045-1 Продолжение Главы 3 Дельта функция (1044902), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Переход от действительной переменной  к p=+j позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции s(t).

Представим функцию s(t), в общем случае существующую при -<t<, в виде суммы двух функций:

из которых s₊(t) задана при 0<t<, а s_-(t)
при -<t<0. Обращаясь к паре преобразований Фурье Error: Reference source not found и Error: Reference source not found, совершаем переход от
 к p сначала для функции s₊(t). Для этого умножим s₊(t) на , где ₁>0 выбрана таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции в
пределах 0<t<.

Тогда выражение Error: Reference source not found примет вид:

(3.51')

причем является спектральной плотностью функции .

Теперь подставим в Error: Reference source not found j=p-₁ и
=(p-₁)/j :

откуда:

(3.99)

Новая функция , являющаяся ни чем иным, как спектральной плотностью сигнала , определяется как:

откуда

(3.100)

Полученное соотношение называется односторонним преобразованием Лапласа функции s₊(t). Соотношение Error: Reference source not found, по
аналогии с Error: Reference source not found, часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Сравнение выражений Error: Reference source not found и Error: Reference source not found показывает, что переход от  к p означает
изменение пути интегрирования (Рис. 3 .4).

Рис. 3.4. Путь интегрирования

В выражении Error: Reference source not found интегрирование ведется по действительной оси , а в выражении Error: Reference source not found - по прямой, проходящей параллельно мнимой оси j на расстоянии ₁ вправо от этой оси. Значение постоянной ₁ определяется характером подынтегральной функции в Error: Reference source not found: путь интегрирования должен проходить правее полюсов этой функции.

Добавлением к прямой (₁-j, ₁+j) дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования. Для того, чтобы добавление этой дуги не изменяло значения интеграла, нужно следовать правилу: при положительных значениях t контур должен быть расположен в левой полуплоскости переменной p, а при отрицательных t - в правой.

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Тогда в первом случае для t>0 (дуга в левой полуплоскости), контур интегрирования охватывает все полюсы подынтегральной функции (лежащие левее прямой (₁-j, ₁+j)), и в соответствии с теорией вычетов, интеграл Error: Reference source not found определяется как сумма вычетов в
полюсах подынтегральной функции:

(3.101)

При проведении же дуги в правой полуплоскости, то есть при t<0, полюсы функции оказываются вне контура интегрирования и, в соответствии с теоремой Коши, интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура интегрирования получим:

- при t>0 (контур по Рис. 3 .5) определяется выражением Error: Reference source not found;

- при t<0 (контур по Рис. 3 .6):

(3.102)

Напомним важное свойство контурного интеграла: он не зависит от формы замкнутого контура, по которому проводится интегрирование, если только полюсы подынтегральной функции остаются внутри контура. На этом основании контур ABСA, образованный добавлением дуги ABC бесконечно большого радиуса к прямой (₁-j, ₁+j), можно
произвольно деформировать при соблюдении условия, что все полюсы, расположенные левее прямой (₁-j, ₁+j), остаются внутри контура.

Итак, вычисление интеграла Error: Reference source not found сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции. На Рис. 3 .5 показано расположение полюсов для следующих функций времени:

(3.103)

Аналогично предыдущим рассуждениям, можно рассмотреть преобразование для функции s_-(t), умножая её на при ₂<0 так, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции в пределах -<t<0:

(3.104)

(3.105)

Интеграл равен сумме вычетов, расположенных в правой полуплоскости p. Эту сумму следует взять со знаком "минус" так как контур обходится по часовой стрелке. Выражения Error: Reference source not found и Error: Reference source not found объединяются
следующим образом:

(3.106)

(3.107)

Соотношение Error: Reference source not found называется двусторонним преобразованием Лапласа.

