Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

.,9/локальногоА(условиеJ?x(x,А)0=iфункцииТогда,(з),такой,еслитоестьхнаточкалокаль-ненулевойсуществуетвекторХ)О,=j1,=]Г^п. .,XifHx)0.=(ОтВрассматриваемойОбозначимYl ^ifi(x)=Хт. .,Лагранжа.множители—отображениелинейноеRnизRm+1,всоотношением((f^x),=х),х)){f'm{x\. .,А(хи^••хп)•,ВозможенсобственноеизодинBceRm+1.Б)Если1),случай(п.пространстверавныеинулюRm+1;пространствареализуетсяконечномерномЛ1)случаев:двухLподпространството1.3.1)по=Xj>дх3всеЛагранжафункция~г=0АьЛчерезопределяемоеАхА)Ао,азадачи,А)<??(х,A)соотношении=мно-чтоdJ*J?Xjг=0^iG^J^^^R,дифференцируемыезадачеАш). .,6{Х),егладкости).вАь<%R/\=непрерывно—экстремума(Ао,=Лагранжа.XПустьмножествесведенияПредварительныесобствен-вRnотображаетоблеммеdxjRnотображает2) Лнайдутся2^•••'ко-ваннулятореАьАо,числанаАш,.

.,нечтотакие,г=0г=0идоказана.теоремаВ)Покажем,ЛобразотображениюТогдаэтимстолбцов1)(гахтеореме+о1),валгебреотминор,минорнуля.ДопустимсоставленныйЛ:dfo(x)dfo(x)detдх\dfm(x)дх\'дХт+\dfm(x)отобра-этомугаравен+(Этот1.фактКронекера-Капелли.)теоремысуществуетотличныйтакжетоб-еслисоответствующейрангL-QрангеявляетсяминоромматрицыIизвестнойизследуетпо(Л=Действительно,невозможен.топространство,матрицыпрямо+все2)случайчтоестьЛматрицыдляиз(гапорядкапервых+чтоопределенности,га+1 столб-2.§задачи39ГладкиеПоложимФ(Х\,X. .,•ФвотображаетнекоторуюRm+1дифференцируемымПообтеоремеКконстантаобратной0>Ф(ж1^^+xm+iF:))жт+1. .,+х\(е),+х\(е),хт+\. .,/Ш+1\зучтоследует,является1/2задачедопустимыебольшие,иf m(x).

.,(х\(е),. .ГладкаяИз. .,fo(x)-=г,=0,соотношенийжт+^),+хт+хчтовекторвблизиотсра-жш+2,(х\,него•жп). .,••^п)нех=до-существуютзначенияпринимаети>A)счтоследует,^Лотонезависимы,задачахп)жп)написанныхисоотношениялинейно^=^. .,функционал/о(ж).чемменьшие,0). .,xm+2,. .,которыхИз2.3.кон-ит,ибонаЗамечание.f[(x),0>говекторжш+2,(з)задачеэкстремума,векторы,(е, 0,.

.,х\(е),+в1,=К\е\-^E?iвектордопустимымдоставляетQнаиДется+xm+i(e),+xm+i(e),xm+i. .,^2 ХК?))(^ г=1^этомприэтомсуществуют?()]=гиПриокрестности.1.5.3)[—?о,GRm+1Gнепрерывнокоторогодля+xi(?),/o(xifi(x\(п.Vs/о(~#m+i). .,^мфункциичтотакие,xm+i(?:)),. .,этойвХп),теоремы)гладкостиусловия. ,хт+[)\=(d^jx,det(х\,точкиокрестность(в силуотображениемявляетсяи•равенствамиесливекторы0.(общийнеравенствамиислучай).2.3.1.ПостановкаF:пространства,XиравенствамиXfi:Y,—>R,гF(x)=0,Fотображение=YX,0, 1,называетсянеравенствами/o(a;)->inf;еслиПустьзадачи.—>и—т.. .,г/^обладаютгладкостью.2.3.2.Правилорешения.Составить1.Лагранжа:функциюг=0где|/*GУ*,Л=(Ло,. .,Аш)—множителипрост-задачейсзадачаfi(x)^0,функционалынормированныеГладкойЛагранжа.=1,.

