045-1 Продолжение Главы 3 Дельта функция (1044902), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Отсюда следует, что спектр S_T() не должен заметно отличаться по этим пульсациям от спектра S(). А это возможно только при условии, что ширина спектра прямоугольного импульса будет много меньше интервала .

Будем эту ширину условно определять по основному лепестку спектра, тогда она окажется равной 4/T. Соответственно этому, сформулированное выше условие запишется так:

4/T << 

Таким образом, длительность реализации некоторого процесса, по которой мы определяем его спектр, должна быть намного больше удвоенного периода наивысшей, подлежащей выявлению гармоники этого спектра:

T >> 2/f f = /2

3.15.Текущий спектр мощности

Энергетический спектр сигнала, размерность которого содержит квадрат амплитуды сигнала, был определен теоремой Парсеваля , из которой в частности следует, что для определения энергии сигнала можно интегрировать квадрат модуля спектральной плотности по всему диапазону частот.

Если нам известно, что сигнал s(t) был отличен от нуля только на некотором промежутке времени T, то тогда для средней мощности сигнала P можно записать:

Отсюда следует, что функция |S()|²/T - это спектральная плотность средней мощности сигнала, или кратко, спектр мощности, который обозначим как R().

Хотя R() - это спектр мощности, а не энергии, тем не менее, его часто называют энергетическим спектром.

Вполне понятно, что спектр мощности можно использовать и для того, чтобы показать, как распределяется средняя мощность части процесса. Пусть -T/2 и +T/2 - границы рассматриваемого процесса во времени, тогда:

где

3.16.Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра. Скорость убывания спектра

Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для количественной оценки параметров сигнала введем понятие длительности сигнала и ширины его спектра. В практике применяют различные определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, структуры спектра или является произвольным. Так, ширину спектра прямоугольного сигнала определяют либо как основание главного лепестка, либо на уровне от максимального значения его спектральной плотности.

Длительность колоколообразного импульса и ширину его спектра определяют на уровне от максимального значения. Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю полной энергии сигнала.

Для практики большое значение имеет оценка протяженности "хвостов" спектра вне полосы частот, содержащей основную часть энергии сигнала.

3.16.1.Определение произведения Полоса x Длительность

Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину его спектра, в современной теории сигналов большое распространение получил метод моментов.

Аналогично моменту инерции в механике, эффективную длительность сигнала T_эф можно определить:

где середина импульса t₀ определяется из следующего условия:

Имеется в виду, что функция s(t) интегрируема с квадратом, то есть сигнал обладает конечной энергией.

Аналогично, эффективная ширина спектра определяется выражением:

Так как модуль спектра S() не зависит от сдвига s(t) во времени, можно положить t_o=0.

Наконец, сигнал s(t) можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э=1, и следовательно:

При этих условиях T_эф и _эф принимают вид:

и, следовательно, произведение длительностьполоса:

Нужно иметь в виду, что T_эф и _эф являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от t=t₀ и =0, поэтому полную длительность сигнала следует приравнять 2T_эф, а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) - величине 2_эф.

Произведение T_эф_эф зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, наименьшее возможное значение T_эф_эф=1/2 или T_эфF_эф=1/4 соответствует гауссовскому импульсу.

Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений для T_эф и _эф видно, что функция s(t) с увеличением t должна убывать быстрее чем 1/t, а функция S() - быстрее чем 1/, иначе соответствующие интегралы расходятся.

Например, для прямоугольного импульса и его спектра:

В этом случае выражение для T_эф_эф не имеет смысла и для оценки эффективной ширины спектра прямоугольного импульса приходится использовать другие критерии.

3.16.2. Концентрация энергии в полосе частот

Рассмотрим некоторые вещественные простые сигналы, спектр которых сосредоточен в области низких частот, и определим с помощью равенства Парсеваля энергию, содержащуюся в полосе  от =0 до некоторой граничной _гр=2f_гр:

Отнеся затем Э_ к полной энергии сигнала Э, определим коэффициент, характеризующий концентрацию энергии спектра в заданной полосе [0; _гр]:

(_гр_и) = Э_/Э

а) Для прямоугольного импульса, в соответствии с (3.70),

где .

