Дуда Р., Харт П. - Распознование образов и анализ сцен (1033979), страница 88

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 88)

Обозначим временно это уравнение через «/, 1». Разделив произведение уравнений «3,!» и «2,4» на произведение уравнений «2, 1» и «3, 4», получим («з «я) («з «я) (Уз — Уд (Уз — Уд (1) («з — «д («з — «я) (Уз — Уя) (Уз — Уд ' Каждая из двух частей уравнения (1) называется сложным отношением перспективных рядов из четырех точек и обозначается (лля Гл. уд Правнтивныв инварианты левой части) через СК(х„х„х„х,). Заметим, что сложное отношение не зависит от координат (а, Ь) центра пучка.

Следовательно, уравнение(1) показывает, что любые два сечения пучка из четырех линий имеют одно и то же сложное отношение. Определим тогда естественным образом сложное отношение пучка из четырех линий как сложное отношение любого из его сечений. Уравнение (!) устанавливает также результат для двух пучков: если они имеют общий ряд, они должны иметь тогда одинаковое сложное отношение. Следовательно, если мы продвигаемся по цепи последова- Рис. 11.5. Два пучка, лежащие в разных плоскостях.

тельных перспективных соответствий от одного ряда к другому, сложное отношение не изменяется. Поэтому сложное отношение является проектииным признаком, или проекгпивмым инвариантом,— оно не изменяется при центральном проектировании. Иначе говоря, два ряда проективны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое сложное отношение. На рис. 11.3 ряды Х и 2 имеют одинаковое сложное отяошение, а именно сложное отношение ряда У, который является общим для обоих пучков. Мы пришли поэтому к одномерному варианту решения задачи второго ракурса: необходимое условие того, что два (одномерных) изображения показывают один и тот же обьект, состоит в том, что любые два множества, составленные из четырех соответственных точек изображений, должны иметь одинаковое сложное отношение ').

Сделаем еще несколько замечаний, прежде чем оставить в покое сложное отношение. Во-первых, поскольку сложное отношение зависит только от разностей, оно независимо от начала координат. Поэтому, чтобы вычислить сложное отношение пучка, нет необходимости строить конструкцию, подобную показанной на рис. 1!. 4. Во-вторых, два пучка, лежащие в разных плоскостях, могут иметь одинаковое сложное отношение; например, на рис.

11. 5 два пучка г) Мы, конечно, игнорируем здесь проблему шума. 11 3. Двумерные проекввивныв координавпы 439 имеют общий ряд на пересечении двух плоскостей и, таким образом, имеют одинаковое сложное отношение. И наконец, мы видим, что имеется несколько возможных определений сложного отношения, зависящих от порядка, в котором помечены точки.

Если поменять местами метки четырех точек ряда, получится другос сложное отношение. Можно показать, что из 24 различных возможностей разметки только шесть дают отличные от других определения сложного отношения. (Довольно интересно то, что эта шестерка образует группу по отношению к некоторой подходящей композиционной операции.) В данной главе мы примем в качестве стандарта сложное отношение, задаваемое каждой из частей уравнения (1), и подчеркнем, что разметка точек должна выполняться так, чтобы сохранить его постоянство.

11.3. ДВУМЕРНЫЕ ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ В последнем разделе мы убедились, что сложное отношение является одномерным проективным инвариантом. В данном разделе мы построим сложное отношение для плоскости с тем, чтобы иметь дело со случаем двумерных объектов и двумерных изображений. Конечно, нас в конце концов будет интересовать общий случай трехмерных объектов н двумерных изображений. Однако этот общий случай связан с дополнительными трудностями; рассматриваемый же случай является наиболее сложной ситуацией, для которой имеется решение, не связанное ни с дополнительными ограничениями, ни с чересчур сложными вычислениями. Это связано с ннвариантносгью двумерных проективных координат, которые мы сейчас определим.

