К. Дёрффель - Статистика в аналитической химии (1994) (1037704), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Прямая, проходящая через эти точки, должна почти совпадать с построенной Ранее сглаживающей прямой. (3 4) Сто раз счетчиком измерили число импульсов источника о-лучей. Прп построения функции распределения получилксь следующие частоты отдельпых классов (в%): 3.2. Раслределеиие Пуассона И % М ление . 40 ЭО "Э 4 Э Э "1 О Э Э Э 4 Э 37нэ ээт» эээо Число импульсов я Рис. 3.13. Проверка распределения Пуассона на вероятностной бумаге, Рис. 3.14, Ьрасяределение для Э = 1 (-"--"-) и Э' = 5 (- - - -), а также нормальное распределение ( ), Верняки граница класса е, Частота,% (импульсы) Накопленная частота У, % Пары значений (х„К) расяределения накопленных частот наносим на вероятностную бумагу и строим сглаживающую прямую (рис. 3.13).
Среднее арифметическое, полученное яо ста результатам по уравнению (2.1), равно х = 3958 нмнульсов. ТепеРь, пользуясь уравнением (3.15), получаем точки Рэ и Рэ для теоретического раскределения. Значения их абсцисс равны х = 3958 — ч'3958 = 3895 и хт = 3958+ ч'3958 ю 4021, а соответствующие значения ординат К = 15, 9% и Ут = 84, 1%. Прямая, лроведенная через точки Р1 и Рю почти совладает со сглаживающей прямой, Позтому можно допустить распределение Пуассона.
Если из графической проверки нельзя сделать достаточно точного вывода, то пользуются описанным ниже математическим способом проверки (см, разя 7 8). 3810 3850 3890 3930 3970 4010 4050 4090 4130 4170 5 7 Я 23 24 19 8 3 1 1 12 21 44 68 87 Я5 98 99 100 60 Глава 3. Георегичесиие расяределелия Рис. 3.15. Пределы интегрирования г(Р, г ) Ьрасиределения в зависимости от степеней свободы у. 3.3. Специальные распределения 3.3.1. 1-распределение Описанное в равд.
3.1 нормальное распределение годится только для очень большого числа измерений. При малом числе измерений плотность Распределения может более или менее отклоняться от нормальной. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется специально приспособленным симметричным 1-распределением. Абсциссы максимумов частот гауссова и Г-распределения совпадают. Однако в отличие от нормального распределения высота и ширина кривых нормированного г-распределения зависят от степеней свободы г' соответствующего стандартного отклонения. Чем меньше число степеней свободы, тем более пологий ход имеет кривая при одном и том же стандартном отклонении (рис. 3.14). При у — со 1-распределение переходит в нормальное РаспРеделение.
В соответствии с таким ходом кривой в зависимости от степеней свободы г' пределы интегрирования при заданной вероятности Р тем дальше удаляются от среднего, чем меньше число степеней свободы г'. Так для Р = 0,95 значение и может больше и не лежать в области р — 1, 96з...р + 1, 96к Этот интервал становится тем шире, чем меньше измерений было проведено (рис. 3.15). Пределы интегрирования праспределения в зависимости от вероятности Р и степеней свободы 1 для нормированного при з = 1 ра~пределения приведены в табл.
А.3 (с. 244). 3.3.2. Р'-распределение Пз нормально Распределенной генеральной совокупности взяли две выборки объемом пг и пг, полагая, что этого вполне достаточно. Подсчитали дисперсии зг и г г зг со степенями свободы ~г — — п1 — 1 и 1г = пг — 1 и составили отношение: = 61/зг (г > 1, т.
е. зг~ всегда должна быть большей дисперсией). 61 З.З. Спецяальные распределеавл 10 7хо/ Ъ О, ОБ 04 02 0 1 2 У г— 1 Ю Н Ю Н 30 Х Рис. 3.17. х~-расцределенне для / = 2, / = 4 н / = 10 степеней свободы. Рис. 3.10. Г-распределение для (/г = 10;/г = 4) н (/г = 10; Уг = 50) степеней свободы Кривая распределения для всех возможных значений Е проходит — как отношение двух квадратов — только в первом квадранте между Г = 0 и Е = со (рис.
3.16). Эти кривые обладают обратной симметрией, когда Р заменяется на 1/Е и одновременно /г заменяется на /г. При интегрировании функции распределения в пределах 0... Гр(Ер < оо) получают Р— часть всей площади под кривой. Она соответствует вероятности того, что найденное значение Г = а~г/а~~ лежит между 0 и Гр. Эти пределы интегрирования Р(Р;Л;/г) для Р = 0,95 и Р = О, 99 в зависимости от числа степеней свободы /т и /г даны в табл. А.5 (с. 246).
Интерполяцию отсутствующих значений проводят в области за /т — — 24 и /г = 120, при этом Г задают как функцию 1// (см, пример [7.1)). 3.3.3. )(~-распределение Пусть дано и независимых случайных величин хг, хг... я», При их нормальном распределении можно получить случайную величину с числом степеней свободы / = и — 1. Функция ра~пределения для ~г располагается в первом квадранте в диапазоне от йг = 0 до 11г = оо.
Ее вид в сильной степени зависит от числа степеней свободы / (рис. 3.17). Для малого числа степеней свободы кривая резко асимметрична, с ростом / асимметрия уменьшается, а при большом числе степеней свободы получается гауссова кривая с р ) О. Интегрирование функции распределения в пределах от 0 до уг (юг ( оо) дает часть Р общей площади под кривой. Эта часть соответствует вероятности того, что значение т г полученное из 1 взаимно независимых наблюдений, попадает в интервал О... Хг для практического использования пределы интегрирования 11~-распраделения 11~(Р,/) для Р = О, 95 и Р = 0,99 в зависимости от чисел степеней свободы приведены в табл.
