Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1050514), страница 9
Текст из файла (страница 9)
.,3.5.Найти\х\д)|жа|;—3.6.НайтиV1},<от1;р>функций:следующих1/ж2;г).функциюотфункцииA,1)};С([0,/:1])полярыа)Аб)А{(-1,-1),{(хи==г)ВрАд)функций6){x,max3.9.Вычислить\х\1}.<0};следующихв){—ж,maxмногих=Хл)\/11г) max{0,(а,2\l/2*\I\ ;аеоднород-нормированном3.12.НайтиmaxследующейС([0,1]):субдифференциалввыпуклыхж^;Rn.пространстве3.11.Найтифункции)в)Xi\;maxсубдифференциалводнород-0}.следующихб)х)},3.10.Вычислитьфункциивыпуклыхпеременных:( ^>defI±л/3/2);(—1/2,1;р>субдифференциалыфункцийоднородных1},субдифференциалыпеременной:одной\х\;а)|x2|P<| ^/а^+ж2/а2плоскости:A,0),точкахв|xi|P3.8.Вычислитьоднородных<+наA,-1),1};вершинами{(жьж2)|{(жьж2)=1),| х\+х\х2)с=множествследующих(-1,в)треугольниквыпуклой/(#(•))нормы(какdf(x)следующиходнород-ж(?).max=выпуклойоднороднойпространстве.субдифференциалфунк-выпуклыхфункций:a)Xб)f(x)R,=XС([0,=3.13.Найтивточках-^tG[O,l]3.7.Найтиоднородной1сопряженнуюWyа)| |ж|е)|ж2/а2|р+в) sinx;—в) еа1Ж1+а2Ж2;5^22^2функцииIJ;—+| |xi/ai|Pхп}..
.,сопряженные(х2б)+{x\,max=вторыеа)л/\х\]2ai2?i?2+{(xbx2)GR2=д)f(x\,а\\х\б)6;+а2^2=тах{еж,1]),f(x(-))функциюA,0),(-1/2,1=Минковского±л/3/2).max-х},х\x(t)\,=0;x(t)длятреугольника=sm3irt.свершинамиR,60Гл.I.3.14.Найтипример\f(x)\чтотаких,3.16.(Р)<df(x)оо,Доказать,f(x)тофункциювыпуклойсопряженную3.15.Привести3.17.(Р)Доказать,Rn/:есличтоссовпадаетединичнымеслиR—>и/*(#)этомпримножестваполярасамимточкиихвтомножеством,этоf(x),=евклидовомпрост-множествоявляетсяшаром.3.18.Привестифункцийненавсегдапримере,нафункцийПринцип4.XR,гПосколькумаксимизации,Точкааминимизации.хназываетсяЛемма.г=1,.
.,га,га,. .,врасширеннуюА.(з)е(функцио-функции(необязательнонорми-Апрямую,/функции—/,тонесущественно,допустимойXлокальныйПустьточких(з),вGхxG^.нормированное—являетсяминимум1осЭтогшпз.чтотакая,выпуклое—вообщеследует,что(з)еслихGговоря,незадача—Амакси-fi(x)и0,^а)/о(ж)-Поэтому>0видудальнейшемвминимум.A=существуетлюбойг=<fo(x)мы,Лагранжа:функцию^(Ж)А)=г=0xg4bфункциюЛагранжа%Тогданевключается.)говоряприявляетсяи^>решения.Составитьточ-х.GИенссеназадачахвыпуклых%окрестностьа)х-\-ах/о(ж).выпуклойдопустимойточку—неравенствуfo(x)откудаабсолютный4.1.2.Правилодлядопустимуюхвекторпо+а/(ж),ввfo(x)<произвольнуюаСледовательно,допустимым.чтоозначает,Впространство.глобальным.иfo(x)<—ооВозьмеммаломдостаточно(Ограничениезадача:хвыпуклые—линейноевыпуклостиПустьзадаче1.программированияэкстремальнаяга..
