Том 2 (1050344), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

.,случаер12р22,хииу.тождественносилтензораравновесия0иуравнения=вдольнапряже-D.32),D.33)связьнапряжений.стержнябезкрученииизсеченияВыберемр11,массовыхматериалаРассмотримОфотличнымитолькоудовлетворяетсяцилиндрическогокрученииупруго-пластическогоческогокг,вчтокомпонент/(/>",оdev33бытьнапряженийфункциейвнешнихтензорапроизвольногоказаноzчетырехопределениякомпонентами§ 5.вытекает,бытьосивдольчетыречтое.деформированногомогуттензорапластичностиусловиемеждут.D.33)D.31)ИзсоставляющихДляz.вытекает,P2a)>+можеткоторыхотсутствииоси(jP-D.31)+ рм),плоскогосостоянияравновесияприиз0.фкомпонентыиз2dX-|-(P11=pssслучаечетыренуляформеидеформированногоплоскогоот-вдляP8»т.состояниянапряженногозакона*&=плоскогослучаеассоциированногоизосикоординатупрочненияцилиндрическогоупруго-идеально-пластих,стержняуиzтак,какпо-Кручение§ 5.ПримемсилыповерхностьрпНаI^hSjторцахдействиемподопределим2jнаЕсликилистержняетистержняобнапряженийперемещений.опонентахком-тензоразадачинапряжениивсюдуивнутринатолькоПривесиявнер23zр13отсутствиипроекцияхир23оту<F (x,почтоподлежатопределению.уравненийизчтовытекает,ауравнениедрж(х,E.2)0=силz,(x,Этоу)равно-компонентывформуламу),черезкоторуюу)уравнениеир13напроекциикомпоненты=0.осьE.3)тожде-удовлетворитсяеслиственно,сяупругогоПримем,виднапряженийнийинуляихзависетьизIX).глРзз=массовыхдргзФункцияР22=отвнешнихдолжныпринимаетPi2=осивышестержня§ 7,ана-задачи,стержняотличнынаизизученнойуже(см.материалаповерхностиРпиооцилиндристержняэтойрешениюкручениико-задачеупруго-пластическогоматериала.решениелогичноевческогоотРассмотримПредположенияординаткрученииоп-Обозначеосейвыбориниянемоб154.Рис.со-предположезадачураспределенияопределенииределениизадачиниже.вотделитьнампозволятния-_Усло-возникающиеДальнейшиеперемещения.-—I.—воз-могутрассмотримнапряженноеопределитьстояниеМчастяхудовлетворя-стержня,Требуетсяипо-моментанекоторыхстержнекоторомуматериалнар13моментудеформации.пластичности,е.212иj,система—М.пластическиеникнуть21ввсемво0,т.реше-крутящеготор33=на-кмоментувелико,нонапряженияначтона22сводится—0,=j=pzРаспределениезначениедостаточновиенагру-E.1)стерженьотметим,силверхностныхаоткасательныепостроенномусейчасанию,+=силсогласноЖ,массовыеS.нарпвравновесии.поверхностныхходитсявнешних0=стержняраспределеныкоторыхстержняторцахр23,внешниесвободнае.т.зок,отсутствуютS стержнячтопростоты,длябоковаячтои463стержняупруго-пластическогофункциюввестир13ир23напряже-представляют-464Гл.Легковидеть,чтоSверхностиE.2)стержнявыбораипроекции(n,cosосьпостоянной,имеету)=х)сечение,f0,=стержняконтурами,другихнаакоторые<fудовлетворятьПоУсловияТрескадлястержняодноможетнаностизадачи^~л0>E-6)^о2,=материала.данногодляE.6)пластичностиусловиечточастнойрассматриваемойпоформеТреска,скактакиссов-задачипластич-условиемусловиемпластич-Мизеса.Трескапластичностиполучено^>ргв§ 7главныечереззаписываетсянапряженийусловиеz.материалесли-Г23+/>2з2ноститензорасе-осичтопримем,"Т"ве-параллельнойнормалью,постояннаяпадает^E.2)квадратомпоперечныхкогдавеличина,Мизесах)Нижепредположенияявляетсясостоянии,упругомдляАналогичноезадачи.которым/?232+сПокажем,Условиеочтопостоянные,некоторыерешениякручениипластичностивзаданнаякомпоненты—замкнутымипринять,можнонапряжениясостоянии,рассматриваемойнихсделанногоплощадках—пластичностииCkр132касательногопластическомк0—E.5)пластичности,Pis2гдевидестержня.находитсявто,аддитивнойдовпроцессе.F13иуслосечение,точностьюизгдесилуидеальнойстержняE.5')С.одномCh,суммаусловию=const=несколькиминаусловияпластичностистержняfилиу)ГраничныеназадачуВчениях(п,cos-^написать0втеперьматериалполноговсечения.Рассмотримличиныапоперечноес==—0=ограниченопоперечногоУсловиех)-^-можнорассмотримсвязного=определенаторавенствниже.