Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

.,. .)Лоэлементарной0.=допустимыйЕэлемент,Еслизадачи.решениемЛагранжаВ.М.+. .))•хп,inf;-^единственныйестьявляетсятакие,xn/n,. .,хп/п+..задачумножителии+x2/2,. .,=f(x)Здесьx2/2=x\+Rи?/*задачиG/|,не??следовательно,чтопредположить,равные=Xof(x)одновременно+ (у*,существуютнулюF(x))-^inf18ВведениенеобходимоевыполненоФерма),у*где(у\,=(—Ао,=. .)уп,. .,§ 2).IV,гл.у*условие??(х,минимумау*)Ао,(теоремаФер-тоНоэти. .)Ао,—. .,х)Y1 \хп\=<либо(х\,=0,=. .),хп,. .,0,=тогдаобае.т.всехпространство—| ж|которыхдляпространство,—у*1^ф 0,АотогдаЗдесьнулю.Щоо,Ао(КФ,/2изоморфно(КФ,1%ксопряженное=§2).IV,гл.либоравныпоследовательностей/|посколькупротиворечивы:^ h',Лагранжамножителя/2,GусловияВУпражнения.ограничений обвпеременных,двухпривестиоднойбесконечномвдостигаютсяминимумилитребования.нижеуказанныеиограниче-функцийвыполняютсямаксимумбеззадачпримерыдифференцируемыхкоторых1.Абсолютныечисле1-8упр.бесконечноэкстремуметочек.2.Функционалминимумабсолютныйограничен,ми-достигается,максимумнет.—3.Функционалабсолютныеноограничен,иминимумнемаксимумдостигаются.4.Функционалнемаксимум5.Функционалимеетимаксимум6.Имеетсяабсолютныеноточки,критическиедостигаются.ограничен,глобальныеноминимумы,имеетограничен,иминимумединственныйлокальныеимаксимумынеминимумлокальныйминиму-достигаются.являющийсянеэкстремум,глобальным.7.Имеетсябесконечноелокальногоодногочисло8.Ограничениепрямую,функции,проходящуюлокальноговместевнекоординатпря-локальныйнулеточкойявляетсячтофункцияеслиоднойтоминимум,точкислеваотточкивпеременнойиме-некоторойфункциядостаточноубывает,авозрастает?условиюх./.11.Пустьсвоего/определенаlim|ж|—s-oof(x)функцияудовлетворяетмножество.нилюбуюнаплоскости,имеетначалолокальныйэтой10.Пустьдостигаетнакоординат,темутверждать,точкеокрестностисправанульсликакой-либовмалойфункциинетминимума.9.Можноимеетномаксимумов,заданнойначалочерезноминимум,локальныхминимума.Доказать,чтокаждыйабсолютногохи=+00функционалнекоторомДоказать,Rn,нафунк-минимумаXмножествечтоудов-единственныйимеетабсолютногонаминимума.f'(x)иточкойявляетсядифференцируемаX—достиконечноеПринципЛагранжаФормализоватьплоскостипрямойдо13.Найтикратчайшее2х\кратчайшеепространстве14.Вписатьвкругзадач19экстремальных3^2заданнойотрасстояние+A,точки2)наплос-1.=заданнойотрасстояниезаданнойдотеории12-17.упр.12.Найтивточкивтрехмерномплоскости.стреугольникнаименьшейсуммойквадратовсторон.15.Найтинаточекзаданных16.Разделитьчтобыплоскоститочку,расстоянийсуммаоткоторойдотрехминимальна.положительноезаданноепроизведениечислочастейэтихпроизведениянаначастидвеихтак,былоразностьмаксимальным.17.Средиединице,2*полиномовнайтистепениполином,пимеющийсостаршимкоэффициентом,наименьшуюнормуравнымв1/2([—1,1]).IГлаваПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕИ ЗАДАЧИЭлементы1.§МногиеОГРАНИЧЕНИЯМИфункциональногоанализадифференциальногоифакты,АТФ.СВЕДЕНИЯСисчисленияотмеченныеПоэтомуиногдапараграфе,этомвбудеммыограничиватьсякнигевсодержатсяформулировкамилишьтеорем.1.1.