Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 8
Текст из файла (страница 8)
.,точкурасстоянийдоxqх\,Найтих%.положи-взвешеннаях\,искомаябылаxn. .,точкапри-xqшару.2.56.Решить2.54задачупричтоусловии,искомаяточкалежитxqсфере.единичной2.57.НайтиможноНайтииЖ2отNзадано2.54задачупринадлежитжьрасстоянийквадратовmiплощадьзаданнуюточки:триRnвесамиплощадьюобъема.объема.шдг.. .,инаибольшегоквадратовт\,высотойиоснованиемзаданнымиимеющихданысуммаоснованиемданнымитетраэдрпространствеположительныхнасплоскостичтобыГерона).поверхностью.тетраэдров,наибольшеготетраэдр2.53.Насрасстоянийсумма(задачабоковойтетраэдровнайтичтобыС,точкутетраэдроввсех2.52.Средиточкуминимальной.минимальнойнаименьшейповерхностиповерхности,найтибылавсехстетраэдрбоковойпрямойВотрасстояниеизпровеститочкикточки2.58.РешитьзадачуАполлониядля2.59.РешитьзадачуАполлониядля2.60.НайтирасстояниеотСколькоэллипса.до(задачаэллипсуточкинормалейАполлония)?параболы.гиперболы.вRnпространстведогиперплос-гиперплоскости.2.61.(Р)гильбертовомрасстояниеот2.63.Найтиминимумлинейногох2/а2эллипссоплощади2.65.ВдоточкиввгиперплоскостиRnпространстве1{х)функционалакоординат.2.66.Наудаленнуюу2/Ъ2+сторонами,=у2/Ъ2+началаz2/с2+J2координат.+у2/Ъ2+z2/с2наaixiнаиболькоординат.1=сгильберпрямой.до=прямоугольникобъемах2/а2отвписатьосямнаибольшегоэллипсоиде1параллельнымих2/а2эллипсоидпрямоугольный параллелепипеднаиболееточкишаре.i=l2.64.Восямотрасстояниепространстве.2.62.НайтиединичномнаибольшейНайтивписатьребрами,=прямоугольпараллельными1найтиточку,наибо-2.§(Р)2.67.Доказать2.68.-оонеравенство:г=1г=12.69.степенных:среднихдля[VДоказать51задачинеравенствоW//ЕГладкиеДоказатьнеравенствомеждуарифметическимсреднимигеометрическим:средним\/пг=1,.
.,п.г=1(Р)2.70.ДоказатьJ2Xiai Ч()ДоказатьВМинковского:г=12.72-2.76задачахеж-2Ньютонарешитьсуравненияж01.=2.73.+^з2ж1++ж2яо2.74.i2.75.§х\12з+х%—+ж2х3J+(xi++х%=хо=х2х3J-=(xi+-уравнениях4—Зх2+2.78.Найтикорень7Ъх10000—поtg#уравнения2.79.Вычислитьположительный кореньНьютонаметодомсxсуравненияспятьюхънаименьшийх2+Зж3Jх—0,20,0005==0.B,==(-1,корень1).1,1).О,1, -1).уравне-положительныйко-0,00001.додо—1,знаками.вернымиточностьюточностьюA,A,-1,-1).жоотрицательныйНьютонаметоду=0=О,=О,0,жо2.77.Вычислитьж3=232-2х2+х32.76.[2х\задан-х$.0,=г=1методомточкойначальной2.72.1/9(D«(неравенствог=1заданнойn1/p(E<г=1г=1г=12.71.Гёльдера:неравенствоединственныйположитель-52Гл.I.Элементы3.§Основные3.1.линейноевыпуклым,если+Aмножестваусловияа)х2,х\,[0,GoiМножествоопределению.чтоА.СКс!УаК?ах1]}СПустоеобласти{х=|еслиизэто—хопределе-КGж+ах\=повыпуклоконусыX/:R,прямой,—>действительнойepi/{(а,={х=х)Rеэффективнымназываемыеследует,являющиесяконусы,хпринимающей| f(x)\аXзначениясвязанырасши-+00},<>вмножества:дваf(x),хинадграфикоммножествомdom/},е(эпиграфом)/.функцииФункция/RвX.хусобственной.называетсясопутствующихкомбинацииисвойствавыпуклых(выпуклая,оболочки,XПустьПересечениеданноемножествообозначаетсяconv—А,А.называется/,замыканием/epi convобразом,/,epiconv=conv//.состоитвозможностивсвязанныхнихсреди/множеств—операцииизамыканиемзамкнутыхВвыпукломстакогоанализеродасопряжениясубдифференцированияеслиосновномвизвестнофункций,/ифункцийТакимне/.=со-сопряжен-преобра-несколькоВажнейшиеописаниями.дляна-объектоввыпуклыхдвойнымидляepi/,/.