определятьнужнопростотыради(п,стержня1).f(x,y)Еслипо-силутождественно,cos-j-E.5')вувыполнитсяодносвязное(х,боковойнажхусловиюксеченияусловиеграничнымиосирассмотрим§функциякакна(в,-^-cosE.1)условиеу)торцахЕслитак(п,С поперечногостержнястерженьнаграничноеcosу) -|-контуренавияпластичностипроекцияхкоординатсведетсяzx)+p23-gp-cos(e,=Теориявосейнар13X.гл.р2IX.^>р3следующим§ 5.Кручениеупруго-пластического465стержняобразом:Р^—^-Ькгдепостоянная,заданная—касательномумомуравнаямаксимальнокомпонентынапряженийтензораявляютсякорнямиуравненияОтсюда,такXОр13ОКPiАзРгз^как^>рхPi=Yp\3-iE.8)">р2р3,Р^Следовательно,Р2даннойвPs=-Ypb0,=задачесовпадаетформепоРассмотримТрескаТакнашейвкак5sзадаче0,=E-10)Мизесатовид*=пластичностиусловиеE.9)имеетпластичностиусловиемстеперьpJ3.+условие+~P?идопусти-напряжению.ГлавныевековогоE.7)этоE.6).приобретаетусловиевиде.т.иврассмотретьзадачуданнуюматериалов,личныхиещещегосячтодлятакэтойприТакимТрескаобщегоE.10),видак1гкрученииобразом,в=для/3)=изотропногов=равенству13озадачеМизесаусловиеE.12)телаидеально-пластического/а,сведетсязадачекакусловиеммоделирую-материала,имеющее/ (/„враз-моделирующего-моделирующегосяпластичности,условиематериала,изпластичности.условиемизотропногодругимОчевидно,любоедлястержнядлястержнейдляизМожноE.6).видакрученииостержнястержня,изизотропногодляТреска,условиемсяМизеса,условиеполучилосьслучаеэтом0.этомвидслучаеE.12)0,72=р132-f-E.11)иматериала=const,пластичностиусловиекрученииp232пластичностиусловиеввыбраннойдля466Гл.решениясистемеX.ТеорияпластичностикоординатодинаковуюимеютДляТреска,материала,подчиняющегосяconstадляматериала,к2=р2=*тподчиняющегосяВрассматриваемойдаимеет=стержня,частнойк2Мизесаijsk\ТрескадлярассматриваемойстержнейразныхравносильногоE.13),враха-моделяхразныхвзадачирешениявеськогдаслучае,находитсястержнявусловиеусловияЭтипласти/г-области(см.состояниях§4),наличииE.13)равенстваповерхностив(см.собойрис.статическипримеропре-153,б),непоэтомубудетзаконаиоднимТреска,ивпластичноститомтемслучае,услоМизесаза-нокакже,когдаМизеса.иассо-использованиивописываетсястержнятакусловиюинапряженное,прискручиваемогоматериалТрескарассматриваемойтолькостержнясостояниевпостояннымимеждунагружениярешениюотвечающейточке,формированноециированногоикакжезадачи.пластичностикасаютсятакдеформированномплоскомипла-определенияотзадача,представляетпластическойграничноеикомпонентынезависимонапряженном,чE.4),формулыопределитьРассматриваемаяплоскомделимойE.6)пластичностипозволяютдеформаций.оимеемсостоянии,ческомпластическойвp2sподчиняетсяусловиюВ»стическихжняТреска,пластичностир?Окт.тахиЧ\\\v.i.u)подчиняющегосяматериалE.5).пластичностивсег-постоянными.областидачистержняжеmax*задаваемымимеждузадачиПритого/С.гJ*гравенстваДляпластическойвияхи=условияуравненийзадачипластичностиусловиюфизическимииусловиюокт.тахтодногостержня,наличии—рактернымирешенияр22окт.тахзадаетсяпривенствукогдаи1"т2Мизеса,задачесовпадаютусловиер13длядругогодляпластичностив-zr-подчиняющегосяplmax,задаетсядля=1пластичностиравенствоJLСистемак23задачеместоДля-jr-условиюmax'Мизеса,constформу:const.=материалтомслучае,условиемстер-де-§ 5.Постановкаобопределенииногоупруго-пластическогоДлязадачинапряжен-состоянияобластифункциючерезнапряженийсостояниянениеимеетопределениикогдастержня,материалстержнянаходитсястическомсостоянии,сE.6)пластичностифункцииопределениядляобзадачирешениявияние467стержнянапряженногопласти-вческойКручениеусло-помощьюуравне-получим§напряженияпла-в(х,Этоу).урав-видconst=дуилиE.14)Уравнениезнымкогдапластическомобу)(х,всамомрешениеопределениипластическойn=поверхностьтакуюzfплоскостью=плоскостинакf(x,=наpповерхностиzуровняравного(x, у)fкоторойдляconst,=угол—=С,линиямкраху,у),контурtg2=нормалинаправление—(рис.|2функциинеобходимоопределенияслучаеэтомвнайтиconstкасательноймеждухуплоскостьюи155).АЛинии155.Рис.