз лому. Например, по формуле 1Х$~=Д )Х1~»~м (1<р<са) 1-.1 или по формуле Йхй = щах ~х1).
1«1«л Введение нормы дает возможность найти расстояние по формуле с((х, х')=1х — х'(~, определить, что такое открытые н замкнутые множества, сходимость и т. п. 1.1.2. Определение и примеры банаховых пространств. Линейное пространство Х называется нормированным, если на Х определен функционал (! !): Х- 11, называемый нормой и удовлетворяющий условиям: а) ЗХЗ>0 УхепХ и 1х!)=0»»Х=О; б) 1ах1!=~а~1хз Ус»еп)1, УхепХ; З) ЗХ1+ХЗ)(«ЗХ11+ 1хт(! Ух1, Х»Е=Х.
Иногда, чтобы подчеркнуть, что норма задана именно на Х, пишем Й.!~х. Две нормы в Х З ~(1 и 1 1з называются зквивалентными, если существуют такие положительные константы С1 и Сь что С, ~(х11« ~(х1»«С»(~х11 ЧхепХ. Всякое нормированное пространство становится метрическим, если в нем ввести расстояние й(х„ хз) =зх1 — х»1. Последовательность (х ) точек метрического пространства Х называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т.
е. если для любого е>0 существует такое чис- ЛО У„ЧтО й(Хл, Хл ) < З ДЛЯ ВСЕХ и'>)т'„Пл>1»'.. Если в пространстве Х любая фундаментальная последовательность сходится, то зто пространство называется полным. Полное относительно введенного расстояния пространство называется банаховым пространством. Примеры банаховых пространств 1. Конечномерное пространство 1 ", состоящее из векторов л х=(х„...,х„)еп1(л с нормой ЦХЦ =(~~' !Х1/Р)'~~, 1<р< со. 1=-1 2. Пространство С(К, 11л) непрерывных вектор-функций х( ):К вЂ” «Кл, заданных на компакте К, с нормой 11Х( )~~»лл =щах (х(1) ~.
1ЕК 18 З. Пространство С'([1о, 1!), К'*) г раз непрерывно дифферен- цируемых вектор-функций х( ): [1о 1!). К", заданных на конеч- ном отрезке [1о, 1!)~К, с нормой [[х(.) [[,=~п!ах([[х( ) Цы..., [[х!'>( ) [[е), 4, Пространство 1м состоящее из последовательностей х= =(х!,...,х„,...,), для которых ~ х[(со, с нормой, зада.- ! — — 1 Ю ваемой формулой [[х[[ = Д х!) ' 1=! 1.1.3. Произведение пространств. Пусть Х и У вЂ” т нормиро- ванные пространства.
Декартово произведение Х)(У можно превратить в нормированное пространство, введя норму' [[(х, у) [[к„к=птах ([[к[[к, 1у1т) (легко проверить, что все аксиомы нормы выполняются). Воз- можны и другие эквивалентные нормировки. Отметим очевидное утверждение: декартово произведение банаковых пространств банахово. 1.1.4. Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Совокупность Х' всех линейных непрерывных функционалов. на Х образует сопряженное к Х пространство. Оно является банаховым пространством относительнонормы )х'1к = зпр (х', х)„ !ь!)х< ! где (х~, х) означает действие на х функционала хм [Кф, с.
171). Пространство, сопряженное к конечномерному пространству К", изомоРфно К". Скалярное произведение двух. векторов у=(у!,...,уп)~К" и х=(х!,...,х,)~К" представл и ляется в виде суммы (у, х) =Я у,х,. Так же сумма )! у,х, бу! ! 1 дет обозначаться нами просто как ух, если уенК"*, х~Кп; при этом следует х считать столбцом, у — строкой (и тогда ух есть не что иное, как произведение матриц). Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства и Лен ~Ы(Х, У) — линейный непрерывный оператор из Х 'в У. Тог- да можно определить сопряженный оператор Л*: У вЂ” Х*,, такой, что (у, Лх)=(Л* у*, х) тхенХ [КФ, с.
217), Для линейного непрерывного функционала на произведении пространств имеет место следующая очевидная Л е м м а. Всякий функционал Лен (ХХ У) ' однозначно. представим в виде (Л, (х, у)) = (х', х) + (у*, у), где х' ен Х' н у" ен У". 1.2. Некоторые теоремы из геометрии и функционального анализа 1.2.1. Теоремы Вейерштрасса о достижении максимума и минимума. Чаще будет использована следующая основная 19 Теорем а Вейерштр асса. Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве конечномер.ного пространства достигает своих абсолютных максимума и минимума (15, т. 1, с.
2351 Выделим простое следствие из этой теоремы, которое часто ~ будем использовать. Следствие. Если функция 1 непрерывна на К" и 11ш 1(х)= +ьь(11ш 1(х)= — оо), то 1 достигает своего абсс- ~4 ~к~-к лютого минимума (максимума) на любом замкнутом подмнс-; жестве К". Напомним, что множество А в метрическом пространстве ьй называется компактом, если из всякой последовательности элементов из А можно выбрать сходящуюся к элементу из А под- ~ последовательность или (равносильное определение) если из всякого покрытия А открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Ограниченное и замкнутое подмножество конечномерного пространства является компактом. 1.2.2. Теоремы отделимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
