Конспект лекций (1040918), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В системе с параллельнымсоединением число минимальных путей совпадает с числом элементов, и каждыйпуть включает один из них.РИС. 12. МОСТИКОВАЯ СИСТЕМАДля мостиковой системы из пяти элементов (Рис. 12) минимальных путейчетыре: (элементы 1 и 4), (2 и 5), (1, 3 и 5), (2, 3 и 4). Логическая схема такой системы представлена на Рис. 13. Затем для логической схемы составляется функцияалгебры логики A по общим правилам расчета вероятности безотказной работы(сохранение работоспособности элемента аi и системы А). Схема соответствуетутверждению: система работоспособна, если работоспособны элементы 1 и 4, или2 и 5, или 1,3 и 5, или 2,3 и 4. Функция алгебры логики запишется:A 1 (1 a1 a 4 )(1 a 2 a 5 )(1 a1 a 3 a 5 )(1 a 2 a 3 a 4 ) , а = {0,1}.РИС.
13. ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА МОСТИКОВОЙ СИСТЕМЫПО МЕТОДУ МИНИМАЛЬНЫХ ПУТЕЙ86 После преобразований и замены событий a их вероятностями р, получимуравнение для определения вероятности безотказной работы системы:Pp1 p 4p 2 p5p1 p 2 p 3 p 5p1 p 3 p 5p 2 p3 p 42 p1 p 2 p 4 p 5p1 p 2 p 3 p 4p 2 p3 p 4 p52 p1 p 2 p 3 p 4 p 5Метод минимальных путей дает точное значение только для сравнительнопростых систем с небольшим числом элементов.Метод разложения относительно особого элемента основан на известнойв математической логике теореме о разложении функции логики по любому аргументу.
Согласно ей, можно записать:Pp i P( p i1)0) ,q i P( p iгде pi и qi = 1– pi - вероятности безотказной работы и отказа i - го элемента, Р(pi =1) и Р(pi = 0) – вероятности работоспособного состояния системы при условии,что i -й элемент абсолютно надежен и что i - й элемент отказал соответственно. РИС. 15.
ПАРАЛЛЕЛЬНОПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ(P3=1)РИС. 14. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ(P3=0)Для данной мостиковой схемы (Рис. 12) в качестве особого элемента берется элемент 3. При р3 =1 мостиковая схема превращается в параллельнопоследовательное соединение (Рис. 15), а при р3 =0 – в последовательнопараллельное (Рис. 14).Для преобразованных схем можно записать:P( p31)1 (1P( p 3p 3 )(10) 1 (1Тогда получим:87 p2 )1 (1p1 p 4 )(1p 4 )(1p 2 p 5 ).p5 )Pp 3 1 (1p1 )(1p2 )1 (1p 4 )(1p5 )(1p 3 ) 1 (1p1 p 4 )(1p 2 p5 )Этим методом можно воспользоваться и при разложении относительно нескольких «особых» элементов.Метод минимальных сечений. Минимальным сечением называется наборнеработоспособных элементов, отказ которых приводит к отказу системы, а восстановление работоспособности любого из них – к восстановлению работоспособности системы.
Как и минимальных путей, минимальных сечений может бытьнесколько. Очевидно, система с параллельным соединением элементов имееттолько одно минимальное сечение, включающее все ее элементы (восстановлениелюбого восстановит работоспособность системы). В системе с последовательнымсоединением элементов число минимальных путей совпадает с числом элементов,и каждое сечение включает один из них.Логическая схема системы составляется таким образом, чтобы все элементыкаждого минимального сечения были соединены друг с другом параллельно, а всеминимальные сечения - последовательно. Аналогично методу минимальных путей, составляется функция алгебры логики. “Безотказная работа” логической системы заключается в “безотказной работе” всех последовательных участков, а каждого из них - в одновременном “отказе” всех параллельно включенных элементов.
Как видно, поскольку схема метода минимальных сечений формулирует условия отказа системы, в ней последовательное соединение соответствует логическому «ИЛИ», а параллельное – логическому «И».РИС. 16. ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА МОСТИКОВОЙ СИСТЕМЫПО МЕТОДУ МИНИМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ88 Схема Рис. 16 соответствует формулировке: система откажет, если откажутэлементы 1 и 2, или 4 и 5, или 1, 3 и 5, или 2, 3 и 4. Функция алгебры логики запишетсяA1 (1 a1 )(1 a 2 )1 (1 a 4 )(1 a 5 )1 (1 a1 )(1 a 3 )(1 a 5 )1 (1 a 2 )(1 a 3 )(1 a 4 ).Комбинированная система – эта система, часть элементов которой образу-ет последовательное соединение, другая часть – параллельное, отдельные ветвиэлементы или ветви структуры образуют мостиковые схемы или типа “m из n”.Для решения таких систем предварительно производят декомпозицию системы,разбив ее на простые подсистемы – группы элементов, методика расчета надежности которых известна.