замкнутой,—обозна-и=соотношениемвыпуклыхописаниясопряжен-АзадаваемаяОсобенность—содержащихepi/выпуклымназываетсядвойногоихпространствах.преобразований,изAА.немузамыканиемconv/,операторы.к—множеств,условиемфункцияп.)т.множестваX*называетсяФункция3.1.2.Основныеиconvоболочкаопределяемаянаибольшаяестьпревосходящихарядаффиннаясимплексвыпуклым/,такжеиобозначения:двазамкнутыхназываетсяФункцияалинейнаяпространство,выпуклыхназы-выпуклойфункций,иконическая—V#,—00X.хмногогранник,нормированноевсех>называтьRконическая,толькоAconef(x)будемвмножест-выпуклое—имножествНапомними0Rконусвыпуклый2.6.§оболочкавыпуклаяXр:—>выпуклый—понятийАТФ,в^dom//epiеслиФункциюepipеслиописанывыпуклой,которойназываетсяФункция,однородной,Простейшиедлявыпук-Х2}множествоВыпуклыевеществен-—называется[х\,конусом,dom/сопряженномXСчтоследует,называется0.>функциейкаждойрасширеннойсопряженное.Амножествами.выпуклымимножествоАЕх^XПустьфункции.иМножествопространство.из—анализавыпуклогопонятия.3.1.1.ВыпуклыевещественноесведенияПредварительныеиконусов,полярыоднородныхвыпуклыхфункций.Преобразованиемфункцией,сопряженнойЛежандра-Юнга-Фенхеляс/, называется/,функциифункциянасопряженномили3.§Элементыанализа53выпуклогопространстве:Функцияr(x)второйназываетсясопряженнойфункциисопряженнойкАмножестваА00этомА0={хе=СопряженнымК**{х=| (х\еX| (х\образом,{х*=А—X*:вконусX*:К}.К0}.ефункциирназываетсях)р(х)<УхfфункцииX}.евточкехназывается| {х\хивыпуклах) < f{x)-тооднородна,X.ВажнуюрольДа?)}.-df9/@).=ванализевыпукломфункции:функцияа) индикаторнаяAtг\5А(х)б)функция<=Г°'А,ех\+оо,Минковского-^Gi{0,{аinfв)опорнаяУа>0,?| а^А-ахоо,0>Уа>0,Gi}востальныхслучаях;функцияsA(x*)ВназываетсяУж*| {х\подмножествоследующиеОсновные3.2.А0}.eоднороднойX*е/есливX*:вdf(x)играютх)^0называемоеА}.ех)^0УхевыпуклоймножествоПусть| (х\X*еСубдифференциаломследующее1 Ух<Кконусусопряжен-/*(#*),X*:{ж*=определения+f(x)множество1 Vx*<х*{ж*вдр^х)выпуклоймножествоТакимх)еСубдифференциаломследующее| (х\к=Изх)следующееX*еконусомк*этомназывается{ж*X/.(ж*,неравенствоЮнга.ПоляройПриX*следуетнеравенствомПри=этомтеоремыпунктевсюдуформулыиXsup=(ж*,ж).анализа.выпуклогонормированное—X*пространство,его—сопряженное.3.2.1.называетсяоператором.Теоремаинволютивным,Напомним,инволютивности.еслиегоквадратчтоявляетсяоператорединичнымназы-опера-54Гл.I.а) Для/**Теорема,месторавенствоивыпуклаб)ДлядляА,=в)ДляК**равенствоибылаfАмножестваимеломестоАчтобыбылоравыпукло,нуль.длянепустогоКконусанеобходимоК,=имеломесточтобыдостаточно,ибылКвы-замкнутым.а)Утверждениеопорнойа) ДляТеорема,имелодостаточно, чтобывыпуклойА,=Амножестванеобходимофункдостаточ-иимеломестосоотноше-Ачтобыдостаточно,иоднороднойнеобходимоp,=замкнутой.идлясубдифференциала.некоторойsdpчтобытогоидлясоотношениебыларб) ДляфункциичтобытогоместоdsAФенхеля-Моро.теоремойназывают3.2.2.Двойственностьсоотношениеимелочтобыдостаточно,ичтобытогорfфункциидостаточно,инепустогонеобходимосодержалоизамкнутофункциисобственнойдлянеобходимо/,чтобытоговыпуклымчтобытого=замкнута.А00равенствосведенияПредварительныебылоивыпуклозамкнуто.3.2.3.ОсновныеТеореманекоторой1.а)ПустьXиf\f\(x)(Для/2$2выпуклыеимеетf2)(x)(df{(x)conv=Р2)+др\=а)Утверждениеутверждениеб)называютUфункцийВ.форме2ТеоремаТнахххЛевину.(обочистке).Rn,/(?,—>max/(?,=непрерывна.вточкеваформулывфункциихdf2(x)).0,приобре-ментdf(x)Gуt=GпредставимJ2О'aii=\1,.