НормированныеОсновные1.1.1.называетсяеслиназываемыйнормойчтобыпишем|еслисуществуют•\ х.такиеввести|и|2•\ х\=С\мыпи-иС2,чтоеслиметрическим,х2\\.—ПолноеотносительнобанаховымназываетсяпространствоX,эквивалентными,становитсях2)наназываютсяконстантыр(х\,расстоянияименнозадананорма|jпространстворасстояниевведенного•положительныенормированноенемR,—>Ухх,х2еХ.|XвXX;чтонормыназыва-|:0;=Ухе| x2||+0<^>х=R,еа•условиям:подчеркнуть,ДвеВсякоевУ|функционалопределен| ж|иXпространствоудовлетворяющийи|а| | ж|< Iki|=XнаУхеХИногда,пространства.Линейноеопределения.нормированным,а)||ж| ^0б)||аж||в)Цж1+ж2||банаховыипростран-пространством.1.1.2.банаховыхПримеры1.Примерпространств.КонечномерноеRn,пространствоп/XрОВ=(Х\,.2.Примервектор-функций х(-):=max.Хп),,\х\НОрМОЙС(^г=1 J2 x<i)=С(К,ПространствоК^Ип,Rn)назаданныхизсостоящее/вектор-функ-непрерывныхК,компакте3.отрезкеСГ([Ц,Пространствовектор-функций[to,t\]СR,снормойх(-):t\],[to,Rn)t\]векто-1/2снормой|ж(?)|.Примердифференцируемыхконечном.\r-^разRn,| ж(-)||одиф-непрерывнозаданных=нако-4.ПримерЭлементы1.§анализа21функционального1%,Пространствопоследовательностейизсостоящеесюх(х\,=.

.),хп,. .,/| ж|формулой1/2г=1ч( J2 х\)=1.1.3.ПроизведениеДекартовонормированноевведяНО,y)\\xxYчтопроверить,эквивалентныедругиеочевидноеX*| ж*||х*далеевпревратитьВозможныи8).произведениеупр.декартовобана-(КФ,ж*конечномерномуx)iобразуетпроизведениехп). .,Rn?х)Rn,Пространство,изоморфно§2).векторовдвухотносительнопространствомпространствуувпредставляетсядействиеозначает(у\,=науп)Скаляр-Rnеиже^2сумма(у,суммыобозначатьсябудетyiXiнамих=пх)J^=п^=1ТахсопряженноеRn..

.,видеXксопряженное(ж*>гДеIV,гл.оператор.функционаловнепрерывныхX(ж*>SUPсопряженныйибанаховымявляется—функционала(х\,(см.пространствеОнопространство.=\ у\ у}выполняются).пространстволинейныхвсехнормированномСкалярноеможнонормыутверждение:1.1.4.СопряженноеСовокупностькнормированные—банахово.пространствнормыYхтах{||ж| х,аксиомынормировкиОтметимбанаховыхУинорму=всеXзадаваемойнормой,с°°'Xпроизведениепространство,(легко<Пустьпространств.пространства.наY1 х\которыхдляоокакпростоy%Xi.еслиух,г=1уRn?(итогдаXлинейныйнечтоYиэтомприестьухПустьRn;?х,сопряженныйоператор(КФ,ДлялинейногопространстввX*—>Y.вТогдатакой,??(X,?можноY)х)(у*,=ВсякийследующаяочевиднаяфункционалАна(X?хУ)*произведении(х,у)){х\=однозначнопредста-х)+{у*,изперечисленныху),жЧХ*гдеу*иеY\Упражнения.1.переменныхВыяснить,иприa) N(x)какиекаких=значениях(\xi\pАх)про-виде(Л,—определить(Л*?/*,чтофункционаланепрерывногоместоЛемма.XизУ*строкой—§2).IV,гл.имеетпредставимЛ*:Липространстваоператоруматриц).произведениенормированные—непрерывныйУхеХкакиное,столбцом,считатьхследуетнижезадаютпараметров+\х2\рУ/р,р>0;функцийнормудвухвR2:перемен-99Гл.б)N(x)в)N(x)г)N(x)===I.|ацЖ1тах{|ацЖ1+ai2^2|(а\\х\+2.Доказать,¦а\2х2\,+чтосведенияПредварительные2a\2X\:\х\нормы(х\=а^I^2+| х| ооиmax{|#i|,—|#2|}эквивалентны.3.