внапроекцииОтсюдакоторуюясно,можноспостроить#¦(!,=скатау).постояннымнаconsti=3"(x,y)равногоповерхностьповерхностьискомаячтоповерхностьюихуf=поверхностиуровняравногоплоскостьZляетсяна-стержнявсегодляделе,напряжений| gradzодносвя-даннымсостоянии.опирающуюсягдеопре-полностьюсстержняматериалдляВзадачиобластинапряженийравногокакE.5)условиеграничноесечением,вПоверхностьf'ипоперечнымходитсяскатаE.14)функциюделяютzскатаугломконтурепоперечного=f[3у)(х,=сеченияяв-const,С468Гл.ПесчанаяX.ТеорияДляаналогияаналогиянасыпучейнаС,контуромуглуТакимСвойствафункциюРешения,длянаосипоЖуровня(х,дляzfвоу)отметить,ческогосостоянияногоур0ВНЯскостьхувz=Вид(рис.равногоЖ(х,у)const=накостьдлякаждойточкепскостисподобнопирамидессекакпроиз-ккривойпостоянназаключениеможногладкихС,контуровкоторыхвекторимеетточкиугловыевыходящиеилицелесообразно§z==(x,С}.Ву)контураимеютоснованиемпределепо-вблизиСугло-можетиметькасательныекоторыхсторонтосоответствующихконтуровна—углы,рассмат-пределточеквнорЕслиоднозначно.Скакразныхплоскоститакнормаликонтурвыхэтойдруга,определенребра,подходеприния,плос-равпло-наE.14),контурверхностихупласти-const=родасделатьгладкихуровняобластилиний156).такойпроекцийу)поривать156.(х,ввходящиеРис.линиймас-у).вотТакого=const(х,согласномалит.к.tg2|iмно-проекцииобразуютжеJ/7=const,$=другкривойможносыпучимипостояннойчтоху,этойточкаху)определяющуюfплоскости(х,Значениеу).нагруженияconst=всех(х,zСледуетфункцииот(х,ската,значениямвеличину,равноотстоящихкривых,водная§=поверхностихумействоограниченравновесии,угломмасштабнымтолькоzconst=плоскостичасти-сразличнымкакравногоу)междуопытовпомощьюотличаютсякоординатырассматриватьможннапряженийстрения),линийпостояннымсопределитьотвечающие(коэффициентамштабыплощадку,предельномвповерхностькучиповерхностьтрениемсухимгоризонтальнуюобразом,средами.tg2pмож-аналогией.трения.экспериментальножителемвнешняяснаходящейсяисобойпредставляетравнымчтотом,(песка)средынасыпаннойцами,нуюповерхностипесчанойвоспользоватьсяоснованатяжелойтакойпостроенияноЭтапластичностипло-разныевидевнаправле-прямолинейногомногоугольника.Этивворя,чтолучаетсяупругаяивблизисечениинеобходимоэтомкрученииупруго-пла-вообщеполучаются,Нижеобласти.угловыхобласть.остержняпластическаявыступающихупругаязадачирешениивстержняПрипеска.равновесиипричтовиду,стическогоопытнымиллюстрироватьхорошоозадачахнаиметьрешенийсвойствапутемточекконтурабудетго-показано,Свсегдапо-§ 5.ОпределениеКручениеуггруго-пластггческогоИзкомпонентформулE.4),ческой,напряженийтензора469стержнятакследует,ичтокакверныхввпласти-областях,упругойвплоскостисразувекторадвахуИfgrad=перпендикулярны.взаимноОтсюдаconst=видно,внешнеговеличину,рхможноРассмотримсмешаннойПостановкавтомобластиупругой(рис.Xрез157).областьгаянекоторыеконтураС.пластическойВноееслиупругаясебяточекfкручениирипо(x,у)fусловиюО=напряженийрасчетаналиниямисече-стержнявнутриуровняядромравногоconst.=С.упругойвнутризадачиисследованиярассмотреннойнапряженийстержня,E.4),иперемещенийиобластисЖрезультатамиупругогоформуламE.14)Поперечноескручиваемогоупругимниеоб-пластическойвоспользуемсяупругойнап-уравнениюграничномуДляввФункция157.Рис.ядра,включаетнеС.удовлетворяетластине-котороеобластьряженийре-изна-упругоговидаконтураче-определитьсодер-длярешение,отзависитобозначимизложен-справедливовышенеупругоестержняграничногообластибудетчастьГраницутело.упруиучасткипряженийскручтотакова,необходимоизчастейраздельныхжатьобластислучаесостоятьможетсколькихиВзадачи.шениявеличинаМкакXкривойопрестерж-когдасеченииВидобщемобсостояниясебя,поперечномвком-обла-у).моментаведетстержняматериалаобразом,задачуслучае,чивающегоОче-ргтах.пластическойнапряженногонязадачи(x,теперьделенииупруго-пластическойf=направлениемТакимв=у)областиравнуюопределяетсяМ.z(x,пластическойопределитьповерхностьху,4fуровнявмоментаизвестнаеслисти,того,векторавсегдаплоскостиравногоКромеху.