.,г.=1» Уг?dxf(ti,х)утверж-последнийре-T\ f(x)ввидех{субдифференциал(t, х)поGхf(t,ух=J2Т.поt,Положимвсякийг^ех),—чтотакая,ТогдаaiVi>х)каждомиt Gx)}./(?,—>приRnлюбомпри=оконча-вкомпакт,—замкнутаякаждомв{tдр2).)UпринадлежащееТпринепрерывнаTq(x)(dpiconvЭтотг^=1>=Моро-Рокафеллара,ипох)р2)VПустьвыпуклаях),tr==усиление,сверхуфункцияд(р\итеоремойДубовицкого-Милютина.Л.полунепрерывнаяf(x)др2значительноедопускаетфункция+теоремой—результатокончательнойгиТогдавидд(р\aiXнаформуламестооднородныхвыпуклыхf\непрерывныеТогдаVфункциивыпуклые—функцияформуламесто—f2(x).d(fi/2иконечна,имеети=f\Пустьгдеисчисления./2Ы}.max{f\(x),=XGхб)приобретают/2)(х)х,точкенаVточкелюбойсубдифференциальногоформулы(/iОбозначимэлеr^ntiGTq(x),+1>3.§Основные3.2.4.множестввыпуклыхмножествамивупотребительныесебявпреобразованияОпределимИсчислениеанализа.выпуклоговключает3.1.2п.функциями.и55анализавыпуклогоформулыфункцийивведенныесвязывающихссначалавы-формул,рядсвязываюмножест-надоперацияминаиболеенекоторыеупотреби-операции.надОперации1)Сумма:2)Конволюция:3)Максимум:4)ВыпуклаяA+Элементыфункциями.(/i+/2)(ж)(/iVА2А\+надж(/iA/2)(ж)ж}.Лconvа)ж2-=+x\х2х).=min{a/i(#i)=Vp2+надА2Uconvоднородными(Aiconv=supjapi0A—Здесьравносильна|0 ^имеютсяэтомприжевапересечению,теходну:чтооперации,чтовиду,конусовдляоболочкавыпуклаяобъеди-сумме.—Результаты,относящиесяввыделимвидекатеорем,операцииостальныесопряженияфункций,длятаблицу.всведемТаблицар2)л)_s(Ax+дрх=др1Шдр2,=А2)s(Ax\±\A2)(Ах + А2)°д(рхд(рхs(Axдр2,+sAx=sA2+Мыдопущений,относительнопишеми=,+если=,еслинепрерывностиK2)*оно=X*Пимеетравенствоимеетместофункций(КхХ|,A2)°ПA2)ПприналичияA2)X2)*без=jiAx+UA^;ПA2;=sA2;/xA2,V=XfVA°x/iAi=UconvsAiconv=sA2Л=A?A2)°^р2;ПconvA2)^Uconv^pisAiUместолишьилиА2)др2,Uconv==convПi(Xiр2)ЛПi<9pi=convs(Ai(Ai(Ax^=р2)VЛconvK2*.дополнительныхдопуще-требованияхнекоторыхвнутреннихA2).1}.^атеиметьнадоещевведема)р2UПомимофункциями.функций,дляконусами.но^Ь}-?#2а)А2).—А2.Пместо—AПА\АьGх\х2,(aAi(J=имеютмножеств,+х\=выпуклымиР\конволюцияI/2(ж)).объединения:которыеобъединения|ЩА2AiОперацииaxi{ж=оболочкаопераций,max(/i(»,+/2(^2)+множествами.Ai3)Выпуклая4)Пересечение:Операции1,<aнад{f\(x\)inf==минимума:| (КОперации1)Сумма:2)Конволюция:случае0/2)(ж)/2)(ж)оболочкаa)f2(x2)-=/i(z)+/2(ж).(/iточекотносимножеств.ив56Гл.I.а) ПустьТеорема,/*=Если/2.++/2)*/*/Ге/2*.