Стентон Гланц - Медико-биологическая статистика (1034784), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Разложение вариации и числа степеней свободы при дисперсионноманализе.Таблица 9.3. Таблица дисперсионного анализа для экспериментас 4 диетамиЧисло степенейВариация свободыДисперсияМежгрупповая0,68530,228Внутригрупповая 3,825240,159Общая4,5127F=Sмеж ν меж 0,228== 1,4Sвну ν вну 0,159304ГЛАВА 9Рис. 9.5. Разложение вариации и числа степеней свободы при дисперсионном анализеповторных измерений.АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ305Оба разложения изображены на рис. 9.4. Перечисленные величины обычно включают в таблицы дисперсионного анализанаподобие табл. 9.3.Теперь, наконец, мы располагаем средствами, необходимыми в дисперсионном анализе повторных измерений.ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙДо сих пор мы имели дело с несколькими группами больных,которые подвергались различным методам лечения.
Вдисперсионном анализе повторных измерений ситуация иная:одни и те же больные последовательно подвергаются нескольким методам лечения или просто наблюдаются в несколько последовательных моментов времени. По-другому распределяетсяи общая вариация Sобщ (рис. 9.5). Прежде всего можно выделитьмежиндивидуальную (SМИ) и внутрииндивидуальную (SВИ) вариацию, последняя, в свою очередь, распадается на обусловленную методом лечения (Sле) и остаточную (Sост), обусловленнуюслучайными колебаниями, ошибкой измерения и т.
п.Обозначения, которые мы будем использовать в дисперсионном анализе повторных измерений, приведены в табл. 9.4. Представлены 4 больных, каждого из которых последовательно лечили 3 методами. Значения интересующего нас признака обоТаблица 9.4. Обозначения, используемые в дисперсионном анализе повторных измеренийМетод леченияСреднее ВариацияБольной123SВИбXб1234СреднееX11Х21Х31X1∑(XХ12Х22Х32X2∑( XХ13Х23X33X3∑( XХ14Х24Х34X4∑( XT1T2T3м1− X1 )м2− X2 )м3− X3 )м4− X4 )2м2м2мм2ГЛАВА 9306значены Хмб, например, Х12 — значение у 2-го больного при 1-мметоде лечения, Х31 — значение у 1-го больного при 3-м методелечения и так далее.
Величины X б ( X1, X 2 , X 3 и X 4 ) — это«индивидуальные» средние (средние значения признака при всехметодах лечения у 1-го, 2-го и т. д. больного):Xб =∑Xмбм,mгде т — число методов лечения. Tм ( T1, T2, T3 и T4) — средниезначения признака у всех больных при 1-м, 2-м и т. д. методелечения:Tм =∑Xмбб,nгде п — число больных.Общая вариация — это сумма квадратов отклонений всех значений (у всех больных при всех методах лечения) от общегосреднего, которое составляетX=∑∑ Xмбmnтаким образом,мб;Sобщ = ∑∑ ( X мб − X ) .2мбСоответствующее число степеней свободы νобщ = тп – 1.Общая вариация складывается из межиндивидуальной ивнутрииндивидуальной вариации.
Рассчитаем внутрииндивидуальную вариацию SВИ. У первого больного сумма квадратов отклонений от индивидуального среднего X1 равнаSВИ1 = ∑ ( X м1 − X 1 ) .2мУ второго больногоSВИ 2 = ∑ ( X м2 − X 2 ) .2мАНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ307и так далее. Чтобы рассчитать внутрииндивидуальную вариацию, просуммируем SВИб по всем больным:SВИ = SВИ1 + SВИ 2 + SВИ3 + SВИ 4 = ∑∑ ( X мб − X б ) .2бмСоответствующее число степеней свободы составляет νВИ == n(m – 1).Перейдем к межиндивидуальной вариации. Она складываетсяиз квадратов отклонений индивидуальных средних X б от общего среднего X :S МИ = m∑ ( X б − X ) .2Множитель т появляется из-за того, что каждое X б — этосреднее по т методам лечения.
