Конспект лекций (1040918), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Отсюда получаем:T0 рез( m 1)T0 .Физически этот результат очевиден: до отказа работающей цепи резервныесохраняют свой ресурс полностью и начинают его расходовать только при включении в работу взамен отказавшей цепи. Следует заметить, что ненагруженныйрезерв практически реализовать почти никогда не удается, так как значительнаячасть аппаратуры (автомобильная, корабельная, самолетная, ракетная) подвергается механическим нагрузкам или неблагоприятному воздействию внешних факторов (влажность, повышенные температуры, проникающая радиация и др.). Этифакторы даже при отсутствии электрической нагрузки приводят к более или менее быстрому старению элементов, т.
е. к расходованию ресурса. Кроме того, в117 электронных схемах при отказе работающей цепи при ненагруженном резерве неизбежны перерывы в работе аппаратуры, что во многих случаях недопустимо ипоэтому применяется облегченный резерв (резервные цепи работают в «дежурном» режиме). В связи с этим во многих случаях даже при электрически ненагруженном резерве целесообразно оценивать надежность резервированной аппаратуры по формулам облегченного, а иногда и нагруженного резерва (с учетом воздействия внешних факторов).в) Случай общего резервирования (резерв облегченный, основная и резервнаяцепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны)Этот случай в математическом плане наиболее сложен. Вводим коэффициент k р расходования ресурса (при ненагруженном режиме k р = 0, при нагруженном режиме k р = 1, при облегченном режиме 0< k р <1).
Приведем итоговое соотношение для средней наработки до отказа резервированной системы с облегченным резервом:T0 резгде λ 01λ0mi1,0 1 ik p1, Т0 - средняя наработка до отказа основной цепи.T0Уменьшая коэффициент k р , можно повысить эффективность облегченногорезерва, однако практически это не всегда удается.г) Случай раздельного резервирования (резерв нагруженный, основная и резервная цепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны)Вероятность безотказной работы системы за время t равна:Pрез1 1 eλit m 1nгде n — число элементов в основной цепи, m – кратность резервирования каждогоi-го элемента основной цепи.118 Интегрируя выражение вероятности безотказной работы при раздельном резервировании в пределах от 0 до, получим соотношение для средней наработкидо отказа:( n 1) mλ (m 1) i 0 νi (T0 резгдеi 1; λm 1ii1)(i12)...(in 1),λi- средневзвешенное значение интенсивности отказов1 nniэлементов.д) Случай раздельного резервирования (резерв ненагруженный, основная ирезервная цепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны).Вероятность безотказной работы системы за время t равна:Pрез (t ) e( λt ) i0 i!mλ 0tinгде λ 0 - интенсивность отказов основной цепи;λλi- средневзвешенное значение интенсивности отказов элементов.ni 0Общую формулу для значения средней наработки до отказа Т0рез в данномnслучае записать затруднительно.
Один из важных в практическом смысле случай:m = 1 , т. е. кратность резервирования равна 1 (“дублирование”). Дублированиенаряду с троированием (m = 2) наиболее часто применяется в радиоэлектронике,формулу для средней наработки до отказа чаще приходится вычислять именнодля двух этих вариантов резервирования. При m = 1 получим следующее соотношение для средней наработки до отказа:T0 дублгде C ni1λ0ni 0n!- число сочетаний из n по i.( n i )!i!119 C nii!,niе) Случай раздельного резервирования (резерв облегченный, основная и резервная цепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны).Как и для случая общего резервирования, используя коэффициент расходования ресурса k р и так же используя аналогию с горячим раздельным резервированием, получим формулу для средней наработки на отказ:T0 рез( N 1) mλ (m 1) i 0i(i1)(i12)...(iN 1),где N - число элементов в основной цепи,N λik p 1i- средневзвешенное значение интенсивности отказов; λm 1i 1 Nэлементов.В качестве замечания следует отметить, что при оценке надежности аппаратуры, имеющей в составе резервные цепи, но при условии, что резервированиепроходит без восстановления основной и резервной цепей, важно учитывать продолжительность непрерывной работы аппаратуры.
Дело в том, что увеличениевремени работы резервированной системы приводит к относительному снижениюэффективности резервирования. При длительной непрерывной работе аппаратуры, не имеющей резерва, и аппаратуры, задублированной при постоянном включении нагруженного резерва, вероятности безотказной работы оказываются практически одинаковыми, и уже нельзя говорить о выигрыше в надежности при применении резервирования.Задача оптимального резервированияПри проектировании высоконадежных систем приходится сталкиваться соследующей дилеммой.
С одной стороны, желательно обеспечить высокую надежность каждого из элементов, но с другой стороны, нельзя проектировать системусо слишком большими значениями стоимости, веса или объема. Действительно,возможно наличие определенных ограничений по стоимости, весу и объему (илисразу по нескольким факторам). Каким образом в этом случае можно достичь оптимального размещения резервных элементов в системе, т.е. добиться максималь120 ной надежности системы, не превышая некоторых допустимых значений стоимости, веса, объема и пр.?При рассмотрении вопроса оптимального резервирования ограничимся анализом последовательных систем.
