Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 7
Текст из файла (страница 7)
.,Aj^>утверждениязадачасXAkгдек0,Атогда1,=АТФ,вустанав-(o>ij)iSD(x),кj=\>в0,1,9/&(х,еX),f[(x),векторыm,. .,гусловияЕслиэкстремума./»(ж)Glocmini=l,. .,m,(з)0,=хтдляфункции??(х,ЛагранжаА)J2 ^ifi(x)=найдетсявекторг=0АA,=АьАш). .,такой,&х(х,VxeLДовекторчтоА){xeX\=статочные=^хх(х,0,=A,Аь. .,Х)[х,х)(Д(х),условияА=независимы./o(a;)->mf;тоn,.
.,равенств.пространство,=I,=12.1.2.п.типаiполо-тогда,толькоn).. .,приведенобанаховоявляетсяи=ограничениями—ПНеобходимыезадачесм.матрицыМатрицаAk,detэтогоD2(x)e(примертакопределенностиdetПусть(и знаточке).дифференциалавстационарнойСильвестра.минорыДоказательствоfiположитель-условиенеСильвестра).определеннойглавныеТеорема.е.этокритерияположительны2.5.3.Т'т.6'второго(критерий(отрицательно)Теорема,минимумаотрицательнаяпомощьюположительноФрешесмыслевусловие)OXjусловиемПоложительнаясположи-\'пространствахустанавливаютсякогдапроизводнойположительностьдостаточнымбесконечномерных3.1.1).п.мат-°строгуюявляетсязначит,функ-строгойпространствахd2f(x)\VdxidОХxj'>дляусловием/матрицы\3/.определенностьвторойопределенностив^0производнойназываетсяконечномерныхг(х)+locminGхвторой(отрицательности)/.телъности| |х| 2неотрицательнуюw/1ЧТейлораформулепо^Следовательно,означает:Условие-\dxidxjjтох}+ф)определенностьпеременныхрицыск||#| 20,=имеем\f"(x)[x,х.Неотрицательнаяfix)как^=достаточноприx]задачи45Гладкие=0,х]гтакой,=1,Еслиэкстремума.Аш)0>чтовыполнено.
.,га}.существуетсоотношениезв46Гл.I.J?x(x,Л)0=дляиlocGхmin(БолееVxeL,ф О,xз.см.результатАТФ,в3.4.1,п.ивдалее4.4.5.)п.Примеры.f(x\,1.ПримерРешение.Х2)1.Вейерштрасса+Х\х\=+Очевидно,2^2#2,3.Решая#1эти+(#1~~#тахextr.—>+оо,вазадачеизследствиятеоремыдостигается.j'{x)Ферма:теорема—Ж2J+=минимумусловие=#2чточтовытекает,2.Необходимое=х] ^а\\х\ 2А)[ж,общий2.6.О>анекоторогоSfxx(x,тосведенияПредварительные0=2х\<^>=^2находимуравнения,@, 0),точкистационарныеA,1),(-1,-1).4.Выпишемматрицывторых12ж?2-этихвпроизводных-212ж|-22-А@,=—AiМатрица@, 0)точкаявляетсянеобходимомуноточки@, 0) ^определенной,A,точки1)посколькуloc—1)являютсяявляетсяпо-условиюлокальногоонинаэтойдостаточномуточкамитосуществует,минимумА^поточ-порядкавблизи/Матрицаextr.следовательно,(—1,ивторогофункциирассмотрениечтопоказывает,|=значит,условиюнепосредственноеположительно0)определенной,неотрицательноудовлетворяетмаксимум,точках:аминимума,глобальныйидоставляютминимум.@, 0) <?Ответ.поlimNl-юо^и,?absmax(-1,-1)}х)+f'(x)одна:достаточныеabsесmin.(Aextr^чтобыАматрицаАусловиюf(x)А>=—00.0,(а^I=<^>то<была0.Ах<^>?absЪтеоремеmin.—j=l0=<^>хf"(x)[h,h]loc?х==minопределенаloc?ханекоторогопо+Имеемнеотрицательнот.е.дляхА0выполнялосьобратима,Тогдаследовательно,=условия.того,дляеслистороны,1),матрица).чтобыНозначит,хх) +2F,здесьЗначит,существуетчто(Ах,=Применяемнеобходимо,(А > 0).и,{(I,точка2(Ah,h).другойextr;симметричная==f(x)2.ПримеробратимаяСтационарная—А~хЪ.loc>min0А=^>(Ах,х)ВейерштрассаАналогично>>минимумдоказывается,0.ol\ x\ 2С2.§О2.7.0.