Кое-что о рентгеноструктурном анализе, электромагнитном излучении, рентгеновских лучах, их свойствах и дифракции (1041682), страница 15
Текст из файла (страница 15)
между a и c, a γявляется углом между оставшейся парой ребер, в которую не входит c, т. е. междуa и b.7. Параметры элементарной ячейки характеризуются длинами ее ребер a, b, c,измеряемыми обычно в единицах [Å], углами α, β, γ в единицах [◦ ] и объемомячейки Vяч в единицах [Å3 ].8. В силу эквивалентности точек узловых рядов, образующих узловые плоскости,любой из узлов может быть выбран за начало отсчета для описания кристаллическойрешетки без влияния на результат.
В то же время, положение любого узла в кристаллической решетке относительно начала отсчета в системе координат ее базиса = ha + kb + lc, где, в силу выбора системыможно определить радиус-вектором Rкоординат и определения понятия решетки, этот вектор может принимать толькоопределенные дискретные значения, а коэффициенты h, k, l могут быть лишь целымичислами (как положительными так и отрицательными, в зависимости от положенияузла относительно начала отсчета).9. Для общности описания и математических расчетов в кристаллографии вкачестве мер длины обычно используют единицы, равные длинам ребер ячейки, ис помощью этих единиц определяют координаты точек, направлений и положениеплоскостей (плоских узловых сеток) в решетке.
При подобном выборе шкалы координатных осей координаты любого узла в кристаллической решетке будут определятьсяпросто целыми числами h, k, l, которые в кристаллографии называют индексамиВейса и при обозначении координат узлов записывают без разделения запятыми ибез каких-либо скобок, т. е. просто hkl.10.
Направления узловых прямых (а другие прямые в кристаллической решетки быть не могут по определению) задаются индексами Вейса [hkl] ближайшегок началу отсчета узла решетки, через который данная прямая проходит, но длятого чтобы было понятно, что эти индексы относятся к координатам прямой, ихзаключают в квадратные скобки. Таким образом, например, индексами базисногоребра a будут [100], индексами ребра b [010] и индексами ребра c [001]. Из условияопределения координат по ближайшему узлу следует, что индексы прямой должныбыть взаимно простыми целыми числами, т. е. у индексов Вейса не должно бытьобщего множителя.11.
Положение узловых плоскостей в кристаллической решетке (часто называемых кристаллографическими плоскостями) определяется с помощью индексовМиллера, которые обозначаются теми же буквами (hkl), но заключенными в круглыескобки. Определение индексов Миллера, используемых в кристаллографии, не стольочевидно, как определение координат узлов или прямых. Для нахождения индексов(hkl) какой-либо узловой плоскости определяют сколько единиц p1 , p2 , p3 эта плоскость отсекает на осях координат, а затем вычисляют индексы Миллера отношениемцелых чисел обратных единицам p1 , p2 , p3 , как h : k : l = (1/p1 ) : (1/p2 ) : (1/p3 ). Дляопределения индексов берется ближайшая к началу координат узловая плоскость извсего набора параллельных плоскостей, поэтому общий множитель у индексов (hkl)сокращается, и вся система параллельных узловых плоскостей маркируется одними3 Г.В.
Фетисов66Гл. 1. Кое-что о рентгеноструктурном анализеи теми же индексами 1). Отрицательные значения индекса указывают с помощьючерты над этим индексом. Очевидно, если узловая плоскость параллельна одной изосей координат, то она пересекает эту ось в бесконечности и индекс по этой осибудет равен нулю.1.7.2.2. Решетка дифракционного изображения и обратная решетка. Рассмотренные выше уравнения Лауэ и уравнение Брэгг–Вульфа позволяют экспериментально по наблюдению дифракции рентгеновских лучей определить геометриюкристаллического пространства, т. е определить элементарную ячейку, повторениемкоторой это пространство построено.
С их помощью можно вычислять периодыидентичности узловых сеток. Для этого достаточно измерять брэгговские углы θ.Но возникает вопрос — как измерить эти углы, если нельзя визуально увидетьотражающие кристаллографические плоскости, а тем более найти минимальный уголмежду лучом и этой плоскостью. Для измерения углов между лучом и плоскостьюпроще всего определять угол между лучом и вектором нормали к плоскости.
Поэтомув рентгеновской кристаллографии принято характеризовать атомные плоскости кристаллической решетки векторами их нормалей, что серьезно упрощает рассмотрениедифракции рентгеновских лучей в кристалле. Но такой подход, в конце концов,приводит к необходимости прибегать к понятию обратной решетки, образованнойэтими нормалями. Обратная решетка широко используется в рентгеновской кристаллографии и без представления о ней почти невозможно обойтись даже при чтениинаучной литературы по структурному анализу или рентгеновской дифрактометрии.Поэтому попытаемся привести основные понятия о ней с помощью интерпретациирентгеновской дифракционной картины.