.,некоторойm,(з)глад-40Гл.I.2.ВыписатьсведенияПредварительныенеобходимыеусловия:а)стационарностит&х{%(F'(x))*гдеА)у*,А<#(?)б)дополняющей(F'(x))*y*+0,=г=0сопряженныйоператор,—<—^0=Ff(x):отображениюкX—>У;иу*,нежесткостиKfi(x)=0,г1,=ш;. .,в)неотрицательностиХг^О,3.НайтинеодновременнорассмотретьравнымиАоАоравным4.Отыскатьегое.смножителямиПриэтомфш.. .,т.Аоиточки,допустимые0.любойилирешениебываетВоАполезновторомположительнойдругойсредиудовлетворя-Лагранжаможнослучаеполоконстанте.точеккритическихотдельноиличтодоказать,нет.2.3.3.НеобходимыеТеорема.наховости),г0=единице1,2нулю.случаиположитьп.условиям0,=точки,критическиенеобходимымудовлетворяющиег0,=замкнутов1,.

.,У/С6{Х),Тогда,Yт,FgхSD(x,(ослабленноеYэкстремума.условияX,Пустьбанаховы—W,еY)еслиестьхвектородновременноа)стационарностинулюточкаиFf(x)Xиу*чтовыполнены(условиеf{ e SD(x),(з),Y*,е6а-замкну-задачевэкстремумафункционалитакие,R,->гладкости)локальногоRm+1А еУ/f{:Y',-^(условиерегулярности).условиесуществуютпространстваWF:неторавныеусловия:т&х{%А)у\=0J]^=>Ai/ (x)+(F'(x))*y*0;=г=0б)дополняющейнежесткостиKfi(x)=0,г1,=т;. .,в)неотрицательностиА^ ^ 0,Доказательствосм.2.4.Примеры.1.ПримерРешение.ах2Применяемf(x)=1.(п.ограниченийп.+0,=3.2.4,аЪх+с—>=условие—Ь/Bа)т.. .,такжеп.4.4.1.(а ф 0).extrправилогладкихрешения—Ферма:теорема0.3.ж1,беззадач2.1.2).2.Необходимое=АТФ,вг—стационарнаяточка.f'(x)=0<^>2ах+6=2.§4.ЕслиО,>аf(x)то+оох-b/Ba)=Пооо.—>задачирешениеизследствиюВсуществует.силуточкиabse\х\при1.2.1)стационарнойединственностизадачи41—>(п.ВейерштрассатеоремыГладкиеSminmin,с=Ь2/Dа),-Smax+оо.=Аналогично,0<а<^>х—Ь/Bа)=2.Пример1.ограничениямитипаж|)+Х2Ао0#1=0,2\хх\^ 0,значит,—оо.=сзадач??Лагранжа:0,——l/BAi),=х\0,А0ж2изпредыдущих±1,=2X\xl+огра-\§{х\=+илиХ2|#2|=2/4.=существуютуравненийАоф 0,х\в=Тогдаследова-назадачрешения1.=т^ 0,#iфункционалазначения0.=Полагаем\х\е.т.ВейерштрассаРассматриваямаксимум.=допустимой.#2мини-стационарныхполучаем#minSmaxл/2,=х\3.Решение.1.типа??=+Ао(>12.Необходимыеа)стационарности+#2Применяем+@, ±1)}x3)^Ж1+AiB^i+^з-5)2A0xi+2Ai2А0х2+А2+А3ПоложимВыражаяАоАоi,AiB#iнежесткости0=+#i#2задачФункция+^зсогра-—Лагранжа:A2(#i+max.++х2-3).^зусловия:б)дополняющейв)неотрицательностиАо5,^^з2.3.2).-^2absGгладких(п.зА0х33.+Ж2решениянеравенствmin,т2-1/4)}~~правилоиabsе(±2-1/4,т^'"^жзравенств+#20),±2-1/4),{(±2-1/4,Примерограничениями{(±1,1,=3.