=б)=Пустьэтомк/2иВсе(X*)тг,д,а,(X*)Приведемs,/2)*=X,насформулирован-очистке),Лежандра-Юнга-Фенхеля(X),др—множестваоднородныед.связывающихвыпуклая—т.К*операторы,I переводитвыпуклыеиформул,простейшихмножество,—тгА,переводиттг(X)редуци-через—какпереводитX*измыНапример,(X),X*намножествавА0/,через5 рассматриваютсяобъектах.и\iX*несколько(АоператорыиЛconvоб/*функциив(X*)Xна=тонепрерывныутверждения,преобразованиямножествав(/iитеоремысоответствующихXна0/2)*непрерывна,ТогдаконечныобозначитьI,Далее,функцииX.наисключениемполезнонаXj\a3.2.4).удобствааК.через(f\Тогдафункцииконечна,выпуклы,свойствахоидействующиефункцииf2теорем.(затеореме3.2.1X.насобственныевыпуклые/fconvA/2*.пунктеДляфункции——функции—Доказательствосформулированные в(пп.же$2которойв/2/iи=3.2.5.редуцируем/ifaиих,ЕслиV/2*.(/1V/2)*тоизf\точкасуществует(/if\жесведенияПредварительныевведенныеКфункция,однородная—конус):1.l5Ad=2.ifiAsA.5тгА.=(Z/iA)(>*)d=f<((ж*,supx)sup=3.0Aeпринадлежита<sA=^sA(x*)OGi<У=^>поляре>01 УхtyA}е4.lp<\=^{1тгА(х*)a~xsA{x*),=sA(x*)Еслизначит,/a)ijlkA(x*).=x)x/aeA})0,>aa)—<==0,+oo,ж*етгА,x*^тгА>0,==0.тоsA(x*)т.е.весьПусть=infах*лучsA(x*){aпри-0.>Тогда| {х* /а,х)((ж*,sup=х)р{х))—=О,(х*,х)х+оо,в7<р(ж)^V'=Vx,случаях^остальныхdefгодр.о5.^6.7.5тгКd=^fПустьА\выводятся5K.иА2множества—X.вТогдаравенства:8.5(АХ9.5(А{10.5(Ai<>5др.=lpsA(x*((ж*,sup0.^и,\A.fin={a-mi+А2)пconv=А2)=U5АхMiА2)®5А2.5А25А\V==conv5Ах+Л5А2.5А2.изопределенийлегко\>3.§Запишеманализа57выпуклогосимволическитеперькасающиесяЭлементырезультаты3.2.1пп.теорем3.2.4,и/:оператораi2ff,A)=l(fi+f2)lfi(Blf2,B)=Kfl®f2)=lfl+lf2,C)KfiVft)l(hB)-D)ВтребованияотносительноA)(Утверждениетеорем,а)[13],также(УтвержУтвержде-/2.и186.с.188-194.)с.соотношенийвыписанныхсфор-изнекоторыечитателюостальные.доказатьдостаточность.выпукло,замкнуто5тг2А1/i rA=КisA=3.2.3.п.5АзамкнутыйА00=>Докажемп2КК.=а)пунктА.F)=Тогдаконус.=б)пп.Тогдануль.(i}(-тг)(-7г)*Г=Необходимостьсодержит125A=иа2К1ивыпуклый—A).Фенхеля-МоротеоремаДокажемАТеоремасм.некоторыеf\функцийпредоставивестьочевидна.в)Пустьнужнобезместоналожить3.2.1.п.б)Пусть[13],извыведемТеорема<\Пункт=,имеетравенствоесли2.6.3;п.вдоказанысформулированныхв)АТФ,втеперьеслинепрерывностидоказаноB)-E)АииIf2.E)lfiV==,допущений,дополнительныхУтвержденияпишемMf2,D)conyf2)Aconyтакжемыlfi=>теоремыдлявыпуклыхфункций.однородныхо<6(др\др2)+5др\=05др21р\=1р20=/(P=изДлянеоднородныхтогообстоятельства,р(х)с.f'(x,=Нт(/(ж=Пусть+ир\р2Vръ)=1(р\ид(р\ръ)Vlp\=Б)=sA\А\Пусть0А%ивыпуклы1р2ЛЛА\ПXнадр\=convhitсм.