Кое-что о рентгеноструктурном анализе, электромагнитном излучении, рентгеновских лучах, их свойствах и дифракции (1041682), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. как величина обратнаявекторов определяются тем же образом, как и |Hмежплоскостному расстоянию. Если с помощью найденного трехмерного базиса продолжить решетку изображения на бесконечность, то получится обратная решеткакристалла.Свойства обратной решетки проще всего узнать, построив ее для наиболее общегослучая — для кристалла с триклинной элементарной ячейкой, определенной базисомa, b, c с углами α, β, γ. Для построения обратной решетки надо определить еебазисные векторы. Так как обратная решетка связана с кристаллической решеткой,то ее базисные ребра и углы принято обозначать теми же значками, но помеченнымизвездочками, т. е.
базис обратной решетки будет характеризоваться ребрами a∗ , b∗ , c∗и углами α∗ , β ∗ , γ ∗ . Поскольку понятие обратной решетки в нашем случае вызвано = |s − s0 | =|S|3*68Гл. 1. Кое-что о рентгеноструктурном анализенеобходимостью интерпретации дифракции рентгеновских лучей в кристалле, то = s − s0 возникновения дифракционных максимумов отвоспользуемся условием Hграней элементарной ячейки кристалла и найдем узел обратной решетки соответствующий, например, базисной плоскости (100) прямой ячейки рис.
1.22.Для построения проведем вектор нормали ONк плоскости OBDC элементарной ячейки, котораяявляется плоскостью (100). Как мы только чтовыяснили, при возникновении брэгговского отражения рентгеновского луча от плоскости вектор = s − s0 перпендикулярен отражающей плоскоHсти, и следовательно в нашем случае этот вектор совпадает с ON . Из формулы (1.55) и схемырис. 1.22 следует что узел дифракционного изображения плоскости (100) будет располагаться на 100 и отстоять отнаправлении вектора нормали HРис. 1.22. Схема построения обратной ячейки для триклиннойвыбранного начала координат на величинуэлементарной ячейки кристалла сребрами a, b, c|a∗ | =11.=d100|a| cos (aa∗ )(1.56a)Надо отметить, что в данном выражении (aa∗ ) обозначает угол между векторами a иa∗ , а не скалярное произведение этих векторов.
Таким образом мы определили длинуодного из базисных ребер элементарной ячейки обратной решетки нашего кристалла.Если повторить ту же самую процедуру для базисных плоскостей (010) и (001),то получатся выражения для длин двух оставшихся ребер обратной ячейки 11 ∗ ,(1.56б)= b =d010b cos (b b∗ )|c∗ | =11.=d010|c| cos (c c∗ )(1.56в)Определив таким способом элементарную ячейку обратной решетки кристалла,путем трансляции по базисным векторам можно построить, как бесконечную обратную решетку, так и ограниченную решетку дифракционного изображения, являющуюся частью обратной решетки, и определить их свойства.1.7.2.3. Некоторые свойства обратной решетки и решетки дифракционногоизображения. Перечислим без подробных выводов ряд свойств обратной решеткии решетки дифракционного изображения, которые будут далее использоваться вразных разделах данной книги.1. Осевыми векторами a∗ , b∗ , c∗ обратного изображения и обратной решетки являются векторы нормалей к базовым плоскостям (100), (010), (001) элементарнойячейки кристалла, а длины этих базисных векторов обратны минимальным межплоскостным расстояниям для соответствующей системы плоскостей.2.
Если единицей измерения длин в прямой ячейке является ангстрем, то длиныосей в обратной ячейке измеряются в единицах [Å−1 ].3. Углы между векторами a∗ , b∗ , c∗ обозначаются символами α∗ , β ∗ , γ ∗ ; где угол∗α лежит между b∗ и c∗ и т. д.4. Скалярные произведения разноименных векторов обратной и прямой (кристаллической) решеток равны нулю, так как по условию построения эти векторы1.7.
Принципы рентгеновской кристаллографии69перпендикулярны друг другу, т. е.a∗b = a∗c = b∗c = b∗a = c∗a = c∗b = 0.(1.57)5. Скалярные произведения одноименных векторов обратной и прямой решетокравны единице, т. е.a∗a = b∗b = c∗c = 1.(1.58)6. Длины осей обратной ячейки, выражаемые формулами (1.56а)–(1.56в), можнотакже записать через длины осей, базисные углы и объем V элементарной ячейкикристалла (с учетом того, что объем параллелепипеда V = a[bc], т. е. определяетсясмешанным произведением векторов, соответствующих ребрам параллелепипеда): ca sin βbc sin αab sin γ |a∗ | =; b∗ =; |c∗ | =.(1.59)VVV7.