=гладкихФункцияявляетсяилитеореметочках,Aiтонех\=4.Пои#min•решения2.2.2).+А0Ж10,==Ы,=х2минимум*=правило(п.^^точка—Х2следовательно,Ж262/Dа),—1).0=3.Если=+с=условие:^ж=Ж1ех^г'Применяемж|-+2.Необходимое#тахmax,"^равенствА1(ж|+^+#iРешение.abs?^=>=x2Ai=1/2.иA20=0,>—Ai#зусловия+0,=Ai=0,Ai=0;+Х2х%0.Aiа)5) =0;—ЛагранжамножителиПредположимиз-—^всеА2+через^02х\^>AiиХ2—А2инули.—+подставляя#з—50.=их42Гл.I.вуравнения=Х20<з?з=4.1—асуществует,вХ35—в).0,=0.=+оок(п.ВейерштрассаТогда1.2.1)1.Вейерштрасса,ФункцияA, 1, 1) ?1(ж, ж)(жх=z)->inf;СуществованиеARn,GрешениемSm-mmin,сфера{х=| \х\2Rnе(х,=х)3.=(а^-)^=1=изочевиднохрешенияSn-1зада-точкиabs=-Вей-теоремы1}=компактна.Лагранжа:??2.Необходимое=3.ЕслиAi)Ао,Ао0,=противоречит^^А0Аж^ 0,Aiто\ {х,+х).х)0,=Ао1.=2п.ПоложимжАо0,=1.=чтоТогдасобственныйявляетсярешением0.>уравненийиз(х,образом,Ххх+значит,связиТакимХ\х.—х)0=уравнению=\0(Ах,условие:3fx(x,векторА.матрицы4.ДомноживиначеАхсоотношениеговоря,А,2.5.=назадачирешениемматрицысоответствующийХ\х—нах,будетсобственномуминимумнаименьшемуНеобходимыевысшихусловияS3чтополучим,—Ai;=собственныйвекторзначению.Достаточныепорядков.условия.2.5.1.Одномерныйслучай1.ТеоремаопределеннаявfПустьнекоторомвНеобходимые=Достаточные/'(*)=<\ДокажемИзопределенияопреде-переменного,точкуих,дваждых.Еслиэкстремума./"(?)>о,/,функцииусловияточкаодного(максимума)/'(?)ограничений.содержащемточкеминимума—беззадачефункция—условиялокальногохвинтервале,дифференцируемаято=+оо,—>решениематрица).ибо=х\\х\прикритическойединственности{Ах,Решение.AiполучимAiПустьстремитсяИтак,она.4.+0:2—условиемтеоремысилутолькосимметричнаяАх2#i=х\+х\+х\изПример3,—точка.критическая—следствиюбытьх%с/(ж)поможет+х^противоречие—Функциязначит,задачи+х\—9/14=сведенияПредварительные(/"(?)о/"(?)>о,<о),(максимума)случаядляточка<о).(/"(?)оминимуматеоремуестьЕслиэкстремума.локальногохтофункцииСлучайминимума./.максимумааналогично.доказываетсядифференцируемостидвукратнойf{x+х)=f{x)г(х)f'(x)x+/х2—>0+приследует,l- f"(x)x2х-^+0.г(х),A)что2.§Необходимость.чтоизxGlocmin/,Поскольку(п.Ферматеоремезадачи43Гладкие\х\неравенстваf(xA)формулыf'(x)2.1.3)x)+5<то,во-вторых,+x)+r(x)-f"(x)x2=5fix)—пово-первых,существуетf(xвытекаетf(x)-0;=0.^0>0 такое,>Поэтомуиз\х\при<S.вразло-От-ОтсюдаДостаточность.A)разложенииf (x)\r(x)\было0=f"(x)иf(xЗначит,x)-locmin/.