Для этого рассмотрим отражение рентгеновских лучей от произвольной системы атомных плоскостей с индексами (hkl) согласносхеме показанной на рис. 1.20.Будем указывать направление рентгеновских лучей с помощью некоторых направляющий векторов, параллельных этим лучам, например, s0 (направление падающеголуча) и s (направление отраженного луча), как это изображено на векторной диаграмме вверху рис. 1.20. Поскольку при дифракции и отражении длина волны лучейне меняется, то длина этих векторов должна быть одинакова, хотя для определениянаправлений ее абсолютное значение роли не играет.Из рассмотрения векторной схемы рис.
1.20 легко понять, что при зеркальномотражении рентгеновского луча от плоскости, когда угол падения равен углу отражения, вектор разности направляющих векторов отраженного и падающего лучей = s − s0 оказывается нормалью к отражающей плоскости. Если в качестве направSляющих выбраны единичные векторы |s| = |s0 | = 1, то можно также заметить, что = |s| sin θ + |s0 | sin θ = 2 sin θ, где брэгговский угол θмодуль вектора разности |S|измеряется половиной угла между направлениями падающего и отраженного лучей,1)Такой способ определения индексов плоских узловых сеток на первый взгляд кажетсяпричудливым. Чего проще, например, определять плоскость с помощью координат трех точек,отсекаемых ей на осях? Но подход с использованием индексов Миллера для маркировкикристаллографических плоскостей сильно облегчает геометрические вычисления углов междуплоскостями или плоскостью и прямой в кристаллографии. Оказывается, что индексы Миллераданной плоскости равны индексам Вейса для прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
Тоесть в кристаллографии положение узловых плоскостей фактически определяется направлением их нормалей. Способ маркировки узловых плоскостей индексами Миллера и их связьс индексами нормалей впоследствии оказался очень удачным для рентгеновской кристаллографии, где используется понятие обратной решетки, позволив маркировать векторы и узлыобратной решетки индексами совпадающими с индексами Миллера в соответствующей ейкристаллической решетке (см. следующий параграф).1.7. Принципы рентгеновской кристаллографии67и может входить в формулу Брэгга (1.53).
В результате при отражении от стопки параллельных плоскостей, разделенных промежутками dhkl , интерференционныймаксимум будет наблюдаться при условииnλ.(1.54)dhkl = s − s0 , называемый дифракИз полученного выражения видно, что вектор Sционным вектором, не только несет информацию о пространственной ориентацииотражающей атомной плоскости кристалла, но и содержит сведения о величинепериода идентичности отражающих плоскостей.Как мы говорили выше, направляющие векторы отраженного и падающего лучеймогут иметь любую длину, главное, чтобы их длины были одинаковы. Если выбрать = s − s0 опять будетэти векторы так, что |s| = |s0 | = 1/λ, то вектор их разности Hперпендикулярен отражающей плоскости, но его модуль уже не будет зависеть отдлины волны рентгеновских лучей, а будет определяться лишь величиной межплоскостного расстояния в кристаллической решетке hkl | = |s − s0 | = n .|H(1.55)dhklМножество векторов, построенных подобным образом, т.
е. путем вывода в отражающее положение всех плоскостей кристаллической решетки, укажет множествоточек, образующих пространственную решетку однозначно связанную с кристаллической решеткой, но в которой величина периодов идентичности обратна величинемежплоскостных расстояний в исходной решетке кристалла.
Такую решетку, отштампованную векторами Hhkl , называют решеткой дифракционного изображениякристалла.Число точек (узлов) решетки дифракционного изображения ограничено числомвозможных для измерения брэгговских отражений и всех доступных гармоник. Эточисло ограничено физическими параметрами дифракционного эксперимента, поэтомурешетка дифракционного изображения не бесконечна, как положено решетке по еематематическому определению. Узлы решетки дифракционного изображения маркируются индексами породивших их плоскостей исходной решетки кристалла, но стой особенностью, что эти индексы hkl, называемые индексами интерференции,в отличие от индексов Миллера, могут иметь общий множитель, что обусловленоналичием коэффициента n — порядка отражения в выражении (1.55). Такая трехмерная решетка жестко связана с кристаллом и следует любому повороту или переносукристалла.Базис решетки дифракционного изображения можно связать с исходной решеткой, определив направления базисных векторов новой решетки по перпендикулярнымбазисным граням элементарной ячейки кристаллической решетки, а модули базисных hkl |, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