Т.е. будем предполагать, что структурная схеманадежности системы представляет собой последовательность подсистем, а, следовательно, вся система работоспособна тогда и только тогда, когда работоспособны одновременно все ее подсистемы. Тогда задача оптимального резервированиявключает в себя следующие основные подзадачи:1. Выбор принципа включения резерва: нагруженный (резервные элементыактивно функционируют), разгруженный или же ненагруженный резерв (резервные элементы используются лишь для замены отказавшихся основных элементов,причем предполагается, что резервные элементы могут отказывать в ненагруженном режиме).2. Выбор такого размещения резервных элементов, которое обеспечиваетмаксимально возможную надежность системы при соблюдении требуемых ограничений (например, ограничения по стоимости, весу, объему и др., превышать которые не разрешается).
Разработаны различные подходы к решению этой задачи.Так, например, можно выбирать такое размещение резервных элементов для каждой подсистемы, чтобы каждое из них было бы в определенном смысле оптимальным. Такое семейство оптимальных размещений, хотя и продолжает включать в себя очень большое количество членов, все же очень резко сокращает общее количество возможных различных резервных элементов, которые должныбыть проанализированы для принятия решения.
При этом, производя выбор средичленов этого семейства оптимальных размещений резервных элементов, можнобыть полностью уверенным, что если только все возможные ресурсы хотя бы поодному из ограничений (по стоимости, весу, габаритам) полностью израсходованы, то при этом достигнуто максимально возможное значение показателя надежности при указанных ограничениях.121 Рассмотрим отдельные математические модели, которые будут нами исследоваться, а также алгоритмы для их реализации на ЭВМ и построения оптимальных размещений.Для выбора оптимального размещения резервных элементов для каждойподсистемы существует несколько алгоритмов, определяющих кратность резервирования каждого конкретного элемента, в зависимости от ограничений, наложенных на систему или модуль. Рассмотрим два основных направления алгоритмов для решения задачи оптимального резервирования:1.
Модифицированное динамическое программирование,2. Метод наискорейшего спуска.Сделаем предположение, что общий «вес» системы в целом определяется поформуле:W ( x1 ,..., x m )гдеmi 1Wi ( xi ),Wi ( xi ) - «вес» i-го участка системы при условии, что на нем имеется xi ре-зервных элементов.Кроме того, сам «вес» i-го участка системы определяется так:Wi ( xi )wi xiгде wi – «вес» одного резервного элемента, используемого на i-ом участке системы.При наличии одного ограничивающего фактора возможна постановка двухследующих задач оптимального резервирования:1.
Путем раздельного резервирования системы, состоящей из m участков,добиться того, чтобы показатель надежности (например, вероятность безотказнойработы) был не менее заданного P0 при минимально возможном «весе» системы вцелом. Это можно записать следующим образом:W ( x1 ,..., x m )P( x1 ,...x m )P0min .2. Путем раздельного резервирования системы, состоящей из m участков,добиться того, чтобы при максимально возможном показателе надежности P122 «вес» всей системы не превысил заданного значения W0.
Запишем это следующимобразом:P( x1 ,..., x m )W ( x1 ,...x m ) W0maxМ ОДИФИЦИРОВАННОЕ ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ( АЛГОРИТМ К ЕТТЕЛЯ )Обозначим за Q1k ( x k ) вероятность нехватки элементов k-го типа (k=1:s),обуславливающую отказ системы в целом, выразим вероятность нехватки элементов любого типа для системы в целом как:SQ1 ( x) 1[1 Q1k ( x k )] ( xx1 ...x s )k 1Алгоритм дает возможность упорядоченного перебора на границе допустимых значений, основываясь на принципе динамического программирования.Вводится понятие доминирующей (оптимальной) последовательности решений, для каждого из которой большего значения вероятности безотказной работы нельзя достичь при одинаковых или меньших дополнительных затратах навведение резерва.Процедура отыскания доминирующей последовательности для системы из sтипов элементов разбивается на (s-1) шагов.Пусть для каждого k-го (k=1:s) типа элементов набор возможных вариантовобразования резервной группы представляется так:TkQ1k 0 , W1k 0 ; Q1k 1 , W1k 1 ; ...
; Q1k x k , W1k x kНачав s-шаговый процесс с объединения, допустим, 1-й и 2-й резервныхгрупп, найдем возможные варианты решений:T12Q12 0,0 , W12 0,0 ; Q12 0,1 , W12 0,1 ; Q12 1,0 , W12 1,0 ,...используя при этом следующие соотношения:W12(ij )W1 jQ12(ij )W2i , i 1,2,...; j 1,2,...Q1 jQ2i123 Q1 j Q2iгде i – номер строки, j – номер графы в таблице вариантов.*, а опеОбозначим доминирующую последовательность решений через T 12рацию ее отыскания на множестве всех вариантов решений T12 символом D . Тогда для системы из s типов элементов можно записать:T1*D T1 ,..., T(*s )D(Ts ),T2*T(*12)D(T1T2 ),T2*T(*12)D(T(*1)T2 ),T3*T(*123)D(T(*12)T2 )D(T2*T3 ),...Ts* 1Ts*T(*1, 2,..., sT(*1, 2,..., s )1)D(T(*sD(T(*s1)2)Ts 1 ),Ts ),Причем приведенные рекуррентные соотношения соответствуют принципуоптимальности Беллмана для динамического программирования.Заметим, что операция D означает просто перебор на каждом из (s-1) шаговпроцесса с целью отыскания последовательности решений, обладающих свойствами оптимальности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
