Дуда Р., Харт П. - Распознование образов и анализ сцен (1033979), страница 84
Текст из файла (страница 84)
(16) Объединив изменение координат (15) с перспективным преобразованием (16), получим т~ = РОЯТ». (1 7) Преобразование (17) является формальным решением нашей задачи. Оно отображает точку объекта, представленную в однородных глобальных координатах, в точку изображения, представленную в однородных координатах картинки, со всеми геометрическими характеристиками камеры в качестве параметров. Хотя выражение (17) является удобной для некоторых приложений формой, мы сможем установить ряд интересных и полезных фактов, если действительно выполним вычисления и затем преобразуем 10.4, Перспентивнме преобразования с двумя сиспемами о!лента 4)7 результат в обычные декартовы координаты. А именно представим себе, что у нас есть точка объента ч=(х, у, г) и мы хотим найти ее образ (х', г„') (припомним из предыдущего раздела, что только первая и третья компоненты точки изображейия имеют значение).
Подставив однородное представление ч= (!ох, еоу, еог, ео)е в формулу (17) и разделив первую н третью компоненты результирующего вектора на четвертую компоненту, мы получим результат, имеющий большое значение: хр — 1 (х — хв) сов О+ (у — у„) в| и о — 1, — (х — хв) сов Ив(п а+(у — ув) соыр сов 6+(г — г„) в(п ер — 1 (18) е (х — хв) Мп47в(па — (у — уе) в(па сова+(г — гв) сове — 1 г — (х — хв)сов ерыпа+(у — ув) силосов +(г — г,) Мп ф — 1, ' Обсуждение этих внушительных выражений будет отложено до тех пор, пока мы не получим аналогичные выражения для обратного преобразования.
~7=7 'я '6 вР 'чр. (19) Легко убедиться, что 100х, О!Оу, 0 0 1 гв ° 0 0 0 1 (20) 1 0 О 1, О 1 О 1+7 !в О 0 0 1 (21) и Я-1 ))1 (22) Как мы это.уже делали для прямого преобразования, полезно оценить выражение (!В) и перевести результат в обычные декартовы координаты путем деления каждой из первых трех компонент ч на четвертую, Кад обычно, пустьч,'= (п7х', ееу,'„еуг', ем)е, где у' — свободный параметр.
После утомительных вычисленйй мы получим точ- )0.4.2. ОБРАТНОЕ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЭОВАНИЕ: ДВЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА В общем случае обратное перспективное преобразование в однородных координатах может быть получено особенно легко из прямого преобразования (17).
Тан как каждая из четырех матриц имеет обратную, 418 Гз. 1О. Пероаектизкза ареоаразоеоиик ку ч объекта в следующем виде (1хр ! ур+1,1) сОБО+(1аур 1а1 1а) соя ар 5!и 0— — !1зур — 1згр — 1з1) Б!и ер ь!и 0 ()Х,' — 1,Ц, '+1 1) Б!П 0 — (1,Ц,' — 1,1 — "1з) С05 1У СОБ О+ +(1зУр — 1гр — 1з1) Б!п еР с05 Π— (1аур — 1Д вЂ” ~') я!п !р — (1зЦр — Ггр — 1з1) соь ер 1 и =в 1 — Ур Здесь снова обратное преобразование может быть переведено в бо- лее удобную форму посредством представления точки ч обьекта в виде ч =че-~-)з(чр — ч,), (! 0) причем центр объектива ч, можно найти, устремив у,' к — аа в формуле (23), а точку ч изображения (представленную в глобальных координатах) можно найти при ур —— О. Оценив формулу (23) для этих значений, найдем (хр+ 1,) соь 0 — (1+1,) соь р 5!п 8+ (г„'+ 1з) Б!п ер 5|п О (х' + 1,) 5!и 0 -1- () -1-1,) соь !р соь 0 — (г' -1-1,) ь ьп ер соя О (1+!а) Б!п !р +(гр+1,) соя !р (24) 1, соь 9 — 1, соя !р Б!и 9 (- 1, Б!п ер 5!п 9 1, 51П 9+1, соя <р соя 0 — 1, шп ер соя 0 1,51П ер +1, СОБ ер (26) Комбинируя формулы (10), (24) и (25)„придем к нашему конечному выражению, задавая проектирующий луч для точки изображения (х,', г„'), для свободного неотрицательного параметра )з и для всех геометрических параметров камеры: хр соя 0 — 1 соя !Р 5!и О+ г,' Б ш 1Р Б!п 0 х;Б!пО+1 .р Π— г;Б!п р О ~ Б!п 1Р -(- гр соя еР (20) х хо +1! сОБО 1а соя ар 51п О+ 13 51п зря!и О у =- уз+1зя!ПО+1асоьерсоБΠ— 1,я!персо50 + г го+!а 51п еР+1з соя еР Хз у, .