Затем эти подсистемы в структурной схеме надежностизаменяются квазиэлементами с вероятностями безотказной работы, равными вычисленным вероятностям безотказной работы этих подсистем. Такую процедуруможно выполнить несколько раз, до тех пор, пока оставшиеся квазиэлементы необразуют структуру, методика расчета надежности которой известна.89 ЛЕКЦИЯ 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ( ЧАСТЬ4)НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, РАБОТАЮЩЕЙ В УСЛОВИЯХНАЛИЧИЯ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЯРассмотрим дискретно – непрерывный случайный процесс Маркова: Х =Х(t), где X принимает дискретные значения Xi, i=1,2, а время t изменяется непрерывно.Процесс функционирования ТС можно описать ступенчатой кривой вида(Рис.
17), т.е. состояние ТС X(t) может принимать только дискретные значенияX1 (ТС работает) и X2 (ТС не работает), причем смена этих значений (состояний) происходит в некоторые случайные моменты времени.ТС неработаетxX2ТСX1работаетtРИС. 17. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТСВ ВИДЕ СТУПЕНЧАТОЙ КРИВОЙВведем вероятности pi нахождения ТС в состоянии Xi (Рис. 18).поток отказа λ12ТСработаетX1p1p2X2ТС навосстановлениипоток восстановления λ21РИС. 18. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТС В ВИДЕ ГРАФА90 Уравнения Колмогорова - ЧепменаФормализуем функционирование системы в условиях наличия отказов ивосстановления, т.е. получим уравнения для вероятности p1(t+ t) нахождениясистемы в рабочем состоянии X1 в некоторый момент (t+ t) при условии, что впредшествующий момент t она находилась в состоянии X1 или X2 (см.
графическую интерпретацию на Рис. 19 и Рис. 20).XX2X1tt+Δttp1(t+Δt) – вероятность нахождения ТСв момент (t+Δt) в состоянии X1РИС. 19. ВЕРОЯТНОСТЬ P1(t+ t) НАХОЖДЕНИЯ СИСТЕМЫ В РАБОЧЕМ СОСТОЯНИИ X1В НЕКОТОРЫЙ МОМЕНТ (t+ t) ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО В ПРЕДШЕСТВУЮЩИЙ МОМЕНТ TОНА НАХОДИЛАСЬ В СОСТОЯНИИ X1 ИЛИ X2p1(t+Δt) – вероятность нахождения ТСв момент (t+Δt) в состоянии X1X2XXX2ИЛИ X1X1ttt+Δttt+Δttp(B)p(C)p1(t+Δt) = p(В) + p(С)«1»«2»РИС. 20.
СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВЕРОЯТНОСТИ P1(t+ t)91 Вычислим по отдельности составляющие вероятности p1(t+ t) (т.е. вероятностей событий: p(В) и p(С)). Вычисление вероятности события B представленона Рис. 21 и Рис. 22.Теоремаумножения«1»:X2p(B) = p (В1Поток отказов –по закону ПуассонаВ2) = p1(t) p (B2 / B1) = p1(t) [1 «3»12(t*)t + 0( t)].XX X2ИX1X1tttt+Δtt+ΔttВ потоках отказов не былоРИС. 21. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ P(B)Вероятность p(B2/B1) («3»), т.е. вероятность нахождения системы в моментвремени (t+∆t) в состоянии X1 (это событие условно обозначили B2) при условии,что в предыдущий момент времени t система находилась в состоянии X1 (событиеB1).
Эта условная вероятность подразумевает, что в потоке отказов не было. Отдельное вычисление p(B2/B1) представлено на Рис. 22.tmt12«3»: p(B2/B1)=t dtttttt dttem!=t1 e12t dt=tЗакон Пуассона в общем виде(т.к. отказов не было => m=0)При условии выполненият.к.
∆t – мало =>закона Пуассона для потока отказараскладываем в рядt tТейлора по степеням ∆t = e12 t*dtt = e12 t*t = 112t*РИС. 22. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ P(B2/B1)92 По теореме о среднем tt Теперь вычислим вероятность p(C) (условно обозначенную «2») нахождения системы в момент времени (t+∆t) в состоянии X1 при условии, что в предыдущий момент времени t система находилась в состоянии X2 (событие C2), а такжепри условии, что в последующий момент времени отказ невозможен (событие C3).Графически «2» представлено на Рис. 23.«2»: p(C) = p(C1 C2 C3) = XX2X1tt+ΔttXX2X2X1t tXX2X1tC1X1tt+ΔtXttt+Δtt+ΔtC2Событие перехода изсостояния X2 в состояние X1В момент t ТС находится в состоянии X2 отказаC3Невозможен отказ(поток отказа = 0)= p(C1) p(C2/C1) p(C3/C2, C1)p2(t)«5 »«4 »РИС. 23.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ P(C)Вспомогательные условные вероятности p(C2/C1) и p(C3/C2, C1) также вычислимпо отдельности (см. Рис. 24).t21«4 »:p(C2/C1) = m=1, т.е. один разпроходим восстановлениеmtt dttm!tet21t dtt = … = Поток восстановления- по закону Пуассонаm 1λ21(t*) t [1- λ21 (t* t+«5»: p(C3/C2, C1) = … 1 - λ21(t*)+λ21(t*) t+tt РИС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