Интегрируя по частям,

где - интегральный синус, получим:

Переходя к аргументу _гр_и/2 = f_гр_и, запишем:

б) Для треугольного импульса со спектральной плотностью (3.75) и полной энергией Э=A²_u/2

где

в) Для гауссовского импульса в соответствии с (3. 79) получаем:

где - полная энергия гауссовского импульса, а функция

является интегралом вероятности.

Учитывая, что длительность для гауссовского импульса определена ранее как 2а, аргумент функции  можно записать в форме

a_гр = f_гр_и.

Итак, значение произведения f_гр_и, требующееся для заданного , максимально для прямоугольного импульса (при >0.9) и
минимально для гауссовского.

В частности, уровню =0.95 соответствуют значения f_гр_и, равные 1.8, 0.94 и 0.48.

Выбор границы спектра по энергетическому критерию не всегда приемлем. Так, например, если при обработке импульса требуется сохранить его форму достаточно близко к прямоугольной, то f_гр_и должно быть гораздо больше единицы.

В любом случае, при заданной форме сигнала, сжатие его во времени с целью, например, повышения точности определения момента его появления неизбежно сопровождается расширением спектра, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. Аналогично, сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты, неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует увеличе­ния времени наблюдения (измерения).

Невозможность одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени представляет собой одно из проявлений известного в физике принципа неопределенности.

Вопрос о величине произведения [длительность x полоса] актуален при рассмотрении проблем электромагнитной совместимости РЭ_Средств (например, взаимные помехи радиостанций), при выборе рациональных форм сигналов в биотелеметрии и связных приложениях.

3.16.3.Скорость убывания спектра вне основной полосы

Для выявления связи между поведением S() в области относительно высоких частот и структурой сигнала s(t), воспользуемся свойствами таких испытательных сигналов, как дельта-функция (t) и единичная ступенька 1(t) .

Дельта-функция (t) является единственной функцией, имеющей неубывающую спектральную плотность на всей оси частот -<<. Поэтому можно утверждать, что сигнал s(t), спектр которого вне основной полосы не убывает с ростом , содержит в своем составе -функцию (в реальных условиях -
достаточно мощный короткий импульс).

Далее, единственной функцией времени, имеющей спектральную плотность вида 1/, является единичный скачок 1(t). Следовательно, убывание хвоста спектра сигнала s(t) по закону 1/ свидетельствует о наличии в функции s(t) скачков, то есть разрывов непрерывности. Но в точках разрыва производная обращается в дельта-функцию (с постоянным коэффициентом, равным величине скачка).

Поэтому убывание спектра пропорционально 1/ указывает на наличие
-функции в составе производной s'(t) сигнала.

Это рассуждение можно продолжить и для производных сигнала s(t) более высоких порядков - разрыв первой производной приводит к убыванию спектра по закону 1/².

Этот результат можно обобщить следующим образом: вне основной полосы частотный спектр убывает по закону 1/⁽ⁿ⁺¹⁾, где
n - порядок производной, при котором возникает первый разрыв.

С этой точки зрения, гауссовский сигнал, производные которого непрерывны при всех порядках n, вплоть до n=, должен обладать спектром, скорость убывания которого является максимально возможной. Этот вывод
согласуется с тем, что произведение
[длительность x полоса] минимально для колоколообразного импульса.

Основываясь на приведенных рассуждениях, нетрудно также объяснить происхождение пульсации спектра вне основной полосы частот.

Периодическая пульсация с неубывающими максимумами может возникать только в результате интерференции спектров двух
(и более) дельта-функций, разнесенных во времени. Спектр прямоугольного импульса, пульсирующий с максимумами, убывающими по закону 1/, является наглядным примером интерференции спектров двух единичных скачков.

3.17.Представление сигналов на плоскости комплексной частоты. Преобразование Лапласа

Анализ прохождения сигналов через
линейные цепи, описываемые комплексной передаточной функцией, значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты p=+j.

Характеристики

Список файлов лекций