.,имеем0,<1,замк-функцией.X.изфункцииAвыпуклыхвыпуклогоследующаянекотороеXпространствовыпуклостьточкиО,=отображающиев<\двухпрограммировании.называетсяfi(x)—>подмножество1,выпуклыхзамкнутойвыпукломЗадачейзадачи.задачей)fi'.(функционалы),нормированное)функ-двухзадачив/o(a;)->inf;ЗдесьвыпуклойВыпуклыеЛагранжавыпуклойконволюцияявляетсявсегда4.1.1.Постановка(илифункции.замкнутойнесуперпозициячтопримере,не§4.1.ночтовыпукла.3.20.Показатьзамкнутыхвыпуклой,пример3.19.Показать</функции0.=чтоМинковского.функцииотзамкнутой\x\2/2.=пространстве=сведенияПредварительные«минимум»,fo{x)^4.§2.Выписатьа)принципзадачи61Выпуклыенеобходимыеусловияминимума:минимумаЛ) =&(х,,б)условиедополняющейнежесткостиXifi(x)в)условиеО,=3.Найтикритическиеудовлетворяющие условиям0=единице0,грешениемрассмотрениеВовскромеприсущими4.1.3.вКуна-Таккера.Пустьга,Xфункусловиямивсеб)сзадачахиограниче-в)(см.неравенствамиfi:пространство,функцииАX,наявляютсянеотрицательности,—§ 2).XR,—>подмно-выпуклоеX.подмножествоТогда,еслих(Ло,Льа)являетсяненулевойАш).
.,принципзадачирешениемнайдетсятопрограммирования,такой,чтоб)условиефункциидополняющейф 0,Лодопустимаятоточка3.Для1,. .,Л);г1,=га;. .,неотрицательности2.Еслихчтобытогот.=Лагранжа\)=&(x,=0,Хг^О,Слейтера,XнежесткостиXifi(x)в)условиепрограмми-Лагранжавыполняются:дляминимумавыпуклогомножителейвекторf(x,=Лагранжа.минимумаилинейное—нет.принципомУсловиянежесткостивыпуклые—являетсядополни-включеныкоторуювонанеобходимымивключения.Лагранжа1.. .,условиядополняющейТеорема.1,необходимыеявляютсятипатоилиминимумсЛагранжа,ТеоремакоторойтребуетсятосоответствиивограничениямипринципуЛо=онаф 0,Ло0,припричтоусловиямивыпол-дляА,?хравнымЕсли0.доставляетограниченияобычнымиточканайденапоказывает,отдельноЛоположитьконстанте.найденаонафункцииминимумафвыписанозадачеможносуществуетточкаа)Соотношениее.удовлетворяю-рассмотретьслучаеЛотоЕслиточки,полезноположительнойга,.
.,га.. .,допустимыевторомт.решенияфункционалабываеттого,Правило=0.критическая0,m;. .,1,е.т.этомдругой1,=дополнительноеограничения,1,=0,=точки,Слейтера,задачи.=флюбойусловие<гПриЛоиили4.Еслиг2.п.Лослучаиfi(x)гнеотрицательностиХг^О,выполняетсяА);е.существованияга(АТФ,условиябылаЛог1.3.3).0,1,а)-в)га.. .,достаточныдлячтобытого,задачи.решениемдостаточноф 0,точкип.=выполнениях?А,дляСлей-условиякоторойfi(x)<0,г=62Гл.I.4.1.4.ограниченийбезЗадачиназываетсясведенияПредварительныеограничений.беззадачейВыпуклойограниче-задача:следующаяf{x)^mi.(з)ЗдесьX/:R—>собственная—линейноенекоторое(аналогТеоремадоставлялачтобыдостаточно,4.2.minдвойногосостоитВвXX.наF:возмущениемXYхдвойственныеFфункциябылаиX<\у)S-функциейЭтоg**@)=оченьS@).ЭточастоможноиY.разнымидвой-различныечтобытак,{з(у)}.F(x,—>возмуще-—(з(у))у)обозначаютнавыпуклаТогдафунк-произ-S(y)S-функция=Y.