закручивающегоиp2Sр13линиямпостояннуюнаправлениечтопонентыкимеетртпараллельныйр^,касательнойплоскостиввекторвекторчтоясно,понаправленфункциядолжна⧧7(х,уравнениюудовлетворятьгл.IX.у),введеннаяоВнутПуас-сонаЛ2-я-т-За;3Л26Г+ааи2б?*2——2иц.,г'E.15)v'470Гл.гдеаугол—ИзнепрерывностиивРгзпластическойиТеориязакруткиматериалаPi3X.пластичностистержня,стержня(см.стержнеследует,\хаG.23)гл.начтообластямигде|Гечерезпластическойчто,fидолжнывыполнятьсякактакили,упругойфункцийобразом,=$рможноfpнавядрануль| gradfгдеПуассона\<Zk0,Свмомимеемделе,*-td3какdip23j)=должнаудовлетворятьпер-| ^^о!действи-задачивекторстержня2,(-оу(га,[cosстержнявнешнегогдавны^\)=\fкотораякручениюсечении-Ьу),своими| gradFтолькотакпоперечном\i (р13гу)угламатема-причемпоставленнойдействиемпод=сосоответствуетj -^ствующихфункциюнепрерывна(x,fтельнонуиданногоследующей§ (х,С,РешениенасостояниядляквнутрифункцияE.15).сил,торцах,векторE.17)сводитсяаконтуревсюдупроизводнымиуравнениюравенX.найтинасовпадающими,напряженногостержнетребуетсязадаче:напряженийзначенияXграницесчитатьопределениеупругогообращаетсяГлавныйприложенныхфункцииупруго-пластическомскручиваемомзакручиваниятическойвтам,const,наивытекает,равенствоопределениядляупругойвE.16)Изнесущественна,§е^'А">'напряженийfPjr=feвымидудувыполнятьсянапряженийТаким'функциипостояннаяобластивравенствасоответственно.feупругоймежду~дхpобозначеныобластяхXдолжнограниценаXгранице-инапряженийкомпонентраспределениядхЛамекоэффициентIX).—G.25)игу)гмоментаВравен—(га,cos—Внулю.J)-&тдей-сил,dzса-=х) j]ds0=свФормулакрутящегограничногосилуРассмотримвеличиныдляfусловияМ=V (хр-23а—УPis)наС.контуревеличинуМ.ментамомента=0daСогласно——крутящегоформулам^ [x-fc-а-'rмо-E.4)У-j)имеем§ 5.ТакКручениеупруго-пластического471стержнякакд&д&,д&хд&у_р^-тох)п,ВслучаеWнаС,контуреиdsу)]-f2сеченияусловиюпоформула,окончательнаяG.28)формулеаналогичная(n,cosупоперечногополучаетсяодносвязного0=-\-IX:гл.E.18)йв.Этаформулаобъем,опирающейсяна2нявограниченныйплоскуюнясложная—торыелегкого0формы(см.задачавнижестр.ВсмешаннойрешенииТкогдаq,ипомембранаромиqзащемленапосеченияпоперечногоческойобластисравномерноинтенсивностичтотак,С,(см.ссовпадающему§7задачарассматриваемаяпостояннымдействиемнагрузкиконтурустержнясаналогиюмембраныподобраныобзадачадопускаетподвообщеДействи-областиповерхностиееэк-пес-помощьюаналогии.упругойвозникающегораспределеннойдопускаетсрешениенапряженийпрогибаТ,натяжениемпоперечно-задачаслучаевопределениичастности,круглогостержня^но-мембраннойобВ479).общемфункциинеко-имеющихсечений.тельно,определениизадачейАналитическоеспериментальноеГанПембрГноТЮанало"гиИстержрешениестержней,дляпоперечныхслучаеобзадачаскручиваемогозадача.полученосеченияу),стерж-упруго-пластическаятолькопростыерешается$f (х,=сечениясостоянияматематическаязадачиистолковатьz0.=смешаннаянапряженногоэтойможноповерхностьюпоперечногоплощадкуzплоскостиПоставленнаяопределенииМвеличинучтопоказывает,двойнойкакгл.ВIX).контупласти-песчануюдопускаетаналогию.ПоэтомупровестиНарогорешениядляследующийопыт,положенныйгоризонтальносовпадаетупруго-пластическойуказанныйспоперечнымкусоксечениемможнозадачиА.картона,скручиваемогоНадаи(рис.форма158).кото-стержня,472Гл.насыпаетсяX.постояннымсредычтобытак,зафиксироватьможносмембраной,действиюнекоторомповерх-поверхностьжесткойсыпучейкрышиОснованиевнешняяначнетзатемскасатьсяростомкрыши,давлениябольшаяиПридавления.мебранашаякрышиподвер-которойраспределенногоаизэтойсторонаравномернодавлениязначенииобразоваласьпомощьюматериала.прозрачногозатягиваетсяЭтуската.угломкакого-либогаетсяпластичностисредасыпучаясностьТеорияприкасатьсяболь-всебудетмембраныфиксироватьсячастьинакрыше.Свободнаямембраны,образуютщуюфункцииРис&=_,(х,жесткой15^-у)браны%иС.