Методическое пособие по ОУММС (1033914), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Выбор векторного Нэш-решения относительно идеальной (утопической) для множества допустимых решений точки (СТЭК-3). Коалиционное равновесие при фиксированном разбиении М_K = P ММС вырождается в векторное равновесие. Поиск векторного равновесия (векторного Нэш-равновесия и -равновесия), является достаточно сложной задачей с собственным программным обеспечением.

Каждая коалиция теперь имеет векторный показатель, что учитывает элемент субъективности взаимной информации о приоритетности показателей партнёров. Естественно, что скаляризация показателей коалиции с заданными весами приводит к частному случаю векторного Нэш-равновесия: скалярному равновесию по Нэшу.

Поэтому при исследовании векторного равновесия по сравнению со скалярным, во-первых, возрастает размерность множества показателей, во-вторых, возрастает число равновесных решений, так как даже при единственности скалярного равновесия перебор вектора весов приводит к множеству решений. Увеличение размерности задачи и расширение множества равновесных решений на множестве допустимых решений приводит к необходимости искать компромиссное решение среди недоминируемых векторных равновесий ( ), наиболее близкое к идеальной точке над множеством допустимых решений по критерию:

(2.4)

где

, (2.5)

где U_K – множество параметризованных управлений (решений) коалиции K,  = 1,...,l. Полученное на основе (2.4), (2.5) решение является наилучшим векторно-равновесным решением для всех коалиций, а поэтому является компромиссным в условиях необязательных соглашений.

Общий метод определения компромисса принимает вид следующей многоэтапной последовательности.

Этап 1. Получение векторных Нэш-равновесий.

Этап 2. Получение множества недоминируемых векторных равновесий.

Этап 3. Получение идеального решения на основе критерия (2.5).

Этап 4. Получение компромиссного решения на конечном множестве недоминируемых векторных равновесий на основе критерия (2.4).

Ввиду сложности решения данной задачи, особенно на первом этапе, данный алгоритм реализован в универсальной программной среде «MATLAB». Надлежащая параметризация программно-корректируемого закона управления и использование параллельной вычислительной среды позволяет реализовать алгоритм в реальном времени.

Формирование Парето–Нэш-области компромиссов (ПНОК) (СТЭК-4). Предыдущие СТЭК-1 – СТЭК-3 позволяли получить лучшие решения в рамках одного и того же множества стабильных решений. Данная ПНОК позволяет выделить на области допустимых решений или на области допустимых значений показателей подобласть, где наиболее вероятны следующие шаги по формированию стратегических и нестратегических компромиссов на основе соответственно необязательных соглашений с определённой устойчивостью к отклонениям и строго договорных процедур с обязательными соглашениями и процедурами наказания при невыполнении соглашений, а также определённой «смеси» необязательных и обязательных соглашений. Поэтому, с одной стороны, данная ПНОК является базой для формирования новых компромиссов, с другой стороны, при определенной близости компромиссного значения показателей на основе предыдущих СТЭК к Парето-границе области показателей выделяется малая ОК, каждая точка которой с определённой степенью грубости играет роль собственно СТЭК-4, а в пределе превращается в ПСТЭК.

Всё это следует из определения ПНОК на области допустимых значений показателей – свёрток в смысле СТЭК-1 и СТЭК-2 или полного вектора в смысле СТЭК-3.

Определение 2.2. ПНОК удовлетворяет системе неравенств:

(2.6)

где первое неравенство системы (2.6) имеет смысл многогранного конуса доминирования с матрицей В = Е и вершиной в точке J(u^СТЭК-i), а второе имеет смысл семейства лучей, соединяющих точку СТЭК и соответствующее лучу решение u^П из подмножества U^П Парето-оптимальных решений, также удовлетворяющих первому неравенству. Рис. 2.1 иллюстрирует данное определение для двухобъектной ММС со скалярными показателями объектов.

Метод получения ПНОК базируется на комбинации алгоритмов Парето-оптимизации, Нэш-оптимизации и получения СТЭК-1 (2,3), что может быть представлено в упрощённом виде следующей процедурой.

Этап 1. Получение множества скалярных (векторных) недоминируемых Нэш-равновесий.

Этап 2. Определение стабильно-эффективных решений СТЭК-1 (2,3).

Этап 3. Формирование конуса доминирования (2.6) на области значений показателей, как на отображении области решений.

Этап 4. Получение области Парето-оптимальных решений и подобласти U ^П на основе конуса (2.6).

Этап 5. Формирование системы значений показателей и системы решений, удовлетворяющих ПНОК, с элементами проективно-графического анализа.

