Базров Б.М. - Основы технологии машиностроения (1042954), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

Приведенные выше модели являются простейшими вероятностными моделями распределения одной величины. Более сложная задача — описание зависимости между двумя величинами х ну. Пытаясь построить график зависимости у от х, исследователь поступает следующим образом; задавая значение входа х, он измеряет значение выхода у. Если бы случайные факторы отсутствовали, то выход у получался бы однозначно.

Но на самом деле при одном и том же значении х исследователь получит целый ряд выходных значений у (рис. 1.8.29, а). Становится очевидным, что между Х и У связь можно определить, лишь обратившись к методам теории вероятностей и математической статистики. Теоретически просто найти кривую у =у (х), если х, у заданы совместным распределением вероятностей. Тогда в качестве кривой берется условное математическое ожидание случайной величины у при условии, что величина х приняла определенное значение: ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЪ|Х МОДЕЛЕЙ 393 хг ах хз хь Х Х д) Рис. 1.8.29. Точечные диаграммы Эта функция и будет искомой зависимостью в среднем между у и х Уравнение у = Г |х) называется уравнением регрессии у на х.

На практике точный внд распределения почти всегда неизвестен, поэтому вид уравнения у = у(х) также неизвестен. В распоряжении исследователя есть лишь некоторый набор наблюдений — "облако" данных (рис. |.8.29, б). В этом случае поступают так; сначала для различных 394 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ входных значений х строят соответствующие точки у, затем при каждом значении х, т.е. по каждой вертикали, усредняют имеющиеся значения у (рис. !.8.29, в). Зги средние значения и будут аналогом условного математического ожидания выхода по входу; они дают возможность построить приближенно график зависимости У от Х Затем полученную кривую можно аппроксимировать (приблизить) какой-либо известной функцией„ которая и будет математической моделью неизвестного уравнения регрессии.

Примером таких математических моделей может служить точечная диаграмма размера обработанных деталей. Так, действие случайных факторов и систематического износа режущего инструмента описывается линейной моделью: у = ах г Ь (рис. 1.8.29, г). Действие нескольких случайных и систематических факторов (рис. !.8.29, а) можно описать моделью, представляющей собой тригонометрическую функцию у =Аз(пК~х + ВсозКгх + С'. Уравнение регрессии у = г(х) неизвестно и из экспериментального материала его нельзя вывести аналитически.

Поэтому исследователь поступает следующим образом: по внешнему виду "облака" данных он подбирает математическую модель — какую-либо аналитическую зависимостьу от х, обычно в виде такой зависимости применяется многочлен р„(х) = по+пах 4 агх + ... + а„х". В математическом анализе имеется теорема, утверждающая, что любую непрерывную функцию у = 9г(х) с любой заданной точностью Т можно описать многочленом р„(х) определенной степени. Коэффициенты многочлена выбирают таким образом, чтобы его график как можно ближе, теснее прилегал к экспериментальным точкам. В качестве меры отклонения графика от имеющихся значений обычно берут сумму квадратов отклонений в соответствующих точках х.

Если исследуемая величина у зависит более чем от одного фактора, т.е. у =)"(хь ..., х„) является функцией нескольких переменных (факторов), то в этом случае для построения уравнения регрессии используют методы планирования эксперимента, К планированию эксперимента обращаются тогда, когда пренебречь зависимостью у от нескольких факторов, кроме одного, невозможно, не исказив картину процесса. К планированию эксперимента прибегают и тогда, когда необходимо получить какую-либо аналитическую зависимость между параметрами процесса, которую нельзя вывести на основе ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ 395 причинно-следственных связей, так как последние неизвестны.

К таким задачам можно отнести задачу определения зависимости силы резания от параметров процесса; глубины резания, твердости материала, геометрии режущего инструмента и т.п.; к этой же задаче можно отнести задачу определения периода стойкости инструмента. Определение коэффициентов уравнения регрессии иначе можно назвать идентификацией объекта как "черного ящика", функционирование которого описывает зто уравнение, Перечисленные способы, однако, становится трудно применять для идентификации сложных технических объектов, когда зависимость у от х существенно нелинейна. В этом случае прибегают к методу Монте-Карло или статистических испытаний. Схема его применения такова.

Пусть функция у = Дх) существенно нелинейна (сложиа) и отсутствуют удовлетворительные методы решения этой задачи. Датчик случайных чисел дает возможность построить последовательность случайных чисел х„хъ ..., хя с требуемым законом распределения. С помощью исходной формулы (т.е. проведя эксперимент), можно получить последовательность значений у1 = у(х,), уз =у(хз),...,у„= Г(хя), представляющую некоторую случайную последовательность. Проведя достаточно большое число вычислений и обработав последоватслыюсть уь уъ......

