Конспект лекций (1040918), страница 16
Текст из файла (страница 16)
24. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ P(C2/C1) И P(C3/C2, C1)93 t )]теорема о среднем,разложение в ряд ТейлораТаким образом, с учетом вычисленных вероятностей p(C2/C1) и p(C3/C2,C1), условно обозначенных «4» и «5», соответственно, получаем:p(C) = p2(t) [ λ21(t*) t+t ] [1- λ21 (t ) t+*t ]p2(t) λ21(t*) t+t .«5 »«4 »Итак, обобщаем полученные результаты для вероятности p1(t+Δt) нахождения ТС в момент (t+Δt) в состоянии X1:p1(t+ t) =«1»+«2»= p1(t) «3» + p2(t) «4» «5»p1(t) - p1(t)12(t*)t + p2 λ21(t*) t +t ,или, преобразовав:p1 ttp1 ttC учетом того, что:tt*λ 12 (t * ) p1 (t )λ 21 (t * ) p 2 (t )0dp t, получаем: 1tdt( t) / t .λ 12 (t ) p1 (t ) λ 21 (t ) p 2 (t ) .Аналогично выводится дифференциальное уравнение для состояния Х2:dp2 tλ 21 (t ) p2 (t ) λ12 (t ) p1 (t )dtЗамечание: Если бы случайный процесс Маркова имел не два состояния, атри, то получили бы три дифференциальных уравнения.Добавляем начальные условия и условие нормировки:p1 t0p1 (0)p2 t0p 2 (0)p1 tp 2 (t ) 1 - условие нормировки- начальные условияdp1 tλ12 (t ) p1 (t ) λ 21 (t ) p 2 (t )dtdp 2 tλ 21 (t ) p 2 (t ) λ12 (t ) p1 (t )dtp1 (t 0) p1 (0)начальные условияp 2 (t 0) p 2 (0)p1 (t )p 2 (t ) 1Уравнения Колмогорова - Чепменаусловие нормировкиТаким образом, уравнение Колмогорова-Чепмена позволяет адекватно описать процесс функционирования системы в условиях наличия отказов и восста94 новления, то есть оно является дифференциальным уравнением перехода из одного состояния в другое.Правила получения уравнений Колмогорова - ЧепменаПредполагая, что состояние X(t) может принимать только дискретные значения Xi, причем смена этих значений (состояний) происходит в некоторые случайные моменты времени, сформулируем следующую пошаговую последовательность составления уравнений Колмогорова-Чепмена:Шаг 1.
Представляем функционирование ТС в виде графа (Рис. 25)dp1...Значит,… dtдолжно бытьX2XmX1...m дифференциальныхdp mdtуравнений:m состояний ТС ...РИС. 25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОГРАФУ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТСШаг 2. Выделяем состояние Xi, для которого pi – вероятность нахождения вэтом состоянии и по количеству входящих и выходящих стрелок определяемструктуру дифференциальных уравнений (см. Рис.
26).1 2 XiКоличество выходящих стрелокопределяет количество слагаемых со знакомминус в i-м дифференциальном уравнении, т.е.n1n1 ... dpidt1pin2 1 Структура уравнений:n2...1n1... 1Количество входящих стрелок определяетколичество слагаемых со знаком плюсв i-м дифференциальном уравнении, т.е.n2...
1РИС. 26. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙШаг 3. Определение членов алгебраической суммы по графу (см. рис. 21)piXiλjiКаждый член алгебраической суммы равен:= λji pjpjXjРИС. 27. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ95 Пример 7.Допустим, что:1. Поток отказа и восстановления изменяется по закону Пуассона;2. ПЭВМ работают на участке стационарной работы, т.е.