наопределений;функцияпредположение,оперетьсязадачсамымизадачиу)Xчтотеперь,{з(у)}получатьсясерии(х,следствиепростоеПредположимдругоесериюсериюзначениевыпукланекоторогопробегающеговозмущениепространствфункция—отвыбиратьбудутфункциятакжеаможноЧисленноеПустьлинейных—/,этогоR—>xeX,(з(у))подобратьназываютXf(x).возмущенияотвыпукломузада-рассматриваютinf,-+/:у),говоря,=Стараются1.F(x,inf0)кзависящихзадач,возмущениемвыпуклой.S(y)произведенииноу)зависимостивЛемма=F(x,па-минимизацииачерезИначеназываютзадачи.через=^>xeX,(з)обозначимY.F(x,R,->Разумеется,и—возможизадачаподобныхмыFпутями0=двойственнойпространство,пространствоФункцию(з).данаinf,->классв(которыйгдех)—хпредыдущемотноситсяпостроениянамлинейноевключаютпараметралинейноех@,=допускаютэтоПустьВзадач.принципследующем.некотороеЕе0^@,>объектычастности,f{x)гдеf(x)—f(x)—выпуклыеОсновной—f(x)=^>чтотом,описания.программированию.задачиf(x)=>¦зэкстремальныхоговорилосьвозможностьхдо-идвойственности.Двойственностьпараграфеточканеобходимо>з.Теория4.2.1.mindf(x)О еabsGчтобытогоdf(x).absxG=>0е9/(?).хДлясоотношениеДостаточность.==>прямую.минимум,выполнялосьНеобходимость.-х)расширеннуюабсолютныйО е<\вФерма).теоремы(з)задачевотображающаяфункция,выпуклаяXпространствосм.Sразумеется,наследующийАТФ,3.3.2.п.взамкнутавыполненорезультат.>т.нуле,невсегда,е.4.§Леммаа)Длязамкнутойвчтобычтобытогонепрерывнойограниченап.2.6.2).эффективноговнекоторойсвоегобылаконечнойSпустьS*,функциюУ*X*,^S*(y*)предполагая,их—supу)((у*,S(y))-у))(х,у)S@)Такимd=S**@)=образом,численноех)(р(у*)гдеотношениюкF*@,f(x)(з)F(x,Ш)у)(з*)МыпришлиФ(ж*,inf;исходной,аипрямойзадачевыпуклогоФенхеля-Моро,R,непрерывныйгaiпоотноше--+(з*(ж*))sup,у*).тонуле,прямойзначениядвойст-изадачаисход-прощетоврешение,описанныйприменяем0,R,5**@)=каквремяуобщейкметодXв1,т,.
.,г=X. .,впрограм-выпуклогофункцииАY,теореме/^:пространства,выпуклые—из1,задачнормированные—на3.2.1.п.дляYиобычноосновываютговорилосьдвойственностиПустьоператорe(з)ксхеме:двойственнаямыкоторойТеоремапрограммирования.—>чис-равныму*)существуетS@)=о=у*).программирования.S@)Равенства4.2.2.Ф@,вДалеенет.решенияоказывается-F*(x*,=ЗачастуюдвойственнойуF*@,sup,(з*)у*)замкнутасовпадают.иногда=^у))следующейк->выпуклазадачF(x,-двойственной=SЕслиу))y*eY*,(з*)f(x)=F(x,0),?>(!/*)двойственнойy)-F(x,у)(з)называют{з(у)}.-+=у*)).inf;ip(y*)->у))задачи:у*),возмущению(у*,+^*)^sup,—F(x,((у*,значениеследующей=пространства,inf-sup(-F*@,supу*значениючисленному(АТФ,сопряженнуюнормированныеу)=(@,sup=ОтсюдамножестваточкиВычислимнуле.—((у*,sup=х(х,у)УYиsupsup((y*,y)-F(x,=этогоэтойИмеемсопряженные.УУхточкевзамкнутаXчтоводостаточно,окрестностиивыпукланепрерывноймножества,некоторойвсверхуИтак,былафункциявыпуклаячастионаиY,былаонаR.—>замкну-точке.чтобыебылафункциявыпуклаядостаточно,точке,X/:пространство,собственнаянекоторойвэтойнормированное—чтобытогоб)ДлявнутреннейаX2.Пустьзадачи63ВыпуклыеСX1,.