=ДлявприближенияпоследовательныеуравненийНьютону.(а,F:чтотом,заЬ)близкаяиллюстрируетНьютонаМетоднаокрестностикA);обычнобывает(даиНьютона.ВидоизменениепоследовательностиA)состоитгЗдесь,какчтотом,о\2.2.ху2.3.х22.4.Ъх22.5.Зх2+ху—50/ж+у2——АхуАху+2.6.х\у2всодержатся+20/уАх++у2у2++6уextr.—>extr.16ж-extr.—>у->\2у--8хх\х\х\—2.8.Ах+Зу2.9.ж2+у2->-+extr;extr;extr;ж++у2Зж+4уу'яextr.х2=extr.—-^1.extr.*12ух\2.7.2.10.еху2х—0(9)обратный=1.=1.опера-НьютонаЛюстерника.2.1-2.20.задачи2.1.х2формулой>методомтеоремы—>extr.КФ,реше-последовательно-одинлишьЗадачиРешитьпривметодомпМодифицированнымНьютонаметодеслучаевместоFirдоказательствеприподробности(Ff(ЙсЛ\~хучаствует^-?Поэтомуопределяемую—видим,Сопользовалисьг—1iмы(F^o)),операторвпоследовательность,рассматриваютделом.также)модифицированнымпользуютсяобратныйбесконечно-втрудоемкимконечномерномуравненийоператорныхсоотно-оператор,(F\xn))~xвесьмаваналогомпониматьвычислениеYпространствополным(F'(xn))~xподОднако4.банахововявляющиесялишьбесконечномерномрешенииXпространстваF\xn).случаеРис.FотображенияследуетXIпе-соотношения,операторуХ2XбанаховыхбанахованаписатьбесконечномерномбытьможетДляо4.рис.в$/корсмыслуравненияпространствах.соотношенийрекуррентный.R—>кГеометрическийхо.методаможноНьютонаберетсядостаточноперенесензамечатель-одинсуществуетМетодогра-уравнения(Оприближениеточкаэтогорешенияn>0,нулевоехбеззадачуе.формулепоищутсянекотораякорнют.последователь-xn+l=xn-(Ff(xn))-lF(xn)tгдерешитьточки,такихпринадлежащийфункциисостоитчтобытогостационарныерешениязамечательный прием,числовойДля47задачиДлянайтинужноF'(x)онНьютона.методеограничений,ГладкиемыНекоторые§3гл.X.48Гл.I.2.11.Ъх2Аху+2.12.Зж2+4ж?/2.13.??/Vу2?/2++2.14.xyz2.15.xyz—>extr;—>extr;extr;—>^extr;extr;->сведенияПредварительные+жж2х22/ +у2у2+-\-х+у=1.ж+2/=1.2:1.=z2z2+-\-=1,^1.+жу +z0.=п2.16.J2 х^-^extr;„•1А11Ъ—1<1Ъ—п2.17.г=1л^г=12х\2.18.оJ2extr;—>2^1++4ж2Зж3-8^1extr;^2.19.ехх-х22.20.Ъх\еслиВСсторонеАВсторонах(Этоединственная2.24.НачерезуАС,и2.25.ЗадачаЕлежат(задачатетраэдраобъемЛежандратретьейпа-полученногоЕвклида).задачавторойточка,оставшимсятрем(обобщеннаяЛежандраЕвклида).Евклида.)берется«Началах»параллельныечтобычтобытак,соответственноплощадьвобразом,полиномеминиму-точкуFгранимаксимальнымонайтиэкстремумтакимточкуФерма).нахожденияинаибольшуюплоскости,былпараллелепипедаес-(задачаметодDфиксированнойВыбратьграням.которогонапроводятсяТартальи).площади,числуточкиимелнекоторойкоторуюпроизведение(задачаABCзадачачтобынаибольшейтреугольникаADEF,параллелограмм^х2г.)1638в—),0.0.Зжтак,заданномусвойиллюстрировалQ^(+максимальноравна40,<—Ж17ж2частидвеЖ21,_треугольниккатетовФермаФерматеорему—набылоразностьегозадачей2.23.Нана8Ж13 ж3++<Х2extr;прямоугольныйдлин—extr;-числонасумма(ЭтойЪх2->—Разделитьпроизведения2.22.НайтиминимумовХ2—\ х\-2.21.(Р)ихХ\—3^2—2^1—степени:12.26.Задачаополиноместепени:1(?32.27.Средивсехнайтизначений,(Энтропией+x\t2+x2t+x3J^tслучайныхдискретныхслучайнуювеличин,величинучиселправныхединице,называетсячислоН=—^г=1ппринимающихнаибольшейсположительныхсовокупностиinf.^энтропией.р\,.
