Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 4
Текст из файла (страница 4)
.;1/п];+n1/п,==немножества,замкнутогоявля-компактом.являющегосянепрерывногоВ/2пространствепрямойнапрямой6.Привестианализа25функционального7.ПривестифункционалапримернижняянормированногоX/:функционалагрань8.Доказать,в+оо—>инепрерывно-| ж|при—>нооо,достигается.конечномерномотрасстоянии/(ж)чтотакого,нечтократчайшемXпространстваR—>доозадачапространстветочкимножествазамкнутогократимеетвсегдарешение.9.Привестичтотаких,расстоянииотточки+у2/9доподпро-решения.B,точкучто3)отх2/4эллипсоидапервойвАмножестванепустые12.Показать,чтоотброситьоткрытости1.3.иотделимоститеоремеВАintчтотакие,1.=можнофвзять0вы-АintиВП=ВиоНапомнимчтоXLПустьX,нормированного пространстваненулевойчисла0конечномерномапхп0=Ух1.3.2.Лемма=банаховыY—>GX??(X,эта(х\,хп). .,(вообще1тЛговоря,X.Тогда(т.е.Lпрост-/функционаловА1-чтолеммавсегдаX,на0 ?содержитнормированно-ZAаннулятор—=чтоозначает,ф Rn),тоинулю?правомЛY),фRnодновременнопространства,(ЛY§ 5).IVгл.содержит2.1.4).п.равныеотеоремлинейногоподпространствовап,.
.,Отметим,LслучаенеАлинейныхзамкнутоепричемподпространствоа\,А.?(АТФ,элемент(КФ,оператореподмножестватехУх—примеизаннулятора.А1множество=частоследствиямиобратномнетривиальности(/, х)Лемма.обаннуляторомназываетсякоторыхВоткры-весьмаявляющиесяБанахатеоремы1.3.1.Леммасобственноеусловиезадачэкстремальныхлеммы,четыреотделимостидляотделимоститеореметеорииследующиепространствапервойвнельзя.Леммы.применяютсяМ:под-замкнутогоподпространству,0.=наегоэтомунаикратчайшемоX,пространствапринадлежащейнех,имеет10.Отделить11.Доказать,выпуклыеточкиизадачанеподпространства-fбанаховапримерLподпространстваLеслисобст-—чис-существуютчтотакие,+а\Х\+..L.обратномнепрерывныйУ).нелинейноеТогдалинейныйсуществуютиXПустьоператоре.разрывное)эпиморфизмотображениеиконстантаиY—X26Гл.СI.О,>всехудовлетворяющие(АТФ,оА:операторы.РавенствооператорС:подпространствохeYuYобZY,линейные—банаховы—опе-непрерывныелинейныйопределяетнепрерывныйА1тZ,вYиподпрост-ImСзамкнутовзамкнутоподпространствотоядрарегулярного—>XА:АI-(КегImA*=линейнымявляющийсяYПустьоператора.линейный—(АТФ,п.непрерывнымнепрерыв-2.1.7).эпиморфизмом,на-регулярным.1.4.Определения1.4.1.=Вх)X,ПустьZ—>аннуляторенепрерывныйназывается{Ах,пространства,Тогдаэпиморфизм.Оператор,для2.1.6).п.банаховы—С\\у\<Z.xзамкнуто1.3.4.ЛеммаXXподпространствоАКег(АТФ,ZВ:и=У—>ЕслиВУ—>СхЛемма.образа.замкнутостиXX\ My\\1у,=2.1.5).п.1.3.3.Леммапространства,ЛМусловиям:eYусведенияПредварительныепроизводных.Производная(хихп).