Одностороннее преобразование Лапласа получило особенно широкое распространение, когда начало отсчета времени совмещают с началом воздействия. Двустороннее преобразование Лапласа находит все большее применение при анализе процессов и функций времени, двусторонних по своей сути (например, корреляционных функций, которые мы рассмотрим позднее).

Большинство свойств преобразования
Лапласа совпадает с аналогичными свойствами преобразования Фурье.

Спектральные плотности и изображения сигналов по Лапласу сведены в таблицу.

Если сигналу s(t) соответствует изображение по Лапласу L_s(p), то имеются следующие соот­ветствия:

Сигнал	Формула	Изображение по Лапласу	Спектральная плотность
		1	1
		1/p	()+1/j

В заключение рассмотрим правила перехода от изображения Лапласа к преобразованию Фурье (имеется в виду одностороннее преобразование Лапласа). Если на оси j функция L_s(p) не имеет полюсов, то для такого перехода достаточно в положить ₁=0, то есть прейти от переменной p к переменной j.

В противном случае необходимо определить вклад этих полюсов в спектральную плотность сигнала.

Дело в том, что интегрирование функции по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в полюсе p₁=j₁ приводит к гармоническому колебанию с частотой ₁ и амплитудой 1/2.

Спектральная плотность такого колебания, равная (-₁), должна быть прибавлена к сплошному спектру, обусловленному интегрированием по оси j.

Например, для единичного скачка s(t)=1, t0, L_S(p) с одним полюсом в точке p₁=0
можно получить:

Д
ля функции L_S(p) c двумя комлексно-сопряженными полюсами p_1,2=j₀ s(t)=cos(₀t), t0 спектральная плотность
будет:

3.18.Представление сигналов с ограниченной полосой частот в виде ряда Котельникова

При измерениях физических величин часто фиксируют результаты измерения через одинаковые промежутки времени T. Если считать, что измерительный прибор отображает мгновенные значения исследуемого процесса, то оказывается, что вместо реального непрерывного сигнала мы получаем ряд его мгновенных значений равноотстоящих по времени, т.е. дискретный сигнал.

Возникает вопрос: можно ли по этому дискретному ряду полностью восстановить исходный непрерывный сигнал? В технике и теории сигналов широко используется теорема Котельникова (называемая также теоремой отсчетов или теоремой Найквиста):

- если наивысшая частота в спектре сигнала s(t) меньше f_m, то сигнал s(t) полностью определяется последовательностью своих отсчетов в моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/(2f_m) секунд.

В соответствии с этим, сигнал s(t), ограниченный по спектру наивысшей частотой _m=2f_m, можно представить рядом:

(3.109)

где T=1/(2f_m) - интервал между отсчетами по оси времени, а s(nT) - выборки функции s(t) в дискретные моменты времени t=nT. Представление заданной функции s(t) рядом Error: Reference source not found иллюстрируется на Рис. 3 .7.

Рис. 3.7. Восстановление сигналов рядом Котельникова

Оказывается, что приведенная формулировка теоремы отсчетов предъявляет избыточные требования к частоте дискретизации сигналов, занимающих определенную полосу частот, как в случаях модулированных или узкополосных сигналов.

В общем случае, для дискретизации сигналов без потерь информации, теорема отсчетов выглядит следующим образом:

- сигнал должен быть дискретизирован с частотой, большей чем его удвоенная ширина полосы частот.

Например, АМ-сигнал с полосой частот 200 Гц при несущей частоте 100 кГц, что близко к реальности биоимпедансных измерений, формально может быть дискретизирован с низкой частотой более 400 Гц, а не на высокой частоте более 200 кГц, которая требуется неинформативной несущей частотой.

Удачного термина для этого приема нет, а в англ. литературе используется undersampling. При этом спектр сигнала из зоны C или из других нечетных зон отображается в основной интервал A (Рис. 3 .8).

Однако прямое применение теоремы может привести к неожиданным эффектам, что связано с различными формами алайзинга – наложения дублирующих спектров дискретного сигнала в основную полосу частот.

Характеристики

Список файлов лекций