К. Дёрффель - Статистика в аналитической химии (1994) (1037704), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Прм исследованиях получилось несколько более высокое змачемне в = Ф, 024% Сг при 7 = 6 степенях свободы. Надо выяснить, не повысилась лм в сомам деле случайная ошибка. Па неравенству 17.3а) прн хг(Р = О, 95; 7" = 6) = 12, 6 получается 0 024г 12,6 0,017г ' 6 =1,99< — '=2,10 Следовательно, мет никаких оснований отбрасывать гипотезу вг ж во. Поэтому нельзя г г утверждать, что имеет место реальное завышение случайной ошибки. 7.3. Сравнение нескольких стандартных отклонений (Критерий Бартлетта) Пусть получено гп различных независимых друг от друга оценок стандартных отклонений вмвг...в с ум 79...7" степенями свободы соответственно, При этом предполагают, что число степеней свободы каждой оценки больше двух.
Надо выясмить, можно ли интерпретировать различия между гл отдельными стаидартмыми отклонениями как чисто случайные, т. е. можно ли отнести их к генеральной совокупкости с нормальным распределением и единым стамдартмым отклонением в. Проверяемая 1параметрическая) гипотеза, следовательно такова: кг = вгг =... вг = аг 120 Глава 7. Статистические методы проверки гипотез [7.3) Стандартные отклонения объемного газового определения углерода были иаймеиы для четырех проб сплавов с близким содержанием углерода, но различным сос тавом. Надо выяснить, есть ли между ними различия.
Про- Содержа- Стандартное бь иие, 91 отклонение, тл С Степени свободы Тип легировьиия Сг 1,4й 611,274, Сг 1,2 76 Ферромьрглнец Нелегировьннья сталь 24 32 1,03 0,005 й С 1,23 0,007 74 С 1,30 0,010 76 С 1,38 0,00836 С 28 32 Стандартное отклонение преобразуют по формуле бл = 1000лл для получения целых лысел и подставляют в уравнение (7.4), иольэуясь следующей схемой: $ Я Хз Х~Я 18~ 6188,' 5 25 24 600 1,397 9 33,5496 7 49 32 1 568 1,6902 54,086 4 10 100 28 2 800 2,000 О 56,000 О 8 64 32 2 048 1,8062 57,798 4 116 7016 201,4344 = — = 60,48 л 7016 116 По Вартлетту [б] для проверки этой гипотезы используют выражение, приближенно распределенное как хз: Х = 2,808(У 1ал' — 'Я / 1пл,) (7.4) Здесь /л — обшее число степеней свободы, л — стандартное отклонение из уравнения (б 1), /, — число степеней свободы 3'-й оценки (/, > 2), лз — стандартное отклонение /-й оценки Найденная таким образом величина 767 сравнивается с процентной точкой хи-квадрат-распределения Хт(Р,/) (табл.
А.4). Если есть гп серий измерений, то число степеней свободы для 47(Р, /) берется равным / = т — 1. Проверяемая гипотеза отбрасывается с ошибкой первого рода 100а% = 100(1 — Р)%, если 3~~ > 76~(Р, /). Это значит, что некоторые из имеюшихся оценок л- принадлежат. генеральным совокупностям, дисперсии которых пз больше, чем пз. Значение из уравнения (7.4) всегда несколько завышено, и если оно лишь ненамного превышает хз(Р, /), то х- корректируют по формуле х*' = х'/С (7.4а) н сравнивают снова.
А константу С получают из выражения С= [ ( /Л)) // +1 8(гп — 1) И только когда ~"7 > уз(Р, /), различия между некоторыми стаидартнымн отклонениями рассматривают как значимые. 121 7.4. сравнение двух средних (1-критерий) 163 =1 7616 116 16 5 = 206, 6656 х = 2, 303(206, 6656 — 201, 4344) = 12, 0475 По табл. А 4 для у = т-1 = 3 степеней свободы находим Х~(Р = О, 99; у = 3) = 11, 3. Так как вычисленное значение х лишь немного превышает табличное, приходится 2 скорректировать Х'~ и повторить проверку. ' Константа С получается из уравнения (7.5): 141~1111 21 22 2а 12 116 ) 1 1 0146 З(4 — 1) Отсюда по уравнению (7.4а) имеем .2 12, 0475 Х = = 11,6740 11,87 1, 0146 Проверка с х' ничего ие изменила в первоначальном результате; между четырьмя стандартными отклонениями существует какое-то значимое различие.
Возникает подозрение, что это различие вызвано типом легирования пробы ферромарганца (проба 3) с более высоким стандартным отклонением зз = О, 010%С. Поэтому снова повторяем пгооверку, но уже без стандартного отклонения зз. При этом получается Хг = 5, 63 при Х (Р = О, 95; у = 2) = 5, 99. Теперь между тремя стандартными отклонениями 21, зз и 21 не обнаруживается никакого различия 1) 7.4. Сравнение двух средних (з-критерий) Пусть даны два средних В1 и хг, которые получены из двух независимых друг от друга серий с п, и пг измерениями.