.,АX,наX—>линейныйЪ Gмножество,выпуклое——га.Задачуfo(x)~^inf;fi(x)^пг,г=га,Ах=Ъ,хGА,(з)64Гл.I.включимсемействовсведенияПредварительныезадач/о(ж)fi(x)-\-^ctiгdi,{з(а,Семействоrj)}1,=inf;(з(а,->rj))Ахга,. .,является-\-rjb,=задачивозмущениемА.Gxзз@,=0).По-Положимг(х;г])а,з(а,Тогда<=/о(ж),1+оо+остальныхв^otiAxdi,+r]b,=xA,eслучаях.A)rj)можнозаписать(з(а,rj))Численноевrj)а,з(а,обозначимэлементарнойвидеF{x\^^значениеограниченияхfa(x)если,rj),(поinf—>S:RmYxX).ех(ж),inf/от.е.S,череззадачиприуказанныхR,-^огра-будеминазывать^-функцией:/Sfa,Лемма1.Отсюдаизи{з(а,О12.г])}(А,Г]<По5*(А,хелфункция1+оо,(АТФ,выпуклостьS-функциикa,YсемействаA^RIJ\((A,sup=г])х(а,a)((A,ж)77,Hf(ту*,+sup(а,ту)a)=<( sup{-/0I(x)г=1J-хеАl+oo,r]))a,a)<»?•,+Аг(/г(х)d=r]))(r]*,ri}-F(x;a,+=-аг)»?> -/о(ж))-(ту*,=Лх-Ъ)\,A G4.2.1получаемA^Rip,требовалось.образом,двойственную?F(x;inf-«A,sup()ТакимследуетF(x\определению,ry*)иxчг=1=чтопунктаСопряженная<=предыдущегоRmхвидимеет)функцияXнавыпуклаrj)}.{з(а,rj).a,допущенияхвышелеммысемействаЛеммаXA),равенством^-функции.F(#;inf=сделанныхПриопределяемаяп.3.3.2).rj)>всоответствиисобщимп.правиломзадачуy*)=infЕАSf(x,r]\1,А)->sup,А >0,ту*GУ*,R-,rj),4.§Лгде(Ль=^{х,Аш),.
.,задачи65ВыпуклыеЛ)1,77*,fo(x)=Ш(ж)?+а»)-(ту*,+Лж-Ь).г=1Теорема{з(а,г])}(domintевнепрерывна5)S(a,г])Теорема<?с/шдвойственности.такжевытекаетсразу1лемм2.иявляютсяищутсяиагRn,еRn,е—>b eТеория(з)[6,количество7,по4.4.Выпуклый4.4.1.Необходимыеа1,столбцамиап,. .,координатные.Оглубоко.и(з)линейногоАТФ,см.тео-явля-программированияизложена[12]задачнике3.3.§программированияВбольшоеимеетсяпрограммированию.теорияэкстремальныхзадач.первогоfi(x)^0,-^R,г0,=порядкав1,i=l,.