Для реализации данного алгоритма с использованием СТЭК-1, СТЭК-2 формируются интерактивные процедуры на основе модулей Парето–Нэш-оптимизации в программной среде ПС «MOMДИС» с использованием графических экранных отображений. Данный алгоритм с использованием СТЭК-3 реализован в среде «MATLAB».

Взаимосвязь ПНОК и области УКУ-решений (СТЭК-5). Векторное и скалярное равновесие при фиксированной коалиционной структуре являются частными случаями коалиционного равновесия, так как каждая коалиция стремится обеспечить свою локальную Парето-оптимальность в рамках всей локальной области, ее подобласти или точки соответственно, а равновесное решение по определению является V-решением (не содержит эффективных угроз, против которых нет контругроз).

УКУ-равновесие по Вайсборду–Жуковскому является модификацией V-решения и принадлежит к множеству коалиционных равновесий, если допустимое множество коалиционных структур позволяет сформировать контругрозу.

Если точка УКУ-равновесия единственная и попадает на ПНОК, то в сравнении с Нэш-равновесной точкой она более выгодная для ММС (рис. 2.2) и является устойчивым компромиссным решением с предостережением к отклонению в условиях необязательных соглашений.

В более общем случае может иметь место подмножество УКУ-равновесий, для которого по определению Нэш-вершина ПНОК является граничной точкой (из-за обращения неравенства угрозы). Тогда вступают в действие три ранее рассмотренные вида СТЭК в применении к множеству УКУ или формируется алгоритм выбора точки УКУ, наиболее близкой к Парето-границе и, например, учитывающий уравновешивание потерь (рис. 2.3).

Из анализа прикладных результатов выявляются некоторые общие закономерности, которые сложно получить «прямыми» теоретическими исследованиями, – это неединственность УКУ-решений и попадание большей части решений на ПНОК.

Если ресурсы коалиций не равны, то ПНОК содержит подмножество точек УКУ, которые смещены в пользу коалиции с большими ресурсами. При вы­равнивании ресурсов число УКУ-решений увеличивается, а множество УКУ существенно пересекается с ПНОК (применяя в некоторых случаях очертания ПНОК), причём часть точек УКУ попадает на Парето-границу ПНОК.

Следовательно, может быть сформулировано следующее утверждение общего характера.

Утверждение 2.1. ПНОК содержит подмножество УКУ-оптимальных решений, а при выравнивании ресурсов коалиций – объектов в ММС число решений возрастает и их множество существенно пересекается с ПНОК, причём Парето-граница ПНОК содержит УКУ-решения.

Замечание 2.1. Из последней части утверждения следует, что точки Парето-границы ПНОК могут выбираться как начальные приближения компромиссных УКУ-решений.

Взаимосвязь ПНОК и множества дележей (СТЭК-6). Метод получения дележей по Шепли детально обсуждается в главе 5. В условиях необязательных соглашений делёж по Шепли обосновывает выбор такого коалиционного равновесия, которое является наиболее подходящим для возможного объединения в кооперацию при переходе к строго договорным компромиссам с обязательным выполнением соглашения.

Поэтому полезно исследовать взаимосвязь ПНОК и множества дележей.

Утверждение 2.2. Парето-граница ПНОК для однотипных ММС удовлет­воряет свойствам коллективной и индивидуальной рациональности дележей.

В общем случае ПНОК принадлежит прямоугольному многогранному конусу с вершиной в (i = 1,…,N), который ограничен Парето-границей (i = 1,…,N), и следовательно,

 J_i , (i = 1,…,N).

Тогда характеристическая функция, характеризующая индивидуальную эффективность, имеет вид

v (i) = из ( , ).

При этом

.

Также известно, что

  = v(i), i = (1,…,N),

что является условием индивидуальной рациональности дележа на Парето-точках ПНОК. Условие коллективной рациональности Парето-точки ПНОК выполняется тождественно, так как по определению дележа

.

Таким образом, Парето-граница ПНОК обладает свойством коллективной и индивидуальной рациональности.

Собственно, СТЭК-6 имеет смысл либо ПСТЭК, либо УКУ-равновесия, которые оказались на Парето-границе ПНОК в окрестности найденной точки дележа по Шепли.

Выбор наиболее эффективного УКУ-решения на основе ПНОК и точки дележа Шепли (СТЭК-7). Рассмотренный СТЭК-6 является частным случаем более общего СТЭК, когда множество УКУ-равновесий имеет общий характер положения в ПНОК, например так, как показано для N = 2 на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Общий характер положения УКУ-равновесия на ПНОК

Тогда СТЭК-5 и СТЭК-6 обобщаются в виде СТЭК-7, который имеет наиболее общий вид в условиях необязательных соглашений и содержит предыдущие СТЭК-1 – СТЭК-6 как частные случаи или компоненты.

Характеристики

Список файлов книги