ответствуетмем-частиSBЛинияграницеупругоиисо-междупластическойсеченияхуекциейлежащейнаняетсяснойэкспериментальноиприляжетвсегокстержняСчтовокрестностибудетконечномзначениинагрузкиqПрисутствиеведет,мембранак(углеq=пластическая4fа) мембрана(x, у), ивчтотому,MKV,и(рис.Вблизизакруткиприребра160)наугодноуглавходящихСпри-нагрузкеповерхностивозникнетмгновенноугловкрыши.контуремалойребрувходящемувсегдамембраныповерхностивыступающиескольаСДействительно,(рис.причастности,вуглеконтура159)потакогоокрестностивсяматериалсостоянии.области.кпримкнетобласть.состоя-когдаскатаконечномугловсоответ-пластическоемоментаупругойраспределеннойогибатьбудетвходящихочевидно,Мпред,точке,угловчастьамембранакогдавлюбомпридвамомента,крутящегоаналогии,выступающихоставатьсяповерхотметитьпластическомпесчано-мембраннойусмотреть,полученнойравноговрав-горизонталь-момента,поверхностиокажетсяпомощьюможноММожноу).значениекритическоемембрана(х,материалапереходасогласномножителянекоторойвкрышиначалуприлега-некрыше.значениекасаетсяние,мембраны,момента,величиныпредельноевпервыествующее~между§отде-икрышепространствазначенияименно:жесткойс?,линиихумасштабногонапряженийхарактерныхzихуфункциипро-плоскостькрутящегодообъемуплоскостьюностьюу)Гра-представитсяжесткойкточностьюудвоенному(x,поперечногостержнячастьляющеисоответствующегоE.18),иплоскостинающуюВеличинаупругойJrjJв-областями.формуле$fстержня.пластической-областью(схемати-CD)междукрыше,соответствую-напряженийпластическогоНИцачастиизкрышиАВжВческиПоверхностьсостоитчастьикповерхность,частичноzмембранычастьприкасающаясявупругомре-§ 5.шенииКручениеупруго-пластнческогообластипластическойЗаштрихованаРис.159.ниестержнябудетмалыхуглахвообщеоченьтиупруго-пластическомсвободныйторцах,ческиеРассмотримсечениякомпоненты613=В23ие13отz.этого,иJTPl3-9ТГ823вэтомАточкепласти-е12==поперечногообласти,упругойтооднозначноопре-Гуказаконапомощью=х,=у)дуд&РЮАточкуввS33=2цчтокромеупругие—лежитточка1=Ясно,крученииоПримем,произвольнуюэтас==зависятпоможнозадачиполныеегоявляетсянапряжениядеформацийтензоранапряжениямиделяютсясвонамалы.некоторуюЕслистержня.стерженьнагрузок,состояниенагрузки.деформации—Приперво-чтотого,приложенномустержневоп-деформацийисоответствующейрезультатвозникающиечтоизпромежуточноеисоответствующиепромежуточнойданнойисходитьмоменту,каждоекаккру-стержнязадачи.вышевнешнихкрутящемуравновесия,рассчитатьнай-стержня,возрастающихкпричемложениемеще,оттолькокакпритом,осостояниерассмотреннойбудемнапряженийдействиюдящихсявопросвозникающиенапряженноерешенияподвергаетсядлятеперьпластическихупруго-пластическогоперемещенийначальновходящимобластьперемещения,еслипутемсечесзакруткималой.чениистержневычисленииПоперечноестержняуглом.перемещенийределено160.ниеРассмотримОпределениеобластьуглом.Принапряжений.Рис.сече-выступаю-сщимсостоянийЗаишприхованзупругаяПоперечноеПо-напряжения.ограниченностьобеспечиваетобластьупругаяв(бесконечные)большиевозникаютявление473стержня=случае-'(х,у)дхзависяттолькоотхиуинеГл.474КомпонентыТеорияи?!а=когдавсегда,нуляе22=толькобытьwz=е12=ихE.19).Вeil=-^L0,=еяI (x,y),е13,е23этомE.19)показать,аперемещенияслучаечтоотличныотопределяютсяперемещениядол-уравнений:следующихрешениями0,=у,определяютсялегкоделе,самомотСен-Венанаформуламижныxzx,=е33=этомприw2ВЕцзависятиxzy,—закрутки.угол—пластичностиперемещенийвектораСен-ВенанаформуламигдеX.-^=0,=е33-^-=0,=E.20)дичдхгде(я,е13г/)е23вытекает,и>1ИзE.21)(х,и=у)(У>u>iz),»2где(z)Дследует,/2 и /3Продифференцировав—Отсюдаv>x=-fi(*)yу).Щ=/iE-24>z,(z)a:E.22)E.25)/а (z),+функциипроизвольныеилиU (z),+z.E.23)ичтовидно,кУ+пД,/2иДляются(x,w3=^=>*<*>•=функция-гдеw3сE.25)учетомпобу-z,иметьдемненийz),чтопроизвольная—(г,»2=—trгденепо-чтоэтомприE.20)Изфункции.известные—E-23)Ь"яТГсредственно\"-"Ч'iаиСхE.26)—=0,=/3должны«z++функциями=C3z0.=E.26)равныE.27)Послеизэтого/2чтои/3уравяв-такжеz:+Ct,h=е.т.