В общем случае кристаллов с триклинной ячейкой базисные углы обратнойячейки выражаются через углы элементарной ячейки кристалла формулами:cos α∗ =cos β cos γ − cos α;sin β sin γcos γ ∗ =cos β ∗ =cos γ cos α − cos β;sin γ sin α(1.60)cos α cos β − cos γ.sin α sin β8. Объемы прямой и обратной элементарных ячеек по величине обратны другдругу, т. е. V ∗ = 1/V .9. Важной особенностью решетки дифракционного изображения по сравнениюс прямой решеткой кристалла является то, что элементарная ячейка решеткидифракционного изображения всегда центросимметрична. Если отражение отплоскости (hkl) происходит под углом θ, то от обратной стороны этой плоскости лучотразился под тем же углом, так как межплоскостное расстояние, характеризующееотражающую плоскость, от поворота на 180◦ не меняется. Принято обозначать«обратную сторону» отражающей плоскости индексами с чертой сверху (hkl), еслипротивоположная ей сторона имеет индексы (hkl).10.
Сингония обратной решетки всегда совпадает с сингонией кристалла. Этоочень важно для определения сингонии кристалла по рентгендифракционным экспериментальным данным.Из приведенного краткого рассмотрения следует, что в обратной решетке плоскостям (hkl) элементарной ячейки кристалла соответствуют точки hkl, называемыетакже узлами обратной решетки, отстоящие от начала координат на величину 1/dhkl .Положение любого узла в обратной решетке можно естественным образом выразитьчерез базис и целочисленные индексы, как это делается в обычной кристаллическойрешетке.
Имея базис обратной решетки (а теперь у нас есть формулы для определения этого базиса), мы можем задавать положение любого ее узла относительноначала координат с помощью вектора hkl = ha∗ + kb∗ + lc ∗ ,H(1.61)называемого вектором обратной решетки. Целочисленные индексы hkl в данномвыражении являются индексами интерференции полностью аналогичными тем, которые используются в уравнениях Лауэ (1.52).Вспомним, что мы пришли к обратной решетке через решетку дифракционного hkl , длинаизображения, узлы которой были отштампованы с помощью вектора H70Гл.
1. Кое-что о рентгеноструктурном анализекоторого вычислялась по формуле (1.55). Поэтому нам известно, что этот векторбыл нами введен исходя из условия зеркального отражения луча от плоскости = s − s0 . По направлению он перпендикулярен отражающей плоскости (hkl)как Hкристаллической решетки, а по длине обратно пропорционален межплоскостномурасстоянию dhkl для системы кристаллографических плоскостей (hkl). Эти свойстваявляются главными фундаментальными свойствами вектора обратной решетки.
Поскольку по определению решеточное пространство дискретно, то и вектор обратнойрешетки меняется дискретно, указывая положения узлов решетки относительноначала координат.Подробное рассмотрение кристаллографии не является предметом данной книги, поэтому приведенные здесь сведения касаются лишь небольшой части свойствпрямой и обратной решеток, с которыми придется постоянно сталкиваться в последующих темах нашего обзора. Более полное рассмотрение обычной и рентгеновскойкристаллографии с выводом большинства математических соотношений интересующиеся могут найти в специальной литературе (см., например, Бургер, 1948; Васильев,1981; Егоров–Тисменко и Литвинская, 2000).1.7.3.
Графическая модель Эвальда. Интересный и очень полезный с практической точки зрения результат можно получить, если аналогичным векторным образом с помощью метрики обратной решетки описать не только решетку, а все точкиобратного пространства, в котором находится решетка дифракционного изображения. в видеДля этого достаточно записать дифракционный вектор S = s − s0 = ha∗ + k b∗ + lc∗ ,S(1.62)где индексы h , k , l имеют право быть любыми числами, в том числе и дробными.Уравнение (1.62) фактически является выражением рассеяния электромагнитной волны или частиц в пространстве волновых векторов или импульсов k, которое широкоприменяется в физике твердого тела.
Используемое здесь определение вектора s сточностью до постоянного коэффициента совпадает с определением вектора импульса(см. раздел 1.3). Такой подход дает нам возможность с помощью вектора рассеяниярентгеновского луча s следить за всеми доступными для него точками обратногопространства и обнаруживать в этом пространстве узлы обратной решетки 1). Очевидно, что узлы дифракционного изображения будут обнаруживаться только тогда,когда индексы h , k , l в формуле (1.62) принимают целочисленные значения hkl,т. е.
когда дифракционный вектор равен вектору обратной решетки =H hkl .S(1.63)Условие (1.63) называется интерференционным уравнением. Это условие сводитвместе пространство рассеяния электромагнитной волны и обратную решетку и позволяет дать наглядную интерпретацию процесса возникновения дифракционныхмаксимумов от кристаллов на простой графической модели, известной как модельЭвальда.Из уравнения (1.62) видно, что, если векторы s и s0 исходят из общей точки,при фиксированном положении вектора s0 и непрерывно меняющемся векторе s в трехмерном пространстве «скользит» по сфереконец дифракционного вектора Sс радиусом 1/λ, описываемой бегущим вектором s.
Эту сферу называют сферой hkl опрераспространения или сферой отражения, или сферой Эвальда. Вектор H1)Сканирующим будет именно вторичный луч s, если направление s0 первичного лучавыбрать фиксированным.1.7. Принципы рентгеновской кристаллографии71деляет обратную решетку из узлов hkl в том же пространстве, где расположена сфера иH hkl начинаются в одной точке обратного пространства,Эвальда. Если векторы Sто равентство (1.63) означает, что положение узла hkl совпадает с одной из точексферы Эвальда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