.,Говорят,Лматрица(Л^),=%Фреше.ПустьотображениеFдифференцируемо-отображениечтосуществуетFRn,вF(xгh)+1,=jm,F(x)+Ah=FRm,вв. .,точкиокрестность—Wиз1,=(Fb=точкехеслих,сучтотакая,п,. .,=Fm).. .,r(h),A)+гдеЕслиFфункциясоставленаизЕеттоп,XточкиФрешенепрерывныйнекоторойвпоказать,ЛматрицаЯкоби.матрицейЕслиякобианомназываютотобра-х.УинормированныеF:—Отображениех.легконазываетсяЯкобиматрицыточкевПустьB)МатрицаопределительFотображениякакто,производныхF'(x).обозначают=дифференцируема,частных1 /2(sThf\\h\=0,точкехиFЛхокрестности"'*'У—>пишутоператорXизвUпространства,9/Y""""втакие,D(x),?если(ЛУеокрестностьЛ"полинейныйсуществуют<S?(X,У))что'—дифференцируемымназывают'"Г(Л)>(!')иотображениегЛОператорЭлементы1.§(Iх)можноo(h)\ h\принакак0.—>ЕслиFFСх{9/).е1.4.2.Строгаядифференцируемовточкег5такое\ х\неравенствамх\\—\ F(Xl)УжевF(x2)-одномерномточкиF:Лагранжу,поеслиэтомЛагранжу.ЕслиAh,=тоГатовгде\ r(h,существуетFчтоговорят,называетсяF-^ix).точкетох,Л)||Ясно,по(см.различаютсявытекаетдляF(xо(А)=чтодифференцируемостьвhтакойобозначаетсяиг^//^АУже4).Изслучае)1.4.4.Производныеточких(х\,хп)дифференцируемаянепрерывнодифференцируемаГатовf(xr(h)=o{\h\2)+-^h)=вh)точкеFв=Тогдах.отображенияточкехдифференцируемопоA),B)Фреше(см.порядков.%/:еслиГатоR—>%.—Говорят,существует=И%Пустьфункция,0.(ужеснова—окрестностьиопределеннаяфункцияквадратичная+{-f(x)+f(x)[h]определению3).упр.чторазли-поЛагранжу.повысшихпонятиядваповариациидифференци-следуетэтислучаеразличныlim(\r{h)\/\h\2)h—>05F(x,hпонятиях,Y),FЛагран-по0.наточкевариациючтоГатоеслидвумерномRn,^{Х,почтотакая,гдев.
.,хFix)/1Ч—\F'(x)[h]+r(h,+дифференцируемостипервойэтиточкевариациейеповXh)+называютЛПустьокрестность—пределFixдифференцируемостиизв—^^^^-.A)К)F(x)-^имеетhmоператор=существование=5F(x,Гато.по$/существуетт=х2\\.5).упр.XGдифференцируемопроизводнойТакимобразом,любогофиксированногоприГато.упр.двумерномh)-^\h)+7\Fix,=отображениеЛоператорhе\\хх<-производнаяпространства,FчтолюбогодляудовлетворяющихХ2,неравенство-идиф-дифференеслиих\—Говорят,.h)SD(x)),e\ х2х\\ < 5, выполненоF'(x)[xxх2}\\(см.^ D(x)SD(x)любогодля_SFix,Принормированные—>%Y.—X,вхYиF%мыFотображениестроговсехдляЛагранжупоXПустьпишуттонепрерывно,называется-случае1.4.3.Вариацияснова5,<множестваоткрытогоF\x)—>Онох.o(h)F'(x)=отображенияизххчто| о(/г)||которогодлязначениеточке0,>o(h),+Y,отображениеидифференцируемость.вточкеФрешехэтом(приподифференцируемым> 0найдетсякаждойвD(x)eF'(x)[h]+пространстваобозначеноF'(x)[h]F'(x).обозначаетсяитак:F(x)=элементh.пишемh)+ЧерезэлементеотображениезаписатькраткоF(xпонимаяФрешепроизводнойназываетсяСоотношенияанализа27функционального/дваждыформаQ28Гл.I.Квадратичная¦г,1форма1O2f(x)1,¦=Переходим/: $/отображениеопределеноY—>??(X,можноf'(x)—>Y)ставитьопределеноf/f(x)[h\,f"(x)[h\]/12]покаждомуаргументуh\ДляXeоопределяются??(Х,тоопреде-J??(X,пространствоY).пространством,производнойвторойУ).Возьмемft2Такимтогдаопределелинейноеопределеноf"(x):высшихX;Gобразом,отображениеАналогично1x1^7.порядков.производных).производнаясмешанныхсуществуетhuвнормированнымf /(x)[h\][h2].(оf'.ty/^Y%отобра-9/,Gх.нормиро-ЕслиточкесуществованиипроизводныеТеоремаYи—(f')'(x)eJi?(X9Ji?(X9Y)).=e=каждойявляетсявопросdxidxjXПусть:_подмножество.множестватакжеf"(x)производныхслучаю.в(qij),матрицейчастныхоткрытоедифференцируемохПосколькуизФс1-пространства,отображениетосоставленабесконечномерномукнормированныесимметричнойопределяетсякотораяп,.