нулю,С\,вытекает,линейными/;бытьпостоянные.произвольныенепосредственноЛАхС62+С„E.28)Кручение§ 5.С3,гденентС6перемещенийС6,С4,векторагденеизвестнойлинейноизчасть,линейныеW\=w.2=и>з=/ (г.У)абсолютноизх,упругогод/Еслиэтойа.у-}-——,—АточкаdfшегоИсключивнапряжений:пластическихчтоисвяза-дефор-упругиеdk,зависятслучаевдействиемотпутиссоответствииука-возрастав-монотоннотоde?2=dk,2p13=общемстержня,М,=E.31)Р23вмоментапараметрде-области^-.=подdeftращениямидляпластическихотформулами,жедеформациидеформацияdsi3деформациитопластических;причемразвиласькрутящегопп\/гE.30).пластическойв*2звыше,-J-—pisизависятне-^-заннымобластиупругойобласти,средыЕслиE.19).4-v.x—упругихдеформацииПластическиестержнеимеемтеминагружения.=пластическойобласти,упругойвкакскручиваемомв-%-свойстванапряжениямиIX).§3гл.стержняформуламиР1звупругието(см.определяетсядеформацийупругиеформаций,реше-характеризуютиперемещенийвизтензорасE.23)—E.29)общимуравненийIлежитспециальнаяформулывтвердогоу)складываютсяточкекомпонентмацииE.20)интегрированием-^выделенаявляютсядо/ (х,кручениянепосредственнымЕсли(х, у)Входящиеперемещенияопределяютсятвердого,материалаC7,-f-членыточностьюсd,C4,da:у.zабсолютнокак-f+—ииууравненийФункцияdjf?CszC5z+—отобразом,-i-функции/стержняТакимda:+v.xzкомпо-формулы:следующиеСгу—покаперемещениены«zi/зависящаяоднородныхДляпостоянные.получаются—475стержняпроизвольные—относительнониемвупруго-пластическогополучимдеформацийde$s=efe?3cte?2=2p23=следующую0,dk.связьикомпонентамимеждупри-тензора476Гл.ТаккаждойвкаклежащейX.точкеостаютсястержняр13ичереззависят^~E.31)Изие1зР23E.32)Р13рБ23Р23рдля{Э.О4)деформацийполныхдляoc)\этомвE.ОО)\'перемещенийdw.dw-dx^дхгE.20)уравнениямиссовпадает—перемещенийупругихeu=E.22)вместо/tr"•——./частичноdwi-—-е.т.n—определения"случаенулю,Р%3\длякогдаупругогосоотношениеуравненийданноммомент,равнаичтовытекает,тотграницаинтегрированиявыполнятьсяСистемавпроходила=ама-деформациинулюАпостояннаядолжноE.21)считаютсяПластическиеу.равныточку823впринадкрученияconst,=ихотбылиЬ^Зслучаедеформацииатолькоодновременнорассматриваемуюпоэтомуядра,стержня,процессевр2зиметьр23е^зиир13е?згдесеченияпоперечногопостоянными,будемейпластичностиобласти,пластическойлыми,Теорияи=d»'2Л0,E.23),е22=-д—=E.33),согласно9\W3p.0,имеемr.е33=-7т—0,=толькоодноурав-нениеdwi~^"^dlV2Приполногоупругимибытьсучетомвинапряжениярттах&у.векторарешенияупругиесовпадениявнапряжения.=='нарастанияусловиявозникновениямоментихкакопределенынепрерывногокасательногомаксимальногооткомпонентыдеформацийполныхсЧтолькозависитдолжныE.35)тензораперемещенийстиженияwE.34),E.35)^23деформацийперемещениякомпонент-^..ипластическихналичииуравненийстицеизвестначастьправаядхди'зi.Здесьdu>3duK+dzдеформацииданнойча-Последоиуп-§ 5.ругиезакручивающегоКручениеупруго-пластическогофиксируются,перемещенияниекомпонентствиисповышениипроисходитточкенараста-деформаций,пластическихтензораопределяютсяэтимдальнейшемприданнойвмомента477стержнякомпонентысоответ-ввектораполныхпере-мещений.ТаккакжеE.34),стях,Щ=Изк+(z),оточектообщемвясно,что=/2 (z),/3 (z)принепрерывномкоторогоa.zx.=итакзависетьмогуттакz,гра-перемеще-какжеотнануляотпластическихнарастанииупругойвтолько(начинаяобласти,у).каждомвчтовнутрипластической,вкак(г),пластическойвго.г/ (х,=формулыместосагу,—w3ядро,имеютzобластью)упругойсниценийобла-следует,упругоеслучаефункции/],отсюдауравненийизпластическойв/3 (z),+напряженияхосиw1как/i(z)z=имеетсяzзакрепленииТакобластиЩзадачилюбомприприитакчторешениясеченииE.21),иупругой,вкакli(z)u—E.20)уравненийизисправедливыхследует,иупругой,вверныформулыОпределение/ (х,функцииE.35),уравненияобластидляспроизвестиможноупругой,вкакформулучетомсу)котороеиw2wt,написатьможноw3помощьюпластическойивтак?-+<":).