Доказать,этойчтоВнормеограниченным| || | ж|если{х=•Rn?1}^Rn,внорма—начало—4.Доказать,еслиВмножествоявляетсязамкнутымцентрначало—такаясуществуеткоординатнорма,5.Доказать,6.Доказать,всечтоR2внормывсебудетко-дляточкой,внутреннейВкоторойRn,вявляется—причтовыпуклыммножествомцентрально-симметричнымкоторогокоторогодляточкой.внутреннейявляется—чтоограниченнымвыпуклыммножеством,координатвшарзамкнутымцентрально-симметричнымцентрединичныйтоявляетсяединичнымтошаром.эквивалентны.конечномерныенормированныепространствабанаховы.7.Построитьпример8.Доказать,что\ х\ хтопространства,Xвнормынонормированного,(X,\ y\ Yесли+|\ х)•и(\\xWxибанаховане(У,|+IMIyI^2пространства.\ Y)•нормированные—эквивалентные~~Y.х9.ПустьнормированноеXпространствосостоитизнепрерывных1на[0,отрезке1] функций| ж(-)||нормойсj \x(t)\dt.=Принадлежитолилинейный(ж*,| ж| ,функционал10.Чемуравнанормах(-))х@)=GхR2,X*?пространствуединичныйеслизадаетсяшарнеравенствами:а)В={(х\,х2)Гх2б)В=(х\,<был(X,|•б)N(x)в)N(x)г)N(x)| ),R2.норма===max{|xi|,(\х{\Р(апх\х\^х2^Ь\,(иликруг1])плоскостьюнормупространства,>р>0,а\\а22—а22>х2^Ъ2 >?1]),единич-0.еди-рассечьчтобывсопряженного2аХ2ххх2а\\^иначе:так,соотношениями:задается\х2\Ру/Р,+—Ъ2С([0,\x2\};+а2};подпространстваНайтиXв^единичныйС([0,=^—а2—Ъ\двумерногоявляетсяXеслиа\,а2Jпространствакруг).12.Пусть^-|- Н—|^Ькоторогошарх\х21примершаромединичный^—а\х2)Iа111.Привестиединичным|сечении1.2.Элементы1.§Некоторыеанализа23функциональногоизтеоремыгеометриифункциональногоиана-анализа.1.2.1.ТеоремыЧащеминимума.Теоремао1,следующаяфункциянанепустомконечномерногоабсолютныхсвоихми-основнаяподмножестведостигаетимаксимумаНепрерывнаязамкнутомпространствадостижениииспользованаВейерштрасса.ограниченномт.Вейерштрассабудетвсегопростимаксимума(Н,минимума235).с.Выделимэтойизследствиепростоетеоремы,будемчастокотороеиспользовать.Следствие.=Если(+оофункцияf(x)lim=оо),—(максимума)минимумаНапомним,называетсявыбрать(равносильноеилиОграниченноеивкRn.называ-пространствеэлементовАизизвыбратьАизподпоследовательностьвсякогоАпокрытияконечноеподмножество=подмножествеметрическомеслиможносвоегоэлементуопределение)f(x)lim|ж|^ооабсолютногоипоследовательностисходящуюсязамкнутоедостигаетвсякойизмножествамиоткрытымиfRnназамкнутомАмножествоеслинепрерывналюбомначтокомпактом,можнотоfконечномерногооткры-Ограничен-подпокрытие.являетсяпространствакомпактом./: XполунепрерывнойФункцияназывается{хмножествоСледующаямногимсодержащемся(максимума){хвС}<Теорема| f(x)ВейерштрассаобобщеннойС})достигаеткомпакте,своегоминимумаСнекоторогоинепустомножество(АТФ,компактноизследствиевсякомнее3.1.5).п.вытекаютсразуэтойизтеоремы.Введемотделимости.отделимостиподмножестванормированногоесли(ж*,ж*Функционалг>0Gтакое,(х*,х)х)X*<строго(ж*,X*сопряженное—у)GX*АУхеразделяетXнаразделяетАXАиВ,УуеВ.иАмножестваУхекфункциона-множестваичто^(х*,у)-естро-подмно-некоторые—непрерывныхх*функционалчтоиотделимостиВиX,пространствалинейных(пространствопространствопонятияАПустьмножеств.двухфункционалов).