.,сведенияПредварительныевтораяЕслидляотображенияf"(x),длятовсехh2eXf f(x)[huh2}=ff (x)[h2,h{}(АТФ,2.2.5).п.1.Упражнения.неимеющегоПривестипримерфиксированнойвотображения,непрерывногопроизводнойточкепонина-какомунаправлению.2.Привестино3.ПривестиноЛагранжу,неимеющегоимеющегононе1.5.строгоОсновныеиспользуемыхокрестность—>Zрешениядля1.5.1.Теореманормированныео%точкиусуперпозицияТогда,еслихфимеетвариациюГато,имеющегопроизводнуюпоФре-исчислениянесколькозадач.вУ',Лагранжу),X,(р(х)ZY,точкиокрестность=нор-внаиболеетеорем,Пустьф:у,У—>вхfZ,нормиро-—=фX,Уо(р:%——>(риф.попопопоФреше.отображенийдифференцируемодифференцируемоточкепроизводнуюэкстремальных—Лагран-повариациюимеющегосуперпозиции.пространства,—имеющегодифференциальногоПриведемпространствах.Лагранжу.Гато.пополюбо-попроизводнуюповариациитеоремынормированныхчастоимеющегоимеющегоотображения,производнойотображения,примерпроизводнойпримеротображения,дифференцируемого.5.ПривестиФреше,непримерне4.Привестиноотображения,примерлюбому направлению,ФрешетоfФреше(дифференцируемообладаетвточкеау,вточкехв(рГато,потемже§свойством,что1.Элементыи(р,анализа29функциональногоиэтомприсоответственноГ(х)=*ф'(у)о<р'(х),&(х)=<ф'(у)о<р'г(х),5f(x,Еслифвдифференцируемооh)\ r(h)\\функции.отображениеFотображения50>вКи0,хвшаре\хМыпривелиЗамечание.форме,которойвОбычно%Ф:Rsх—Ф(ж,Rs,—>КсуществуютС1(В(х,классау)чточастности,и55)),>у)^у(х,0,0<(х,требованиямПоложимФ(г)).теоремыобратногоформулуПусть.
.,#&,обратимаяу\,,ys),..Тогдаматрица.оиотображениетакоеВ(х,ср:5)—>RsчтопТогдаифункции).(х\,=тойвиспользоваться.неявнойоэтомприфункции^=иу=насО,>гсуществуетпрямого,у)—5<гладкостьгладкость(х,у\обратнойутеорема=0,>обточкиокрестностьF(x)чтотакое,какже,——отобратакие\ушараRn-^якобианеслидальнейшемвтакаяПусть9/F:существуюттеорему(конечномернаяИкСгвбольше,будетСледствие%<будетонадоказываютотображения1lKх\—хп),.
