Конспект лекций (1040918), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Fi(t) независит от i);f1(t) – плотность распределения наработки до первого отказа (для альтернирующего случайного процесса f1(t) = f2(t) = …= fi(t) = f(t), т.е. fi(t) не зависит от i);n(t) – число отказавших объектов к моменту t;N(t) – число работоспособных объектов к моменту t;∆n(t,t’) – число объектов, отказавших в интервале времени [t, t’];∆Nср(t,t’) = ½ (N(t)+N(t’)) – среднее число исправно работающих объектов винтервале времени [t, t’];ξ1 – случайная наработка объекта до первого отказа;ξ1(i) – реализация случайной величины ξ1 для i-го объекта.З а м е ч а н и е . С учетом введенных обозначений статистическая оценкаплотности распределения наработки до отказа (т.е.
плотности вероятности возникновения отказа к моменту t или плотности вероятности того, что наработка доотказа окажется меньше t):fˆ (t )n t47 tt,t22t N ( 0).Показатели безотказностиВероятность безотказная работы - вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет.Вероятность безотказной работы определяется в предположении, что в начальный момент времени (момент начала исчисления наработки) объект находился в работоспособном состоянии. Возникновение первого отказа – случайное событие, а наработка ξ1 от начального момента до возникновения этого события случайная величина. Вероятность безотказной работы Р(t) объекта в интервале от0 до t включительно определяют какP (t )P(1)t.1Здесь Р{ } – вероятность события, заключенного в скобках.
Вероятность безотказной работы Р(t) является функцией наработки t. Обычно эту функцию предполагают непрерывной и дифференцируемой.Если способность объекта выполнять заданные функции характеризуетсяодним параметром v, то вместо (1) имеем формулуPtP v* t1v t1v** t1 ; 0 t1t ,(2)где v* и v**- предельные по условиям работоспособности значения параметров (этизначения, вообще, могут изменяться во времени).Аналогично вводят вероятность безотказной работы в более общем случае,когда состояние объекта характеризуется набором параметров с допустимой поусловиям работоспособности областью значений этих параметров.Вероятность безотказной работы Р(t) связана с функцией распределения F(t)и плотностью распределения f(t) наработки до отказа:Ft1 Pt; f tdF tdtdP t.dt(3)Наряду с понятием "вероятность безотказной работы" часто используют понятие "вероятность отказа", которое определяется следующим образом: это вероятность того, что объект откажет хотя бы один раз в течение заданной наработ48 ки, будучи работоспособным в начальный момент времени.
Вероятность отказа наотрезке от 0 до t определяют по формулеQtFt .1 Pt(4)Точечные статистические оценки для вероятности безотказной работы P̂ tот 0 до t и для функции распределения наработки до отказа F̂ t даются формулами:Pˆ t1nt; Fˆ tN0nt,N0(5)Для получения достоверных оценок объем выборки N(0) должен быть достаточновелик.Определение безотказной работы в соответствии с формулами (1) и (2) относится к объектам, которые должны функционировать в течение некоторого конечного отрезка времени. Для объектов одноразового (дискретного) применениявероятность безотказной работы определяют как вероятность того, что при срабатывании объекта отказ не возникает. Аналогично вводят вероятность безотказного включения (например, в рабочий режим из режима ожидания).П р и м е р 1 .
На испытание поставлено 1000 однотипных электронныхламп. За 3000 час отказало 80 ламп. Определить вероятность безотказной работыи вероятность отказа электронных ламп в течение 3000 час.►Вероятность безотказной работы в интервале [0,3000], т.е. в течение 3000час:Pˆ 30001n 3000N018010000,92;Вероятность отказа в течение 3000 час:Qˆ 30001 Pˆ 30001 0,92 0,08 .◄Гамма-процентная наработка до отказа - наработка, в течение которойотказ объекта не возникнет с вероятностью , выраженной в процентах.49 Показатель "Гамма-процентная наработка до отказа" (а также введенныедалее термины "Гамма-процентный ресурс", "Гамма-процентный срок службы","Гамма-процентное время восстановления", "Гамма-процентный срок сохраняемости") определяют как корни t уравненияFt1100,(6)где F(t) - функция распределения наработки до отказа (ресурса, срока службы).В частности, гамма-процентную наработку до отказа t определяют из уравненияPt100где P(t)-вероятность безотказной работы.Как видно из формулы (6), гамма-процентные показатели равны квантилямсоответствующих распределений.