А 4. (с, 245). Глава 3. Теоретические расврсделеввя 62 у'1=1 7'= оз 1=и у' = 1 л2= и2 р,е 2 х >15 Ркс. 3.18. Связь между отдельными теоретическими распределениями. 3 4. Связь между отдельными распределениями На пеРвый взгляд может показаться, что все рассмотренные здесь теоретические Р~спределения абсолютно различны и не взаимосвязаны. Однако то, что это не так, уже показано ранее разными способами. Так, например, было установлено (см. с.
57), что распределение Пуассона становится близким к нормальному, когда выполняется условие х > 16. далее было показано, что Ьраспределение также переходит в гауссово при Т" - оо. Подобные связи существуют также и между другими рассмотренными распределениями, они схематично представлены на Рис. 3.18.
известно, что специальные распределения (1, е,хз) представляют собой частные случаи гауссова распределения для определенно поставленной задачи и при ограниченном числе степеней свободы. Лмтерагура 63 Литература 1. С!ансер !т, Х. Ягаявнса1 МетЬо4в тп СЬеписа1 Апа1умв. — Катите (Рапв), 159 (1947) 4036, 339, 340. 2. ЕЛг!тсЛ С,, СегЬатвсЛ Н., уаетьсЛ К., ЯсЛо!ге Н.
Хит Сепии!фшг ьрейттв1апа!уг!всьег Вритепьевнпцпипйеп. Час!тай аМ т!епт 1Х. Со!1. Яресгговс. 1вт. 1,уоп 1961. 3. Сеете! А. С. Гтетгиепсу Рйыпьийоп о1 5ресггойгарЬ!с етгог гв гЬе РС Ехспаиоп о1 5о!! 5агпр!ев.-Аимга1. 1. Арр!. Яс!., 7 (1956) 2, 133, 141. 4. ЯсЛ!есЛт Н. Рег Еи!а!!ь!еЫег етпег сЬепивсЬеп Ава1уве.
СопрАЬиИовв го СеосЬепиьгту, Сео1. 5итчеу Ви11, 992. Дополнительная литература Сгееп Ь. Н., Магдепьоп Р. Вгат!ьт!са! Тгеагптевт о1 Ехрептпепга! Рата. Атпьгеп!апт: Е1ьечтет Ястепнйс РиЫ. Соптр., 1977. НтгьсЛ Н. Г. Ятанвйсь. РЬ!!ат!е!рЬ!а: ТЬе ГгапЫтп 1пвгните Ргеьь, 1978, Ноад Я., ЗсЛи!ге С. 5таньпьсЬе Аивнегтипй ава1утысЬег Ратеп;о.апаЬСЬеы., 304(1980) 250/254 Р!асЛЛу О., ВаппдЛаиь Ь., ЯсЛтпиг У. Ягосьгат!Ь 1.
%!еььат!еп: АЬвт!епь Чег!айьйеь. 1978. ЮсЛе1)7ег Е. ЕтпЕиЬгивй !и Аег Ртахть т!ег втатыивсЬев ЧегьисЬьр!апипй. Ьетрпйт РеиысЬег Чег!ай 75г Сгипт!ьто!йпдиьгт!е, 1974. ЯсЛаттт(т Нт. ЬеЬгргойтатпги 5тат!ьт!Ь. ЪЧе!пье!пт: С!тепие-РЬуо!т-Чег!ай, 1976. Смирное А,,Уунин-Борковские В. Краткий курс математической статмстмкм для техннческмх прмложенвй. — Мс Фвзматгнз, 1959. Я!агат Н. %аЬгьс!те!и!!сЬЬе!тьгесьпивй, тпатЬетпагтвсЬе Ятатыгтй ипт! ьгатнпвсье !гиа1!тагьйоптго11е. 5. Аий. Ье!рг!8: ГасЬЬисьчет!ай, 1974.
Есть русский перевод: Шторм Р. Теормя вероятностей. Математмческвл статмстмка. Статистический контроль качества. — Мс Ммр, 1970. И'еЬег Е. Стипт!т!вв т!ег Ьго!оейвсЬеп 5татыттй !иг !7агигинььепвсЬа!т!ет, Ьапт!м!гте ипт1 Мет!!г!пег. 7. Аий. 1епа: Сивтач Г!ьсЬег Чег!ай, 1972. Р!Н 55350, Тет! 12; Вейг!тте т!ет (гиа!!татаа!сьегивй ипт! Ягьг!ьг!Ь вЂ” Мегйтпа!Ьегойепе Вейг!йе.
4 Закон сложения ошибок Случайная ошибка метода анализа чаще всего складывается из нескольких частных ошибок. Для минимизации общей ошибки анализа надо найти оптимальные условия измерения. Этому способствуют законы сложения ошибок. Рассмотрение ошибок такого рода прежде всего сосредоточивается на возникающих ошибках измерений.
Поэтому рассмотрение таких ошибок лишь в исключительных случаях может дать некоторые представления о точности аналитического метода, так как ошибки измерений обычно гораздо меньше, чем случайные колебания, например хода химических реакций. Тем не менее метод анализа может полностью проявить свои возможности только в том случае, когда ошибки измерений сведены к минимуму. Ниже описывается действие закона сложения ошибок при поиске наилучших условий измерения для нескольких типичных методов аналитической химии. 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