.,рп,всумме2.§2.28.Найтизаконоднородныхсред,однойизсветапреломленияпользуясьточкивзапопадаетдругуювкругпрямоугольник2.30.Вписатьвкругтреугольник2.31.(Р)Средицилиндрбылаибочек»винных2.32.Вписать2.33.Средиконус2.35.Вписатьпараллелепипед2.36.Вписатьшарнаибольшегообъема.единичногорадиуса,шарRnпространствазадачанайтинаиболь-цилиндрКеплера).задачаRnпространстваединичныйвшарпрямоугольныйпараллелепи-Rnпространстванаиболь-конус*).объеманаибольшего(Эта«Стереометрииповерхностью.единичныйвшаробъема.наибольшегоконусв0 (обобщеннаяобъеманаибольшегошарбоковойввгеометрическивписанныхконусов,2.34.Вписатьрадиуса,Кеплера).г.)максимальнойсединичногошар(задачаКеплеромединичныйвплощади.площади.вобъемом1615—светвремя.вписанныхрешенадвухмаксимальноймаксимальнымпоставленаграницекоторомумаксимальнойцилиндров,сплоскойсогласнонаФерма,кратчайшеепринципом2.29.Вписатьнайтизадачи49Гладкие2.37.Вписатьтрехмерныйв2.38.(Р)ВписатьвшаршарнаибольшеготетраэдрRnпространстваобъема.наибольшегосимплексобъема.2.39.СредивсехДанЕ,черезплощадьпредлагаласьвг.математическойвкДаныкруг1981г.соответствующихнаМеждународнойВашингтоне.)вг.отношенийсуммадосторонматема-максимальнойстреугольник2.34пониманиемсуммой—(п—оболочкавыпуклаяотрезка.Алексееввозможнытерминовпроизведениеидр.этучтобытак,угла,точкупровестиполученныйплощадь.2.36иЧерезнего.внутристоронахнаименьшуюзадачах—точканаконцыимелх) ВиуголимеющийразнымВ.М.всторон.треугольник4ввчтобыточку,точкипредлагаласьшкольников2.45.(Р)втакуюВписатьотрезок,RnRn(Задачашкольниковолимпиадеэтойотолимпиаде2.44.(Р)втреугольникерасстояниям(Задачаквадратовхорды,максимальна.математическойточ-данаположениеСаратове.)г.сторонминимальной.былаABCDчетырехугольникаАВдиаметреНайтиCD.хорданай-периметр,площади.Наединица.Всесоюзной2.43.НайтидлинстреугольникЗенодора).наибольшейn-угольникрадиусапроведенана1980кругкругкоторуюкоторойпри(задачаплощадив2.42.(Р)заданныйимеющихn-угольников,наибольшейn-угольник2.41.Вписатьточканайтипериметраплощади.2.40.Срединайтиданноготреугольниковнаибольшей1)-мерного(пформализации,различныеи«цилиндр»шара—1)-мерногоУ«конус».насвязанныенас,ортогональныйшарадалееотрезок,иортогональногоцилиндрконусему50Гл.I.2.46.(Р)В2.45задаче2.47.НайтисведенияПредварительныеминимизироватьнаибольшуюпериметрплощадьтреугольника.счетырехугольниказаданнымисторонами.2.48.(Р)Средибоковойсегментовимеющихшаров,найтиповерхности,площадьзаданнуюобъеманаибольшегосегмент(задачаАр-Архимеда).2.49.НаотСданнойAwточекдо2.50.Срединайти2.51.Средивсехнайтихо,2.54.Вчисел:ссумманаименьшей.2.55.Решитьединичномуповерх-точек:такуюпритакуюбыла#зNиxnдоxqчтоусловии,Х2,чтобыхо,отх\,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