.,m,<%F:га,. .,<%У,->Функцияпространства.вид:ра-0,(з)^хдетальноусловиянормированныеЬ),длядр.ищуттипасзадаченера-задачу/o(a;)->inf;fiвыпуклыхфункционалами:солинейногоииРассмотримгдеакоторыхограничениях^матрицазадачанализ<%епункте,классом(Ахb^—разработанаТеория14]линейному11,задачнеравенствами.rj)ту*)).вдвойственностирешениясимплекс-метод.книгахв(а,предыдущемприлинейнымикакиметодомявляетсяАRm,типазадачсуществованияОсновнымAxпонимаютсянеравенстватеоремахвтакже(inf);supRn,ер(Л,+Важнымзадаваемыхсту)сказанногофункционаловнеравенств,(с, х)х(т/*,+программирования,линейныхравенствгдеизпрограммирование.линейногозадачиэкстремумыа)семействалюбыхдлято>4.3.Линейноезадач((Л,sup=S-функция(О, 0),точкееЛагранжаF(x)=0,(з)@(Х),этойXиУ-имеетзадачитг=0Теорема.ПустьSD(x),еFТогда,XЛагранжаXиlmF(x)итоу*)еУRm+1xF'(x)можнот^ 0,5Алексеевсчитать,тоследуетидр.такой,чтоЛ)щ=Л,чторассмотретьf[(x)х*,=fi(x)=0,oiifi(x)функцию0,г>г0.^гмножительвыполнены:0;=>eподпространство.ненулевойнежесткостинеотрицательностиfiпространства,замкнутоесуществуетУ*??х(х,дополняющейПоложимбанаховы——стационарности/о(ж)В.М.(а,=а)условиеб)условиев)условие<\У)(з)жекюгшпз,еслиобщности,вSD(x,e^=0,г1;>0.Не0.общ-ограничиваяДействительно,fo(x)=если/о(ж)—fo(x),a66Гл.I.fio(x)еслиGlocО,<minэточтообразом,нежесткостиможноfi(x)А)0Тогдатакой,полемметехдля1,^гдлясобственноеестьнетривиальностиподпрост-найдетсяаннуляторачтоА=@,=0^^^x(x,Уж«=>ЛУу*).Б)от-дополняющей0=жееслиограничениеусловиеЛ^1тАо(у*,Ах}=0гдего~ечтоположитьслучай.Y.=?гдезо,т^ 0).Вырожденныйподпространствоminсчитать,(следуетвыполненокоторыхlocGхибоотбросить,можноограничениеочевидно,Такимотброшено.у*тотоз,сведенияПредварительныеАПустьXотображаетА)Y.Рассмотримinf;Ахна0,=вспомогательнуюзадачу(х*,max0Лемма.Пусть<<^0F(xиtx+/Дж+locGВ)Оттз.Результат?ж?,тогдаX—>чтоимеетсяпотеореме| r(t)| /tчтотакая,элементх,Люстерника0^tпри^значит,г(?))+Нож) +o(t)=?«,что<0,противоречит0,>гсогласноусловию,которомуОтеоремрегулярного0.(зх)=означает,0.=Ао]0,=теоремыследствием0 GЭтоАх0,[—Ао,малыхдостаточнодляхminзх.г(-):r(t))+—>зх.minabs<функциянайдется->abs0(х*,х)которогодляGх)изследуетцепочкианализавыпуклогоявляющихсяравенств,облеммыианнулятореядраоператора:abs=зхmin9(ж*,max9(тах(ж*,0 G<^>х)+А)5 Кег=ж)т2^а^+Л*2/*1,=г=0г=0Следствие.ПустьFf(x)операторсюръективен.{mmлЛявляется=(а,непустымНепустота<<приТогда?«<X*,задаваемоеопера-Лагранжа<*//(?)!.?>{F\x))*y*+=о}компактом.выпуклымизследуетa^=г=0г=0J{тлJ^теоремымножителеймножествоR?+1,у*)\аегладкостиусловиях=0.формулойGп.В)RTl+доказательстваJ^г=0J(/?(а)=теоремы.c^=1J^ с^ж*.г=0>отображениеиПоопределению,Рас(р:4.Выпуклые+Л*?/*§(а,у*)ЛКегЛ*=равенства(ft*ЛеКегЛ*е{0}(Л*/**,=>применимаip(а)<^>=Банахатеореме{(а,множество4.4.2.силу=>1тЛ*замкнутости(ft*,Лж)У*-^1тЛ*Л*:отображениеу*)Л}G=0Ужиft*=>ра-0)={(а,=А*~1(р(а))—|обратное,имеетакомпактно,двойственностиТеоремаXПустьрасстоянии.называетсявнормированноеВеличина—множество.выпуклоекомпактнозначит,?}.GаиЛВыпуклостьот<Из5А)(х),ФенхеляN(x)В*где+^рА(х)(Ошар—5В*sA.\х^?о||,—УX,наЛеммаоViиСлейтера).рАфункцияеВ*}.>Хоффмана.А:пространства,XизX*ЗхиY, х\,КегЛ,веX—>x*s.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