Если вероятности, отвечающие этим квантилям, выражают в процентах, то для показателей безотказности обычно задаютзначения 90; 95; 99; 99,5% и т. д. Тогда вероятность возникновения отказа на отрезке [0; t] будет составлять 0,10; 0,05; 0,01; 0,005 и т. д. Задаваемые значениядля критических отказов должны быть весьма близки к 100%, чтобы сделать критические отказы практически невозможными событиями.
Для прогнозированияпотребности в запасных частях, ремонтных мощностях, а также для расчета пополнения и обновления парков машин, приборов и установок могут потребоваться гамма-процентные показатели при более низких значениях , например при =50%, что приближенно соответствует средним значениям.Статистические оценки для гамма-процентных показателей могут быть получены на основе статистических оценок либо непосредственно, либо после аппроксимации эмпирических функций подходящими аналитическими распределениями. Необходимо иметь в виду, что экстраполирование эмпирических результатов за пределы продолжительности испытаний (наблюдений) без привлечения до-50 полнительной информации о физической природе отказов может привести к значительным ошибкам.Интенсивность отказов - условная плотность вероятности возникновенияотказа объекта к моменту t, определяемая при условии, что до рассматриваемогомомента времени отказ не возник.Интенсивность отказов (t) определяют по формулеf t1 Ftt1 dP tP t dtf t.Pt(7)Для высоконадежных систем Р(t) 1, так что интенсивность отказов приближенно равна плотности распределения наработки до отказа.Существует следующая связь между λ(t) и P(t).
Проинтегрируем левую иправую часть формулы (7), для чего произведем следующие действия с формулой(7):1 dP tP t dtУмножим левую и правую часть на dt:t1 dP tdtP t dtпроинтегрируем левую и правую часть:t dttt1dP tPt0t dt0интегрируем правую часть:tdln P t0с учетом того, что P(0)=1, имеем:tdln P t0откуда получаем:51 t0,tdPte.0Статистическая оценка для интенсивности отказов ˆ t имеет видt,t2n tˆ tt2N ttt2n tt2N tt N срtt,t22,tt,tt22(8)2или:ˆ tn t, ttN t N tt2t2n t, ttt N ср t , tttАналогично вводится интенсивность восстановления.Средняя наработка до отказа - математическое ожидание наработки объ-екта до первого отказа.Показатель "Средняя наработка до отказа" (а также показатели "Средний ресурс", "Средний срок службы", "Среднее время восстановления", "Средний сроксохраняемости", которые будут введены ниже) равны математическим ожиданиям соответствующих случайных величин, наработки до отказа, ресурса, срокаслужбы, времени восстановления, срока сохраняемости.Среднюю наработку до отказа Т1 вычисляют по формулеtf t dt ,T10С учетом, чтоf tdF tdtdQ tdtdP t,dtПолучаеминтегрируемпо частямT1tf t dttP t dtudut dvP t dtdtPt52 vt 0tP t |P t dtP0 10Pt 0tP t |0P t dtP t dt00Статистическая оценка для средней наработки до отказа дается формулойTˆ11N 0N 0.j1(9)j 1Формула (9) соответствует плану испытаний, при котором все объекты испытываются до отказа.П р и м е р 2 .