Говорят,существуетпространстнадляеслии1.2.2.Теоремыстрогойметрическом(максимума)X,>мно-управления.Полунепрерывнаявfмно-коприменимаоптимальногоичастности,Сзамкнуто.(обобщенная).всем({хС})>X,пространствелюбогодляВейерштрассазаданная/,минимумаВX.на| f(x)| f(x)XееслиисчислениядостигаетX,пространстве({хВейерштрассафункция(сверху)метрическом(сверху),теоремавариационногоТеоремаснизуС}<обобщеннаязадачамназаданнаяснизу| f(x)XеR,—>и\/уеВ.В,еслисуще-24Гл.I.ВпервомВконечномерномвRnтеоремыТеоремаслучае). Пусть1иААотделитьИз(КФ,Хана-БанахатеоремывотделимостиIхТеореманормированноенетоАи(первая2х(втораячто(ж*,supАУпражнения.1.Привестиограниченномсобойх)<п.ипривыпуклы,Аоткрыто,разделяющиймно-XПустьзамкнутое(АТФ,норми-—Xсэтомразделяющий2.1.4).п.поднайдетсяфункциинижняяиА,ихнепрерывнойкоторойнормиро-—выпуклоеТогдаА.принадлежащаядляXВи2.1.4).строгох)Xе!*,непустое—Gl*,(х*,ограниченнойпрямой,примерподмножествесх*нех*функционалтакой,Xсточка,—следующиеПустьАотделимости).теоремаАихеХненулевойстрогопространстве.множества§ 1; АТФ,IVпространство,подмножествоможновыводятсяотделимости).теоремаЕслигл.§ 1)IVгл.междуфункционалненулевой(КФ,ВТеореманормированноеточкуRnвЪнормированномпересекаютсясуществуетмножестваслу-множествоТогдапроизвольномпространство.непусты,А.множестваконечномерномвыпуклоеА.содержащеенеотвзамкнутоеслу-Rn,А.оттеоремыконечномерномвотделимоститеоремаиздругой.случая.вотделитьпринадлежащаянеконечномерногоможнооднойврасположеномножествовыпуклоенепустое—п—\.гипервВдляЪопределяетсуществованиеотделимоститочкусR,еразмерностиозначаетмножествотеорема(вторая2точка,—второмотождествитьф О, C(полупространства),аотделимостинепустоеТогдаRn.ВичастидвеА,(первая—ТеоремаПустьЪнамножествоСформулируемЪ GАRnделящейточкивоможнох*C, гдемногообразие=линейноет.е.находитсякоторыхх*х)множествотделимостьгиперплоскости,случае).(х*,Равенствогиперплоскость,Поэтомуотделимыми,называютсяфункционалслучаеRn.извекторомВотделимыми.строго—АимножестваслучаеслучаесведенияПредварительныенат.е.ограни-верхняянегранидостигаются.2.Привестизамкнутомограниченнойпримерпрямой,подмножествефункциинепрерывнойдлякоторойнижняяинаверхняязамкнунегранидостигаются.X3.Пусть—нижняягрань4.Привестинепрерывной.5.Являютсяа)полуинтервалнайдетсячтокоторойнеликомпактами[а, Ь);такаянеявляющеесянанепрерывнаяXфункция,нонедостигается.функции,примерпрямой,подмножествонекотороеДоказать,компактом.полунепрерывнойследующиеснизу,множества:непре-Элементы1.§б)последовательностьточекв)подмножествог)в(J [n,=Ээллипсоидпримерограниченногохпх<=п1, 2,=.

Характеристики

Список файлов книги