> у„, можно с любой заданной точностью определить статистические свойства случайной величины г' и найти интересующий .икон распрелеления. Таким образом, выход "черного ящика" моделируется как случайная величина с определенным законом распределения.

Один из возможных способов применения метода Монте-Карло оптимизация режимов резания при нелинейном критерии оптимизации (например, себестоимость механической обработки изделия). Автоматизация технологических процессов и управления ими ставит новые задачи, некоторые из них можно решить с помощью метода стохастической аппроксимации.

Метол стохастической аппроксимации состоит в следующем. С помощью датчика случайных чисел определяется « = «, (моделируется случайное возмущение). Для этого « = «~ решается неслучайная задача каким-либо методом оптимизации и находится значение управляемого параметра х=хь Далее по новому случайному значению « = «з находят х = хь Вычисляют хз = х, +и,(хз -х,). 396 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ Этим же способам определяют х = хз н следующее приближение: х, =х, +аз(хз — хз) ит.д. Схема указанной процедуры в общем виле может быть представлена так; хь +1=хь мах(хх„— хз), где а, — коэффициент; 8 — номер шага процедуры, которая выполнима при следующих условиях: и» -+О; Еих =со; Еаз <со, 2 Эту процедуру можно изобразить графически (см.

рис, !.8.29, е). Выполняя эту процедуру для каждого заданного значения и, можно смоделировать зависимость у от х в среднем, Метод стохастической аппроксимации универсален. С его помощью можно решать задачи на оптимум. Метод стохастической аппроксимации используют при создании адаптивных систем управления технологическим оборудованием, предназначенных для повышения точности размера. Особое значение в технологии машиностроения имеет моделирование процессов, параметры и характеристики которых изменяются с течением времени. Сюда можно отнести все процессы механической обработки деталей, временные связи технологических процессов, задачи активного контроля размеров. Эти задачи и другие, им подобные, решаются с привлечением аппарата теории случайных процессов (случайных функций). Значения случайного процесса Х(г) при каждом г являются случайными величинами.

Основные характеристики случайного процесса: — функция А(г) = Мх(г), называемая средним значением случайного процесса; — корреляционная матрица В(В(гх, б)), составленная из значений функции В(х, г) = Ч(х(з) — А(х)их(г) — А(г)), называемая корреляционной функцией процесса и служит моделью взаимосвязи значений процесса в различные моменты времени, Каждое значение х(г) случайного процесса, являясь случайной величиной, формально зависит от некоторого элементарного события (исхода). Рассматривая случайный процесс при каждом элементарном исходе, мы имеем соответствующую функцию, которая называется реализацией или траекторией или выборочной функцией случайного процесса. Реально наблюдая случайный процесс, фактически можно наблюдать одну из его возможных траекторий.

Представим, что имеется некоторая совокуп- КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ эв? ность Х всех возможных траекторий и некоторый "механизм случайности" избирает одну из этих функций х(г). Общая теория случайных процессов имеет несколько частных теорий; стационарных случайных процессов, цепей Маркова, диффузионных процессов. Пользуясь метолами теории случайных процессов, можно решать задачи прогнозирования и регулирования. Широко применяют зту теорию в задачах активного контроля размеров. Известно, что погрешности размеров являются результатом совместного действия ряда факторов, носящих случайный характер (изнашивание и затупление режущего инструмента, тепловые и силовыс деформации технологической системы), степень влияния которых на процесс механической обработки изменяется в процессе обработки, г.с.

с течением времени. При моделировании действия этих факторов использование аппарата случайных процессов (случайных функций) по~волне~ получить гораздо больший объем интересуюшей информации, чем использование для этой цели лишь одной реализации случайной величины. Теорию случайных процессов применяют также при создании различно~ о рода систем автоматического регулирования, следящих систем. КОНТРОЛЪНЪ|Б ВОПРОСЪ| 1 В чем разница между детерминированной и вероятностной математическими моделями? 2.. В чем состоит сущность метода координатных сне~ем с дсформирующими связями? 3.

Понятие эквивалентной схемы технологической системы. 4, В чем разница между погрешностями обработки и детали? 5. Как строится эквивалентная схема? 6. Этапы построения математической модели методом координатных систем с деформирующими связями. 7. В чем разница между математическими моделями погрешностей статической и динамической настройки технологической системы? 8. Относительно каких баз определяются погрешности установки заготовки и инструмента? 9.

Характеристики

Список файлов книги