ij(t) = const.Исходные данные:Структурная схема ПВЭМ представлена на рис. 22.ПКPSUMBСистема кабелейи шлейфовНакопителиПроцессорПамятьАдаптер питания (VRM)Райзер - картаHDDFDDCD-ROMРИС. 28. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ПЭВМДанные о частоте отказов и времени восстановления, полученные по фирмеDELL (США) на второй квартал 2002 года, приведены в таблице 3, в которойвремя ремонта и время работы до отказа измеряется в днях.ТАБЛИЦА 10№Причинанеисправности12345678910111213ПроцессорМатеринская платаHDDHDDМатеринская платаFDDCD-ROMРайзер-картаHDDПамятьPSUHDDМатеринская платаВремяремонта1161371111114196 Времяработы доотказа702531567593498631557472642712398457683141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758ПамятьCD-ROMPSUHDDРайзер-картаFDDHDDPSUМатеринская платаCD-ROMPSUFDDПамятьPSUPSUHDDPSUHDDМатеринская платаHDDPSUМатеринская платаРайзер-картаМатер. платаPSUHDDHDDМатеринская платаPSUМатеринская платаПамятьCD-ROMРайзер-картаHDDVRMHDDМатеринская платаПроцессорHDDCD-ROMРайзер-картаМатеринская платаМатеринская платаHDDFDD12111121711213112121113312412111131151117211213197 5934456116947014403017126994785836716794637075947115887126646575944977017033025795446834092845677054965037094576796345874927045396487125960616263646566676869707172ПамятьPSUМатеринская платаHDDPSUHDDМатеринская платаCD-ROMFDDМатеринская платаPSUМатеринская платаHDDVRM212546141191121219562587424476532578632662397693502712689Итого: 72 заявки на отказ.►В обобщенном виде статистические данные по количеству отказов ка-ждого из модуля, приведенные в Таблица 10, можно представить в виде Таблица 11.ТАБЛИЦА 11Наименование модуляМатеринская платаПроцессорПамятьVRMРайзер-картаНакопители:FDDHDDCD-ROMPSUОбщее количествоотказов162525518613Расчет коэффициентов готовности модулей ПЭВМ фирмы DELLКаждый модуль графически может быть представлен так, как показано наРис.
29X1p1(t)(t) – поток отказовX2p2(t)(t) – поток восстановленияРИС. 29. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОДУЛЯ ПЭВМ98 Состояние Х1 соответствует рабочему состоянию модуля, Х2 - модуль в состоянии восстановления.Численные значения наработки до отказа Т = 1/ и времени восстановленияТ = 1/ (в днях) приведены в Таблица 12.ТАБЛИЦА 12Модуль ПЭВМТ4,75421111212Материнская платаПроцессорПамятьVRMРайзер-картаFDDHDDCD-ROMPSUТ609690497596573623563544612Для того чтобы определить коэффициент готовности, составим уравнениеКолмогорова – Чепмена по вышеприведенным правилам.Шаг 1. Т.к.
граф функционирования данной ТС содержит две вершины (двасостояния), то в уравнении Колмогорова-Чепмена должно быть два дифференциальных уравнения (см.Рис. 30)X1X2Значит, должно бытьДва состоянияdp1dtdp 2dt... ...РИС. 30. ВЕРШИНЫ ГРАФА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МОДУЛЯ ПЭВМШаг 2 и 3. Выделяем состояние X1 для которого p1 – вероятность нахождения в этом состоянии. На графе Рис.
31 видим, что в вершину X1 входит и выходит по одной стрелке, значит, в дифференциальном уравнении для этой вершиныбудет два слагаемых – одно со знаком плюс ().99 p 2 ) и одно со знаком минус (p1Аналогично получаем второе дифференциальное уравнение, рассматривая состояние X2 (p2 – вероятность нахождения в состоянии X2):dp2dtp1p2 .Одна исходящая стрелкаX1p1–dp1dt+λp1μp 2 Одна входящая стрелкаРИС.
31. СОСТАВЛЕНИЕ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯТаким образом, получаем уравнение Колмогорова - Чепмена:dp1λp1 μp 2 ;dtdp 2λp1 μp 2 ;dtp1 (t ) p 2 (t ) 1;p1 (0), p 2 (0).Заметим, что коэффициент готовности K Гp1 ( ) . Тогда для расчета ко-эффициента готовности уравнение Колмогорова-Чепмена примет вид:λp1 ( ) μp 2 ( )λp1 ( ) μp 2 ( )p1 (t )0;0;p 2 (t ) 1.Решим полученную систему, для чего из первого уравнения выразимp2 ( ) :p2 ( )p1 ( ) ;Подставим p 2 ( ) в условие нормировки:p1 ( )p1 ( ) 1 .Тогда получаем:100 p1 ( )1KГ111TμTλРассчитаем коэффициент готовности для каждого модуля ПЭВМ на основестатистических данных Таблица 10.