непрерывныер^)conv5др\=иУdp,=вгде[13],таблицы.изконечныеследуетdf(x)(подробностиформулдве—3.2.3п.функцийf(x))a~x—1теоремывыпуклыхах)Тогдафункции.<5д(р\длянесколькотеперьА)однородныерезультатчтох)208).а[0207,ДокажемфункцийЛconvвыпуклыедр<}.=5др2А% ф=0.5(др\Uconvs(A\Тогдадр^).А^)П>=sA2.B)<s(AiПA2)=lS(AiПA2)=1FAi5A2)+B)!=^15Ai015A2=sAi0sA2.>58Гл.I.В)(КхК\ПустьПК2)*К2исведенияПредварительныевыпуклые—=Щ+Щ.К2)Пхs(Kx=П^К2)sKisK20формулыK\фК2ПТогда0.=5тгК20Остальныеintиконусы=аналогично.доказываютсяУпражнения.1.Доказать,чтоизкогдах\,2.Доказать,необходимо—еконусусловияа)х2)[0, 1].Ех2чтоиp(#i+Ж2)4.Доказать,чтоопределенной5.Доказать,непрямойчтолюбая6.Доказать,замкнутой.7.Доказать,чтосопряженнаячтофункция,такжесобственной.прямой,являетсячтофункция,О,>афункции,конечнаявсейнапря-ичтоRnСфункции,являетсяивыпуклымRn.субдифференциалчтовыпуклым10.Доказать,выпуклой.11.Доказать,выпуклой12.Доказать,13.Показать,АвыпуклойвфункцияиндикаторнаяМинковскогофункцияоднородной.чточтоопорнаяфункциячтоусловиевыпуклостифункцииоднородноймножествомзамкнутымRn.выпуклогомножестваяв-выпуклогомножестваяв-множествавыпуклой.являетсява)п.п.теоремы3.2.4явля-существенным.Задачи3.1.Выяснить,являютсяа) /О)=в)f(xux2)г)f(x\,ах2х2)Ьх+++\x2\Py/P,=ж1пж+A=inf+ли+х\ |++с;х2=функции:следующие-х),#iЬеха22х\.выпуклыми-жIпA{х\+p>0;2аХ2х\х2являютсяае2х=функцииданныепараметровf(x)б)+а\\х\=значенияхс;(\x{\P=3.2.Выяснить,а)/О)б)/(#)какихпривыпуклыми:зам-исобственнойкмножестваполяравыпуклойявляетсясопряженнаяв9.Доказать,являетсяявляетсяУконстанты.функциямножествомзамкнутымявляетсяGaнаар(х)=ограниченнойот—X.ех2отличнойвыпуклаяУAоднороднойр(ах)Ух\,выпуклойи+непрерывна.8.Доказать,является+р(х2)существуетвсейнавыпуклойкогдатогда,р(х\)<f(ax\Ух\,х2?Х,являетсяр/функциивыполнялосьтолькотогда,i^.ИенсенанеравенствофункцияиGсобственнойвыпуклостиa)f(x2)тогда-\-х2х\толькоитогдавыпуклымчточтобычтоXиследует,для—3.Доказать,пространствеVxGlявляетсядостаточно,af(x\)-\-(I^ККхеж}.@,1);3.§3.3.НайтиЭлементыфункциисопряженныепеременного:б)ах2а) ех;г)5{0}д)5[а,Ьх++Ъ];е) f(x)3.4.Найтиотв) \х\р/р,функцияс;индикаторная—анализа59выпуклогофункцийследующих0;>родногоАмножества{0};==+оо,0.^хфункциисопряженныеотфункцийследующихмногихпеременных:а) а\Х\г)5В,+rAe5хп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