Пусть, как показано на рис. 11.6, нам даны четыре точки А, В, С, У, лежащие в одной плоскости, и пусть никакие три из них не лежат на одной прямой. Мы можем взять эти четыре точки в качестве базы двумерной проективной координатной системы; треугольник АВС называется опорным треуаольником, а точка У по причинам, которые вскоре прояснятся, называется единичной точкой. Пусть на той же плоскости дана новая точка Р (не обязательно внутри опорного треугольника); тогда мы определим ее проективную координату по оси АС как величину СР (А, Х, )', С), т. е. как сложное отношение четырех перечисленных точек на оси АС. Поскольку ') СВ('А, Х, У, С)= ~~ !Х вЂ” А/.(У вЂ” С/ ' мы сразу же видим, что, если точка Р лежит на отрезке АВ, ее проективная координата равна нулю; если Р лежит на ВУ, ее проективная координата равна единице; если Р лежит на ВС, ее проектив- ') В соответствии с уравнением (1) мы будем использовать запись (У вЂ” А(, чтобы обозначать взятое со знаком расстовиие между А и У.

Га. П. Прсеккпыкеы икеприакты ачо ная координата равна бесконечности. Проективные координаты точки Р по осям АВ и ВС определяются подобным же образом: путем проведения линий из противоположной вершины через точки Ц и Р. Таким образом, проективные координаты точки Р определены, если даны четыре опорные точки. Наоборот, допустим, нам дана проектнвная координата точки Р, скажем, по оси АС.

Лоскольку трчкн А, Х и С фиксированы, положение точки К также фнксвроввио. Следовательно, мы знаем, что сама точка Р должна быть разме- л Рне. 11.6. йеунеркые проекткккые координаты. щена где-то на линии ВУ'. Ее точное положение фиксировано, если мы знаем любую из двух оставшихся проективных коордцнат, поскольку любая из ннх задает линию, пересечение которой с В'г' определяет Р. Тогда в типичном случае двух любых проектнвных координат точки из трех достаточно, чтобы задать точку единствецным образом. Единственное исключение имеет место, если точка Р лежит на стороне опорного треугольника. В этом случае-должна использоваться проективная координата точки по этой оси.

Теперь мы хотим показать, что проективная координата лежащей на плоскости точки Р (взятая относительно некоторой базы) инвариантна по отношению к центральному проектированию. Общий случай показан на рис. 11.7, где мы можем считать АВС плоскостью объекта, Т. произвольным центром объектива, а А'В'С произвольной плоскостью изображения. Наш метод будет состоять в том, чтобы показать, что проективные координаты точки Р' относительно базы А', В', С', У' равны проективным координатам точки Р относительно базы А, В, С, У. Если мы это выполним, то 17 3 Лермериае иааектиеиые каардаиаиае результат будет достигнут, поскольку мы покажем тем самым, что проективиые координаты точки Р в каждой нз проекций равны проективным координатам этой точки в-исходной клоскости объекта.

Мы начнем с наблюдения, что проективная координата точки Я т У рка. 11.7. Даи оааерацкя ияваряяяткаатк ороактявамх коордкнат. Р по оси АС равна Сет (А, Х, У, С). Затем, направив наше внимание на плоскость АЕС, заметим, что Пс(А, Х, У, С)=Сеа (А', Х", У', С'), поскольку оба ряда являются сечениями одного н того же пучка с центром в )..

Но величина СК(А', Х', У', С') по определению , В', С', У' в плоскости изображения. Такие же аргументы спра- тнвные коо вндливы для двух других осей, и поэтому мы показали чт рдннаты точки Р, лежащей в плоскости объекта, относи- тельно произвольной базы равны проектнвиым координатам нзаб- Гл. 1П Проелтивние инварианжм ражения точки Р относительно изображения этой базы г). Таким образом, проективные координаты оправдывают свое название; они в самом деле инвариантны по отношению к центральному проектированию. Приведенные рассуждения создают основу для решения двумерной задачи второго ракурса.

Полагая, что плоскость объекта содержит по крайней мере пять характерных точек, мы берем любые четыре точки в качестве базы проективной координатной системы и вычисляем координаты оставшихся точек относительно этой базы. Необходимое условие того, что иа двух изображениях показан один и тот же объект, сводится просто к требованию, чтобы соответственные точки имели одинаковые проективные координаты. 11.4. ЛИНИЯ, СОЕДИНЯЮЩАЯ ОБЪЕКТИВЫ В предыдущем разделе мы показали, что для случая двумерных объектов проективные координаты действительно являются проективными инвариантами; было продемонстрировано, что проективные координаты каждого изображения объекта равны проективным координатам самого объекта.

Характеристики

Список файлов книги