Пусть на испытании находилось N(0) = 1000 образцов некоторой невосстанавливаемой аппаратуры и отказы фиксировались через каждые100 час работы. Требуется построить зависимости P(t), f(t) и λ(t) в интервале времени, равном 3000 час, если число отказов Δn за время Δt = 100 час было распределено так, как показано в Таблица 3.ТАБЛИЦА 3ti ,часni,штукnt1N 0Pˆ tfˆ (tn t, ttt N ( 0)t)2,ˆ t1/часˆ 50010050Pˆ 10015010000,950fˆ (50 )50100 10000,50 1010020040Pˆ 15019010000,910fˆ (150 )40100 10000, 40 103ˆ 15020030032Pˆ 250112210000,878fˆ ( 250 )32100 10000,32 103ˆ 25030040025Pˆ 350114710000,853fˆ (350 )25100 10000,25 103ˆ 35040050020Pˆ 450116710000,833fˆ ( 450 )20100 10000,20 103ˆ 45050060017Pˆ 550118410000,816fˆ (550 )17100 10000,17 103ˆ 55060070016Pˆ 650120010000,800fˆ ( 650 )16100 10000,16 103ˆ 65053 3t2n t, ttNt Ntt21/час501000 950100240950 910100232910 878100225878 853100220853 833100217833 816100216816 8001002,t0,514 1030,430 1030,358 1030,289 1030,238 1030,206 1030,198 10316Pˆ 750121610000,784fˆ ( 750 )16100 10000,16 103ˆ 75080090015Pˆ 850123110000,769fˆ (850 )15100 10000,15 103ˆ 850900100014Pˆ 95012450,7551000fˆ (950 )14100 10000,14 103ˆ 9501000110015Pˆ 1050126010000,740fˆ (1050 )15100 10000,15 103ˆ 10501100120014Pˆ 1150127410000,726fˆ (1150 )14100 10000,14 103ˆ 11501200130014Pˆ 1250128810000,712fˆ (1250 )14100 10000,14 103ˆ 12501300140013Pˆ 1350130110000,699fˆ (1350 )13100 10000,13 103ˆ 13501400150014Pˆ 1450131510000,685fˆ (1450 )14100 10000,14 103ˆ 14501500160013Pˆ 1550132810000,672fˆ (1550 )13100 10000,13 103ˆ 15501600170013Pˆ 1650134110000,659fˆ (1650 )13100 10000,13 103ˆ 16501700180013Pˆ 1750135410000,646fˆ (1750 )13100 10000,13 103ˆ 17501800190014Pˆ 1850136810000,632fˆ (1850 )14100 10000,14 103ˆ 18501900200012Pˆ 1950138010000,620fˆ (1950 )12100 10000,12 103ˆ 19502000210012Pˆ 2050139210000,608fˆ ( 2050 )12100 10000,12 103ˆ 20502100220013Pˆ 2150140510000,595fˆ ( 2150 )13100 10000,13 103ˆ 21502200230012Pˆ 2250141710000,583fˆ ( 2250 )12100 10000,12 103ˆ 22502300240013Pˆ 2350143010000,570fˆ ( 2350 )13100 10000,13 103ˆ 235070080054 16800 784100215784 769100214769 755100215755 740100214740 726100214726 712100213712 699100214699 685100213685 672100213672 659100213659 646100214646 632100212632 620100212620 608100213608 595100212595 583100213583 57010020,202 1030,193 1030,184 1030,200 1030,191 1030,195 1030,184 1030,202 1030,192 1030,195 1030,200 1030,220 1030,192 1030,195 1030,217 1030,204 1030,225 10314Pˆ 2450144410000,556fˆ ( 2450 )14100 10000,14 103ˆ 24502500260016Pˆ 2550146010000,540fˆ ( 2550 )16100 10000,16 103ˆ 25502600270020Pˆ 2650148010000,520fˆ ( 2650 )20100 10000,20 103ˆ 265027002800150510000,495fˆ ( 2750 )25100 10000,25 10325Pˆ 27502800290030Pˆ 2850153510000,465fˆ ( 2850 )30100 10000,30 10329003000Pˆ 2950157510000,425fˆ ( 2950 )40100 10000,40 1034024002500ˆ 2750ˆ 2850ˆ 2950140,248 10570 5561002160,290 10556 5401002200,376 10540 5201002250,490 10520 4951002300,624 10495 4651002400,900 10465 4251002333333►Значения плотности распределения наработки до первого отказа приведены также в таблице.
По данным этой таблицы построена зависимость P̂ t , которая приведена на Рис. 8. Из Рис. 8 видно, что кривая P̂ t имеет ступенчатый характер. Для получения вероятностей безотказной работы ступенчатую кривуюследует заменить гладкой кривой, устремляя Δt к нулю и располагая точки посередине каждого из участков Δt. Полученная при этом пунктирная кривая будетблизка к вероятности безотказной работы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