Результат приведен в Таблица 13.ТАБЛИЦА 13Модуль ПЭВМКоэффициент готовности K ГМатеринская платаПроцессорПамятьVRMРайзер-картаFDDHDDCD-ROMPSU1 1 4,75 6090,992661 1 4 6900,994251 1 2 4970,995991 1 1 5960,998321 1 5 5730,981171 1 1 6230,998401 1 2 5630,996461 1 1 5440,998161 1 2 6120,99674Вероятность выхода из строя каждого модуля приведена в Таблица 14.ТАБЛИЦА 14НаименованиемодуляМатеринская платаПроцессорПамятьVRMРайзер-картаFDDHDDCD-ROMPSUВероятностьвыхода из строя0,007740,005750,004010,001680,008650,00160,003540,001840,00326◄Посредством коэффициента готовности мы оценили возможность восстановления системы при возникновении отказа, что позволяет судить о том, насколько успешно функционируют сервисные центры фирм. Однако рассмотрен101 ная классическая методика оценки этого коэффициента импортных приборныхустройств не позволяет учитывать специфику российского рынка, т.к.
основополагающим предположением для этой методики является то, что потоки отказов ивосстановления изменяются по закону Пуассона. Опыт показывает, что, если нетдоминирующего влияния (устройство не находится, например, под действием радиоактивного излучения), то на период функционирования поток отказов можнопринять изменяющимся по закону Пуассона. Сложнее дело обстоит с потокомвосстановления. Он не может быть достаточно адекватно описан законом Пуассона. Это связано, прежде всего, с особенностями развития сервиса в России (связано с вопросом поставки запчастей, удаленности фирмы-производителя, таможенных трудностей и т.д.)Уравнение Колмогорова для поиска интенсивности отказов (восстановлений) при законе распределения ВейбуллаДля учета специфики восстановления ТС в России введем коэффициент k,который входит в закон распределения Вейбулла.Тогда функция частоты отказов:kt ( k 1) eTf (t )tkTВероятность безотказной работы без учета восстановления:1p1 (t )tkTeПоток отказов:12 (t )tkTkt ( k 1) eeTФункция частоты восстановлений:f (t )kt ( k102 1)eTtkTtkTВероятность восстановления без учета отказов:1p 2 (t )tkTeПоток восстановлений:tkTkt ( k 1) e21 (t )etkTTРешаем уравнения Колмогорова:dp1 (t )12 (t ) p1 (t )21 (t ) p 2 (t )dtdp 2 (t )21 (t ) p 2 (t )12 (t ) p1 (t )dtВероятность безотказной работы с учетом потока восстановлений (Рис.
32):tk Tp1 (t )TTTeTTTTTT(19) РИС. 32. ТИПОВОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ОТ ПАРАМЕТРА ЗАКОНАРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛАВероятность восстановления с учетом потока отказов:103 tk Tp 2 (t )TTTTeTTTTT Имея вероятность безотказной работы и вероятность восстановления, определяем изменение коэффициента готовности в зависимости от параметра k взаконе распределения Вейбулла (Рис. 33). РИС. 33. ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ГОТОВНОСТИВ ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ЗАКОНУ ВЕЙБУЛЛАПример 8.Покажем, что значение K Г , посчитанное при k=1 (закон Пуассона), отличается от значения K Г , посчитанного при k=0,5 (закон Вейбулла).
Воспользуемся статистикой частоты отказов и времени восстановления, используемой впримере №7 (см. Таблица 10).Численные значения T и T (в днях) приведены в Таблица 12.►Для расчета коэффициента готовности воспользуемся полученной вы-ше формулой (15). Полагая tT и k=0,5, подставляем численные значения в104 формулу (19) и получаем коэффициент готовности (Таблица 15). Вероятностьвыхода из строя каждого модуля также приведена в Таблица 15.ТАБЛИЦА 15Модуль ПЭВММатеринская платаПроцессорПамятьVRMРайзер-картаFDDHDDCD-ROMPSUКоэффициентготовности K ГВероятностьвыхода из строя0,9869800,9928910,9959780,9983250,8743770,9983970,9964530,9981650,9967390,0130200,0071090,0040220,0016750,1256230,0016030,0035470,0018350,003261◄Таким образом, уравнение Колмогорова-Чепмена описывает вероятностьнахождения в определенных состояниях при конкретных предположениях о видеинтенсивности потока отказов и восстановлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