ВданнойточкесостоянииупругомприМ,моментучениязакруткификсированнойвр23ир13илиа,пластическогодостиженияпослеир13E-36)компонентыуглупропорциональноизменяютсявидевсостояниязна-сохраняютсяточкенеизмен-ными.E.36)Уравнениеобластическойпреобразоватьлегкочтобытак,простоедопускалооновгеометрическоеОбозначим=Рхз*через+уголуосьюиРгзЗPis=COSYsinтРтмеждуГ,cosвектором161);(Рис-хРгъ=COS(Рт:,X)=cos(рт,у)напряжениятогдаsinРт==—=cosr,у),(tl,COS(п.,х)пластиистол-кование.Рт:р23внешнему478Гл.E.36)уравнениеи(м,cos-д-X.Теорияможнох) + -щпластичностипредставить(п,cosу)в[уа=виде(рт,cos+у)cosхилиE.37)гдевгтпроекция—данной161.А,г)нормалитегрируяА 0,$пвдоль/егойазадачи,Такимнациюв/ (х,значение—у)образом,Ясно,J)ствомчтоdj/dxприращениетолькоис/известноdf/dydуcosdxcosслеваитольковдольнормалейопревкакпласти-семей-являетсянихвдольр\зр2зE.37),гь.областисеченияотсправасеченияпоперечногоу)х)(от,(от,депла-стержняупругойтакуравненияпомощьюопределитьграницапоперечногоE.36),уравненияупру-скручиваемогосемействопрямолинейноечтоможноу)депланацияидепланацияхарактеристикипроизводныеределеныE.38)еслирешенияС.изконтур/ (х,областиупругойизвестное0,известенсеченияЗаметим,рассматри-доE.38)Аточкепомощьюобласти,делены.56,точкиот«741»+/*,=еслиспластическойввизвестно,тхпоперечногостержняин-пнормалиобластиупругойобщейПоэтому,const.=всехдляоднойнаполучим/где§даннойкривыхграницеА,точкипостояннагтобластиE.37)принадлежащейE.36).проекциясемействукуравнениеваемойconst,^>ткасательнойпоуравненияпластическойвнаправлениенанаправленоистолкованию=лежащихJ/J-f-ртКлинийсемействукxi=НапряжениеРис.точекгвектораА.точкепнебытьмогутизкоторогооднозначноследует,опчто§ 5.КручениеобластическойСтуручиваемогоимеетвыбранообеихточкахдветочкевосейВсамомделе,E.30)непосредственноростомсложным§ 7G.14)жнягдегУх%=напряженияпоперечногосеченияк,нияприиаВследствиеттпропор-ненавестичтопричастьуглахмалыхсебяупругийкакиравенствомасзначенииравнома,'Сокружностидостигнут—ра-сечениясвязанывнешнейстержняа*стер-кручениедостаточнобудетбудутОчевидно,осевойческуюобластейС.свидно,чточескойгранице—значе-предельногоматериалаперейдетстержняЯсно,чтопоэтомусуществоватьрадиусприсимметриирадиусвлюбомаобратитьсяможетконечномупругоевуглеядро.упругойпла-закрутки^>нульпласти-иконцентри-окружность,окружностизаданномнекоторомрXграницасобойэтойпредставляетОбозначимприравенбудетядрабудетдепла-случаесостояние.стическоеиобщемобластиПриа.рт^формаавеличиныпоперечного\iaкасательныезакруткирассмотримстержняУ2-+кзначениеивизэтихвдольперпендикулярноуглаКруГЛ0Г0IX:гл.или/етоу,а.материалнапряженияархпримерадиусакасательныекакпоэтомупластическойвДлясечениязакруткиизменениееслитого,ихследовательно,закруткикруглогостержня*асеченияуглутоКромекоординатчтоМмомента56,образом,ядрапоперечногоциональнапоперечного(такнулюкрутящегоменяетсянациякоор-началозакреплено,/е.=осивытекает,упругогоКручение=0и/"гтнаправитьравноСиискру-0.=симметрии).границы/fe=точексимметриинаправленийосямсимметриипересечениякон-ксечениесимметриитакихдляосейнормалипоперечноеосиих/РвдольлюбойвдольЕслисечения.стержняО479стержнялинейноизменяетсяпоперечногодинатвупруго-пластическогоупругогорадиуспритолькоавнутриоче-р;череза*астержня—*¦°°,¦480Гл.Внийf(x,у)=пластичноститангенс<^гаповерхностьповерхностибоковойчастьюнаправляющейуглаПоэтомур ^будетконуса,аТеорияобластипластическойzгоX.которогофункцияслужитобразующихнаклонанапряжекругово-напряженийплоскостихук.равенобластипластическойвС,окружностькбудетследующей:В0областиупругойбытьрешениемG.21),«СXгранице(X,§ 7у)упругогофункциярE.15),ПуассонаG.13)fеНагуравненияG.24),согласно^=гиметьвидCOnst.напряженийфункцияр=должнаследовательно,должна+(Х5С~—ядраIX,гл.напряженийнепре-рывнаSCVare_поэтомуВеличинауглуРrdrJ ^rdr)+оЗаметим,длячтокмитсяМприрр2=улЛ—>0крутящий(«3-Р8)"ТE-40)•E.39)формуластре-моментяй3й;.напряженийкасательныхнаизполучаетсястержня,поверхностипо-соответствующеемомента,крутящегозначенийзначениепредельныхбоковойE.40)-§-значениюПредельноевнешнейравнойиспользованаПриядра.