.,тофунк-функции).обратнойТогда,у.изунеявнойипространстве.(х\,нуля,любого2.2.5).обF(x)токасательном==от\х-х\^К\у-у\.феслиместа,обратнойохCx{°i/\дляп...п.обтеоремачтоединственное+(АТФ,отличенх>h]точкиточке(АТФ,существует,Теоремаклассадифференци2.2.2).строгосрхговоря,f(n\x)теоремыокрестность—X.eвообщеf"(x)[h,(конечномернаяRnСавh^OприКонечномерныеТеоремаЛюстерника.Теорема9/V hу,имеет,\+o(\\h\ n)=вЕслиf'(x)[h]+Л)]Гато.поТейлора.f(x)=[5ф,несуперпозицииФормула+1.5.3.строголишь1.5.2.гдеfф\у)=дифференцируемодифференцируемостроготох,Теоремадифференцируемоf(xh)/с +=z5,Fфункцияобобратной(х,=вточкеу)(х?=(ж,ибофункции,/еФхB)кRfc,у) будетху—GхRs),удовлетворятьF(^)=30Гл.I.естьневырожденнаятакиенайдетсяединственнаяПоложивтуединственноеу0,>0>е0,=\уF(x,у\—<s,(р(х))которого(х,|?/Замечание.ИзнемедленноТеорема0{х,е5,<у|—<то?иединствен-0,=\>обратнойУ/F:Z.->Uip:FЕслисуществуютДоказательствоэтойZX,Пустьфункциибанаховы—-^пространст-SD(x)eF'(x)иUокрестностьXтакие,F(x + ip(x))\ <p(x)\\^K\\F(x)-F(x)\\.<\|?/+имеетсяпроизводнойдляотображениеитоу?(ж))х\.—х\—су-|гу|+-[Fv(x,<p(x))]-l[Fx(x,tp(x))].=то0К\хформулыX),эпиморфизмом,>Ф(ж,^^<Люстерника.пространства, <%Ку|—5,<х\—чтоследует,<p'(x)число0)|жх\—функции|?есликоторой\хдляобратнойчтодляесли=0,>у),чтополучим,обтеоремеКи(ж,пара(р(х),=Поматрица.5существуютсведенияПредварительныеWСявляетсяточкичис-х,что=F(x),основанотеоремымодифицированномнаНьютона.методеА)Необщности,ограничиваячтосчитаем,х0=F(x)и=0.Вы-оберем0>гстоль|№')\ х'\при<5оператореUВ@,=стольБ)получаемПриПусть| ?fc+i|<п1=B)изобратномобратнымоператоре<^0=х,B)| ж|Vnго^eSD(x)),Ff@).кприлеммыих"\\A)-Fг/2| ?п||что\ х'посколькуп^0,s.<<0.1.3.2)Положим5.Очевидно,обратномправомгде(п.чтоопера-| ^|Для\ MF(x)\\^C\\F(x)\\,C)=е/2.<гггпри=0,1,=.
.,F'@)te+i-6)откуда±<оценку| ?i|<правом+C||F(x)||\ ix-x\\откудаоиндукции,^/2.ивозможно,правым| ж|чтопо<(этолеммыWх")\\-являющегосямало,\ х\гизС5):^n+1=^n-M(F(^)),Докажем=<г)F'@)(x'-взятаМ,ехдляН?о||1>операторадлягде\ х"\\г,СконстантаF{x")_В@,чтомалым,0,1,кизк. .,B)(кимеем+^te)=0,D)^1).Выведемотсюда,чтоЭлементы1.§анализа31функционального|&-i)(i4Ц6+1=>ОтсюдавсилунеравенстваТакимобразом,В)—>ИзUn-ПереходякEх)N^j|х\\_+¦¦пределу,Un-l^Ц^на+¦6 К+6II-| ?fc+i| <?,ибII+<пооткуда| ^n+mчтоиндукции?n||-?п_2||-..\Ь+?n;n—s-oo6 |-(_}:|\|_ж||_.lim=тогда+Л+_-значит,и,ф(х)+| ?n+i<последовательностьОбозначимX.+6-следует,банаховостисилуCn-1+6-iI6+фундаментальная—Х\\ ^Un-¦0.>E),в¦чтоVne{^n}n>oе.сходится¦получили,<неравенствт.оо,онаиб+мы+-E')i=l,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