Тогдавусловийсилу+r(x)\2f"(x)x20.2можноисчерпывающийпочтидатьточкаданнаялианализлокальнымхэкстремумомнет.или2.ТеоремаопределеннаявfПустьнекоторомв..условия/(п)(?)точкуих,празх.Еслиэкстремума.(максимума)минимума=опреде-переменного,содержащемточкеНеобходимыелокальногоодногофункция—интервале,дифференцируемая=5.<>являетсятом,\х\приi f"(x)x2=случаеочтобымалым,получаемf{x)одномерномвопроса0настолькоjf"ix)x2<>+GxВ5Выбереместьхf,функцииточкаf\x)либото=либо=0,\x)<0)приДостаточныефункцииПо<^толокальногоследующееfix)/ ^положим=п.Возможно/(")(?)изодно(р(?)=0,=f(x+дифференцируемойразвk=lх^0.необходимое2.1.3)./??=нечетноR.условиеПусть,fix)либодвух:у/?),1п=(п.Ферматеоремы=пприПри..(максимума)разложение:Необходимость.извыполняетсяминимумафункции,для^^0следуетЕслиэкстремума.точка—Тейлораимеемх,х(I)п.условияA),/.формулеусловиеточке2га1,^ганекотором=..илиТогда/('-•)(?)/экстремума>пдалее,четно.=В1.Тогда0,/«(?)первомлибоф 0,случае44Гл.I.дифференцируемаяGlooming.—ОвПо(//@)Ферматеореме/ должночтобытьf(xх)+f(x)-f^2m\x)какlocGmin/ф О,тоотсюда=тох)+х^О./E?)>0приmax/.=fBm~l\x)=../_Лр=fBm\x)чтоloc/'(ж)_г,(х),+выводим,GжприПосколькуТейлора/E?х2-приО<формулепотоfBm\x)иДостаточность.^ 0,min/,Полученное2т.Поэтому0./четным:LAp=ПМ^ОТак=/^(ж)/7!loc?ж=ТейлораформулыизПосколькуфункция.нулепоказывает,противоречиесведенияПредварительныеЖ2™/^т\0,=Г2(ж)>+приСледовательно,малых/(ж)—fBm\x)еслидостаточнот.е.х,0^2.5.2.прибезТеорема.? б(х,X),<%/://x(x)/,/гриПо<x]x]Если0,>ж)+тожlocG(п./(ж)=ж]0)<+VxGGхminXf (x)=0Еслиx] < -а\\х\ 2)/.(max)(f"(x)[x,Тейлораформуле(//x(x)[x,0^экстремума.a\\x\ 2^а/(ж—^^пространство,экстремума.условиянекоторомmax/.ж)>^2(х).G/ x(x)[x,Достаточныеf"(x)[x,/(ж+mo0,=locдоста-прислучай).условия(max)min>0тонормированное—R,-+f(x)—/Bт)(ж)<0,xGе.т.х,x)+(общийXНеобходимыеlocGmin/;ограниченийПустьf(xтоеслималыхдостаточноЗадача0,>locGхиA)УхеХ1.5.3)f(x)[x]i Г(ж)[ж,+ж]г(ж),+| г(х)||=о(||х| 2).ДокажемтеоремуслучаядляСлучайминимума.анало-максимумааналогичен.Необходимость.приПоскольку(п.ФерматеоремемалыхА.малыхдостаточныхf(xпри2.1.3)А.+ОтсюдаАх)-f{x)/"(ж)[ж,жf (x)=Поэтому=0;в^ж] ^0Gloc/,minсилуf"(x)[x,J.+г(Ах)пово-первых,Аж)+Тейлораформулых]VxGто,/(жво-вторых,^0—/(ж)^02.§ТакДостаточность.силуf"(x)[x,условияf(xx)-f(x)+малыхфункцийп(d2f(x)\функционалаОтметим,ноиA)чтовг,l1=гарантируетВивсеее((—\)кГладкая<%1,=R,fim,линейно->.

Характеристики

Список файлов книги