(23) г„ ~0.5. Примера нрименение 4!9 Перечислим результаты этого раздела. Мы обобщили простую проективную модель на случай с двумя системами координат таким образом, что все величины могут теперь быть измерены естественным путем. Формулы (17) и (19) задают' прямое н обратное перспективные преобразования в однородных координатах, где однородные координаты точки изображения и точки объекта связаны соответственно с декартовыми координатами изображения и с декартовыми глобальными координатами. Формулы (18) и (26) задают преобразования непосредственно в декартовой системе координат изображения и в декартовой глобальной системе координат.
В следующем разделе мы проиллюстрируем эти результаты, применяя их во многих различных ситуациях. !О.З. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ !0.5.!. КАЛИБРОВКА КАМЕРЫ Все перспективные преобразования, описанные в предыдущих разделах, включают некоторые геометрические параметры. Даже в самом простом случае, чтобы преобразование было определено полностью, должно быть известно расстояние 7" от плоскости изображения до объектива с точечным отверстием. В более общем случае нам необходимо также знать величины параметров переноса, вращения и смещения. Хотя в принципе эти параметры могут быть измерены непосредственно, на практике обычно удобнее определить по крайней мере некоторые из них, используя саму камеру в качестве измерительного инструмента.
Основная идея заключается в том, чтобы присвоить параметрам такие значения, которые сведут до минимума разницу между измеренными и вычисленными положениями точек картинки. Предположим далее, что у нас имеется фотографический отпечаток изображений нескольких точек, глобальные координаты которых известны. Пусть задан набор (ч;), е=1,..., и, из л тачек объекта, и пусть (чр!), е=1,..., п, — соответствующие им изображения. Теперь возьмем формулу (!8), которая выражает координаты точки изображения через координаты точки объекта и геометрические параметры.
Запишем (18) в функциональной форме следующим образом: чр =Ь(ч, л), где Ь вЂ” вектор-функция, дающая вычисленные координаты картинки для образа точки ч, а л — вектор параметров. Его компоненты суть геометрические параметры, которые должны быть определены. Один очевидный способ определить эти параметры заключается в выборе вектора л таким образом, чтобы вычисленные положения Ь(че, л) изображений точек были близки их действительным поло- Га. Лх пррспертивные рреорразоврния жениям чрь например так, чтобы сумма ~ 11 чр,.— п(ч;, и) ~~' с=в была минимальна. Минимизация может быть реализована различными путями.
Предположим в качестве очень простого примера, что единственным незаданным параметром является величина Г— расстояние от объектива с точечным отверстием до плоскости изображения. Это число только устанавливает масштаб результирующего изображения; удвоение 1 удваивает размер изображения, в чем можно убедиться как из анализа подобных треугольников, так и по формуле (18).
Следовательно, значение Г может быть найдено аналитически путем минимизации функции ошибок и с использованием любого числа точек объекта и изображения в качестве входной информации. В более общем случае, когда число незаданных параметров велико, функция ошибок минимизируется численно с помощью методов поиска по градиенту. (В разд. 12.3 мы опишем метод разумного выбора начальной точки для градиентного поиска.) 10.5.2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТА Мы видели, что в общем случае положение точки объекта не определяется однозначно ее фотографическим изображением. Единственное, что может быть сказано, это то, что точка обьекта лежит где-то на проектирующем луче, определенном центром объектива н точкой изображения. В некоторых случаях, однако,мы можем располагать некоторыми дополнительными априорными сведениями о точке объекта, соответствующей данной точке изображения. Например, мы можем знать расстояние от камеры до точки объекта, или мы мажем знать, что точка объекта лежит на некоторой стене, полу или на другой определенной поверхности. Так как праектирующий луч — это однопараметрическая система, любая такая априорная информация может быль использована вместе с точкой изображения, чтобы определить однозначно положение точки объекта.
В качестве примера упомянутой выше ситуации предположим, что мы хотим определить положение точки объекта, причем заранее известно, что она лежит на полу. Для простоты мы примем, что плоскость (Х, У) глобальной системы координат совпадает с полом, и поэтому наша априорная информация состоит из единственного факта, что координата с точки объекта равна нулю. Предположим снова для простоты, что центр вращения камеры находится в центре объектива, и поэтому вектор смещения 1 равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