Число степеней свободы νМИ == n – 1.Можно показать*, что общая вариация равна сумме внутри- имежиндивидуальной вариаций:Sобщ = SВИ + SМИ .Теперь из внутрииндивидуальной вариации нам предстоитвыделить вариацию, связанную с лечением Sле, и остаточнуювариацию Sост, связанную со случайными отклонениями и ошибками измерения. Вариация, связанная с лечением, складывается из квадратов отклонений средних по методам лечения Tм отобщего среднего X :S ле = n∑ (Tм − X ) .2Наличие коэффициента п связано с тем, что каждое Тм — этосреднее по п больным.Соответствующее число степеней свободы νле = m – 1.Остаточная вариация — вторая составляющая внутрииндивидуальной вариации — получается вычитанием:S ост = S ВИ − S ле .*Вывод этого равенства см.
в: В. J. Winer, D. R. Brown, К. М. Michels.Statistical principles in experimental design, 3d ed. McGraw-Hill, New York,1991.ГЛАВА 9308Аналогично вычисляется и остаточное число степеней свободы νост:νост = νВИ – νле = n(m –1) – (m – 1) = (n – 1)(m – 1).Теперь мы можем получить две независимые оценки дисперсии: на основании вариации, связанной с лечениемsле2 =S ле,ν леи на основании остаточной вариации:2sост=Sост,ν остпосле чего можно применить знакомый нам критерий F:F=sле2.2sостДалее следует поступить как при обычном дисперсионноманализе. Вычисленное значение F сравнивают с критическимдля выбранного уровня значимости и числа степеней свободы.Чтобы воспользоваться табл. 3.1, нужно в качестве νмеж взятьνле, а в качестве νвну — соответственно νост.Боюсь, читателя утомили сложные выкладки и громоздкиетермины, которыми несколько перегружен этот раздел.
Пора перейти к практическим применениям. Как мы уже говорили, дисперсионный анализ повторных наблюдений можно использовать не только когда к одним и тем же больным применяетсянесколько методов лечения, но и когда больные просто наблюдаются в несколько разных моментов времени. Именно на таком,очень простом примере мы и рассмотрим применение дисперсионного анализа повторных измерений.Гидралазин при первичной легочной гипертензииПервичная легочная гипертезия — редкое и чрезвычайно тяжелое заболевание, при котором вследствие неизвестных причинповышается давление в артериях легких. Стенки артерий утол-АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ309щаются, что затрудняет газообмен в легких. Из-за повышеннойнагрузки на правый желудочек страдает сердце.
Без лечениябольные живут не более нескольких лет. Гидралазин — препарат, расширяющий сосуды, — успешно используется пригипертонической болезни. Л. Рубин и Р. Питер* предположили,что его можно использовать и при первичной легочной гипертензии. В исследование вошли 4 больных. Измерения производили трижды: перед началом лечения, спустя 48 ч и 3—6 меслечения. (В дальнейшем мы будем говорить просто о 1,2 и 3-мизмерениях.) Измеряли, в частности, легочное сосудистое сопротивление. Этот показатель отражает тяжесть легочной гипертензии: чем выше сопротивление, тем тяжелее гипертензия.Результаты представлены на рис. 9.6.
Похоже, данные говорят впользу препарата. С другой стороны, они получены на малочисленной выборке. Поэтому не будем доверяться впечатлениям, а воспользуемся дисперсионным анализом повторных измерений.Обратимся к табл. 9.5. Здесь помимо первичных данных приведены средние значения легочного сосудистого сопротивлениядля каждого из 4 больных и для каждого из трех моментов измерения. Например, у второго больного среднее легочное сосудистое сопротивление составило17,0 + 6,3 + 6, 2= 9,83,3а среднее легочное сосудистое сопротивление при 1-м измерении:X2 =22, 2 + 17,0 + 14,1 + 17,0= 17,58.3Среднее сопротивление по всем измерениям X = 11,63, а общая вариация Sобщ = 289,82.В табл.