Средние слегка различаются. Надо проверить, можно ли объяснить это различие только случайной ошибкой, т.е. принадлежат ли оба средних нормально распределенной генеральной совокупности с одним н тем же средним )2. Значит, проверяется гипотеза для данного параметрического критерия: )21 = )22 = )2. Перед ее проверкой надо выяснить, нет ли разницы между стандартными отклонениями обеих серий 21 и Зг (пО Р- критерию, см. равд. 7.2).
Если значимое различие между 21 и вг не обнаруживается, то сначала по закону сложения ошибок находят стандартное отклонение для разности двух средних из пг и пг измерений. Уравнения (4.3а) и (3.4) дают ва'1-22 П1+ Пг п1п2 згЛ + 82Ь Г) + пг Л+Ь п1п2 ш 1) Критерий Бартлетта очень чувствителен к нарушению нормальности, что требует большой осторожности при работе с ним.
(Из примеч. Рел. 1-то издании — В. В. Налимова.) Кроме т'11'1' данный пример не совсем удачен, поскольку, отбросив вместо третьей первую пробу а"тоР вероятно, тоже получил бы однородные ошибки. — Прим. рей 122 Глава Т. Ствтнстпческпе методы проверки гппотез В соответствии с уравнением (5.1) можно теперь записать ~~~ + пг Ввг-Иг — б ~/ п,, (7.6) (7.7) Вычисленную по уравнению (7.7) величину сравпивают с процентной точкой 1-распределеиия 1(Р,/) (табл. А.З, с. 244). Проверяемую гипотезу /гг —— /гз = /г кадо отбросить с ошибкой первого рода 100а = 100(1 — Р)%о, если 3 ) 1(Р, /).
Между обоими средними кд и кг в таком случае проявляется значимое различие. Разность между обоими средними считается незпачимой, если 4 ( 4(Р, З). Критерий $ можно сделать более чувствительным, если для случайной ошибки взять значение е', полученное из предыдуших измерений, с большим числом степеней свободы /*. Конечно, зто значение з' должно сохранять строгую зквивалентность, т.е. оио должно быть получено из одной и той же партии проб, одним и тем же аналитическим методом и в одинаковых условиях проведения эксперимента.
Уравнение (7.7) тогда принимает следующий вид: «тг — кг«пгпг з* г«/ пг+ кг (7.8) И сравнение проводится с 1(Р, /'). «7.4) Сравпеппе двух сериЯ аивлпзов по определению мопостпрола: 1) О, 49/О, 45/О, 45% тг = 0,453%; , =о,огз% 2) О, 52/О, 55/О, 50/О, 52% Уг = О, 523%; вг = О, 021% приводит к Р = (О, 023/О, 021) = 1, 20 < Р(Р = О, 95; /г = 2; /г = 3) тв 9, 55 Позтому вычисляем = 0,022 с / = 5 стеденпма свободы к «О, 463 — О, 523« / 3 4 0,022 9/ 3+ 4 Поскольку М(Р = 0,99;/ = 5) = 4,03, в рамках трех прпведепных правил нельзя вызвать никакой разикам. Если гке воспользоватьсп зиачеппем в' = О, 0292% длп мокостнрола, получеппым пз предыдущих пзмереипй прп / = 10 степенях свободы, то с / = пг + пг — 2 степенями свободы.
Разности «хг — х㫠— случайные величины, и при малом числе измереиий (как обычно бывает) они следуют браспределению (см. равд. 3,3.1). Для оценки вероятности появления конкретного значения «кг — кг«зту величину нормируют делением на вв, в„что дает 7.4. ~равпепде двух средних (1-критерий) 123 (7.10) [7.5] дэе рабочие группы методом микроаналиэа определяли содержание азота в одном органическом соединении (пипхонипе). Были получены следующие эначеиид (в % М): Группа 1: 9,29 9,38 9,35 9,43 Ув = 9,362; вв = 0,05в Группа 2: 9,53 9,48 9,61 9,68 хг = 9,578, .12 = О, 088 вместо 1 = 3, 92 получим 1(Р = О, 99;/ = 10) ж 3, 17. Простое использование уже имеющейся информации приводит к тому, что критерий обнаруживает значимую разинцу.
(Проверку можно было бы уточнить объединением в' и 8 по правилу вг„„= /*в'г+/82.) Решение о том, можно ли использовать измерения, полученные из предыдущих экспериментов, принимается на основании одних только логических заключений. При более детальном рассмотрении всего, что относитси к веществу, а также методических ограничений во многих случаях даже при очень малых сериях измерений можно добиться достаточно хороших результатов для принятия решении. Когда пг = пг — — и, уравнение (7.7) упрощается до ]-* --"[ Г 8 )/2 с / = 2(и — 1) (степенями свободы). Если при сравнении 81 и эг Р-критерий демонстрирует значимое различие, то можно испольэовать приведенное Уэлчем [3, 13] приближение, которое преобразует уравнение (7.7)к виду; [х — х [ (82/иг) + (82/пг) Число степеней свободы получается из выражения в = [(81/пг) + (эг/иг)] / ~ + 2 2 2 (81/и1) (82/112) (7.11) иг —.1 ~ При этом / округляют до целого числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