Л/Крявлению=р.вычисленииприупругогорадиусазаданномуоказываетсяиа(J frdr4я=E.18)формулепоМсоответствующаямомента,крутящеговычисляетсяа,формулыа=МЛегконеоблегчаетсястнойизсоображенийчтоформасимметрии.пристержнярассмотреннойРешениеискривляется.тем,сечениепоперечноечтовидеть,ченииупругогозадачиядраоказываетсяегокрусильноизве-ГлаваxiВВЕДЕНИЕВТЕОРИИТЕОРИЮ§ 1.ПлоскиезадачиРассмотримтеперьплоскойчаезадачинезависятобразом.ДалееперваяРззу),еа=Р22Pis=?зз=(х,у),инесое12вобщемслучаененапряжениямииОднакосреды.техвзадачи\у),/задачисвойствамисо{х,е1а=0.междуплоскойсвойствамиреализациисвязанау),(х,плоскойсвязано,4/деформаций=соотношений1р12(х,у),=0=ei3=e23определениециямир12Ра=822е22Чз(х,У),видомсРм(х,у),тензора8Ппоравенств:группынапряжений=компонентдляДанное{х,когдазадачи,дветензораРзз=втораязаноплоскойодновременноРп(х,У),=ма-времяпараметр.местокомпонентРпизадачрассмотрениемдляквази-дляквазистатическихкакимеютилипостановкерешениятолькоопределениюопределе-статическиелинеаризированнойВОграничимся1)себявнапряженногосостояний,тольковвходитьможетвключаетниже.рассматриватьдеформаций.вообщеизвестнымнеезадачинапряженногозадачилыхотис-Харак-задачезависятплоскогоданыбудемдляу.ихплоскойвилиплоскойплоскогостатическиеаргументамидвиженияслу-декартовойкоординатыzВупругости.выборетолькобудуткоторыхтеориисоответствующемсущественнымиТеориядеформированного,обобщенногониязадачикоординатыплоскогозадачиплоскиеиотпростымупругостиявляютсясостояниятеристикитеорииxOyzфункцийкомыхЗАДАЧТРЕЩИНТЕОРИЮприкоординатсистемыиПЛОСКИХИУПРУГОСТИрассматриваемойвозможностьусловияхиныхилисвя-деформа-моделитесносплошнойсреды.J)Использованноеможно\6См,1935,ОНТИ,упругости,Л.И.Седов,довольнонапример,нижерасширить.ещетом2§§145,общее301,Л302,определениеяв,303.плоскойМатематическаязадачитеория4ПлоскиеXI.Гл.482Рассмотримзадачивозможныетеперьникаютуравненияхосновныхввплоскойслучаестояния,тензорауравнениямиСен-Венанасо-определенияВслучаеэтомполь-можноШестьВ.цыA.2)задачиначальногодлясовместности.совместноститео-можнокоторыхвиздеформаций.компонентзоватьсяплоскойзадачам,перемещенияприменяемоговвестизадачизадачи.приложениямиплоскимк0=сводятсявоз-которыеплоскойограничимсяР™перемещенийупрощения,случаевДальшеКомпонентытрещинтеорияи§ 5(см.I)гл.следующимкуравненийслучаевсоотно-четыремшениям:""ецЭ-622.ду*г',2ОстальныедваСен-ВенанаA.4)функциейиА,перемещенийВС—иv0.A.4)удовлетворяютсябытьможете33'тож-линей-только-^=Ах=By+Отсюдапостоянные.осивдольбудемzA.5)С,+компонентыдлявектораиметьA.6)w=(Ax+By+C)z+f(x,y),/ (х,гдескойу)A.2)задачи*ипоэтому(х,Далее,у)итакдид-?-=ец(х,пло-—о_А/ЛИвектораперемещенийдшi)о—должныпред-виде=vсох)иливигдеdw_lкомпонентыставлятьсяопределениюимеемi^l.—Пофункция.произвольная—=ю2-i-A—г2В—(х>—z-f%(х,у),z-f-Щ(х,у),'fv (ж,~2У)f'x (х, у)—у)функции.произвольныекак.'у:вмгдечтоследует,х=дхдуду1уравненияИзЯ^Я,,дхдудх*дх2дественно.нойд2е12QЛ^.2у),dvjy-=e22(x,y),,.ди-щ+.dv-fon=2е12,{х,у),.'1.§Плоские/ (х,функции811(&,У)е22(ж,у)=~^Г=/хх(Ж,У)Z,/уу(ж,у)z,——-^-483упругоститеориипроизвольнойопределениядлязадачиу))Отсюданепосредственновытекает,Jxxт.е.Ъ,а,гдеобразомтакимнымизучениителадеформацийобразом,Такимтвердого,равнойположитьперемещенийсвязиприобщемвслучаетен-компонентамимеждудеформацийwдляопределеннаяпространственипоэтомунулю.чтосоответствуетабсолютноотиA.6)с,убедиться,у)компонентынапряжений+Ьуможнонезависимозадачизоровах+какееz.выраженииаргументоввсвоих/ (х,функцияперемещениямплоскойу)Легкопостоянные.с—У)(x,U,=/ (х,функцией/ (х, у)=линейнойJxv=функцияпроизвольнаябытьдолжнаUvравенствачтоfyy—имеемформуламипредставляютсявидаи=wФункцииОни,сплоской„*Jлинейно-упругогои8,ч *J,.A.\ 1),.A.v 2)/>РггРзз=1А-(вц=0./ло\деформаций/Чг)(е)2це22,+(А.

Характеристики

Список файлов книги