9.5 приведены также суммы квадратов отклоненийот индивидуального среднего. Например, для второго больногоS ВИ2 = (17,0 – 9,83)2 + (6,3 – 9,83)2 + (6,2 – 9,83)2 = 77,05.T1 =*L. J. Rubin and R. H. Peter. Oral hydralazine therapy for primary pulmonaryhypertension. N. Engl. J. Med., 302:69—73, 1980.ГЛАВА 9310Рис. 9.6. Изменение легочного сосудистого сопротивления у 4 больных с легочной гипертензией при лечении гидралазином.Внутрииндивидуальная вариация составляетSВИ = 147,95 + 77,05 + 18,35 + 21,45 = 264,80.Можно найти межиндивидуальную вариациюSМИ = 3[(12,73 – 11,63)2 + (9,83 – 11,63)2 ++ (10,63 – 11,63)2 + (13,33 – 11,63)2] = 25,02.Заметьте, что, как это и должно быть, выполняется равенствоSобщ = SВИ + SМИ.Рассчитаем Sле (теперь эта вариация связана со временем, номы оставим прежнее обозначение):Sле = 4[(17,58 – 11,63)2 + (7,73 – 11,63)2 + (9,60 – 11,63)2] = 218,93.Соответствующее число степеней свободы:АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ311Таблица 9.5.
Легочное сосудистое сопротивление у больных первичной легочной гипертензией на фоне лечения гидралазиномИзмерениеБольной 123СреднееВариация122,25,410,612,73147,95217,06,36,29,8377,05314,18,59,310,6318,35417,010,712,313,3321,45Среднее 17,587,739,60Общее среднее X = 11,63. Общая вариация Sобщ = 289,82.νле = m – 1 = 3 – 1 = 2.Наконец, остаточная вариация определяется равенствомSост = SВИ – Sле = 264,80 – 218,93 = 45,87и имеет νост = (n – 1)(m – 1) = (4 – 1)(3 – 1) = 6 степеней свободы.Все найденные величины сведены в табл. 9.6.
Обратите внимание, что здесь общая вариация разложена на большее числосоставляющих, чем в табл. 9.3. Причина в том, что теперь рассматриваются результаты повторных измерений одной группы,а не однократных измерений нескольких групп.Вычисляем оценку дисперсии на основании вариации, обусловленной лечением:sле2 =S ле 218,93== 109, 47ν ле2и на основании остаточной вариации:2sост=Sост 45,87== 7,65.ν ост6Теперь, наконец, можно вычислить F:F=2sле= 14,31.2sостКритическое значение для числа степеней свободы νмеж = 2 иГЛАВА 9312Таблица 9.6. Таблица дисперсионного анализа (исследованиегидралазина при первичной легочной гипертензии)Число степенейВариациясвободыМежиндивидуальная SМИ = 25,023Внутрииндивидуальная SВИ = 264,808обусловленная лечением Sле = 218,932остаточная Sост = 45,876Общая Sобщ = 289,8211F=Оценкадисперсии109,477,65sле2= 14,312sостνвну = 6 составляет 10,92, то есть меньше полученного нами.
Таким образом, легочное сосудистое сопротивление нельзя считать постоянным. По крайней мере в один из моментов легочное сосудистое сопротивление значимо отличается от наблюдаемого в остальные моменты. Ответить на вопрос, что это замомент и что это за отличия, дисперсионный анализ не может.Для этого следует воспользоваться методами множественныхсравнений (гл.4).Как выявить различия в повторных измеренияхВ гл. 4 мы познакомились с критерием Стьюдента с поправкойБонферрони. Он вычисляется как обычный критерий Стьюдента:t=Xi − X j.2s 2nОднако уровень значимости в каждом из сравнений, согласно поправке Бонферрони, принимается равным α = α′/k, где α′ —истинный уровень значимости (по всем сравнениям в целом), аk — число сравнений. Критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони, как и другие методы множественного сравнения, применяется лишь после того, как дисперсионный анализ обнаружит сам факт существования различий.АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ313При дисперсионном анализе повторных измерений схема использования критерия остается прежней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
