Методическое пособие по ОУММС (1033914), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определение 1.2. Коалиционной структурой (разбиение множества N) называется такое семейство коалиций , что

для всех (и ),

для всех K, , (1.2)

 для любого .

Если игроки разбились на коалиции и эти коалиции выбрали свои стратегии, то считается, что игра Г разыграна.

Определение 1.3. Для любой коалиционной структуры P набор стратегий называется ситуацией в игре.

При реализации ситуации множество исходов сужается до . Далее предполагается, что последнее множество исходов состоит из единственного элемента.

Замечание 1.1. При отсутствии коалиций , получаем частный случай определения 1.1

.

Более полное представление об игровых структурах дают следующие два обобщения определения 1.1:

1) Могут иметь место пересекающиеся коалиции. Тогда пункт два определения 1.2 выполняется, например, для всех и , кроме некоторых  . Если две пересекающиеся коалиции  и  выбирают стратегии одновременно, то они должны обменяться информацией для согласования своего выбора, т.е. они действуют как коалиция . Следовательно, для таких коалиций необходимо задавать , из которого осуществляется одновременный выбор стратегий коалициями и .

2) С учетом определения игры по Н.Н. Воробьеву, когда действия и интересы представляются в разных коалиционных структурах и соответственно, причем , – множество стратегий коалиции , ситуация порождает исход , отношения предпочтения формируются над коалициями , а исходное определение 1.1 игры принимает вид следующего определения.

Определение 1.4. Игрой с разными наборами коалиций действия и интересов называется набор

(1.3)

с реализацией , .

Кроме исхода игры, вводится понятие состояния игры и множества стратегий ставятся в зависимость от состояния игры.

Определение 1.5. Динамической игрой называется набор

, (1.4)

где , , S, W, – произвольные множества игроков, коалиционных структур, неокончательных состояний игры и множества окончательных исходов игры; – произвольное множество стратегий коалиции в состоянии ; – множество исходов (как окончательных, так и неокончательных) после применения коалицией стратегий ; – предпочтение коалиции K на множестве конечных исходов W.

Реализация динамической игры состоит из последовательности состояний игры и коалиционных структур в данных состояниях и выбранных ситуаций , , причем в ситуациях возможны исходы из S, в том числе , а в ситуации – только из W. То есть из следует , , .

Данная формулировка расширяет обычное понятие динамической игры. В обычных динамических играх – основная проблема в обмене информацией между участниками игры, а коалиции образуются по предписанным правилам или до начала игры. Обычная динамическая игра в нормальной форме соответствует одному шагу игры в определении 1.5.

В рамках определения 1.1 можно сформировать, как частные случаи, определения бескоалиционных, коалиционных и кооперативных игр.

Так, если зафиксировать во множестве коалиционных структур структуру Р (или считать , то на фиксированной структуре (на N) коалиции (игроки) независимо друг от друга выбирают свои стратегии , . Пусть предпочтения коалиций (игроков) представлены их функциями выигрыша на множестве ситуаций . Ситуации становятся исходами игры. Выбор стратегии  коалицией K (игроком i) ограничивает множество исходов до множества стратегий

.

Определение 1.6. Бескоалиционной игрой при фиксированном Р называется набор

, (1.5)

где Р – фиксированное разбиение, или , при отсутствии разбиения Р – набор

. (1.6)

Аналогичное описание коалиционной игры приводит к следующему определению.

Определение 1.7. Коалиционной игрой называется набор

, (1.7)

(при любом множестве Р ),

.

Для получения определения кооперативной игры вводится характеристическая функция , , т.е. числовая функция, определенная на множестве всех подмножеств множества игроков N, .

Определение 1.8. Кооперативная игра на основе характеристической функции с моделирует распределение между игроками из N общего их выигрыша согласно силе коалиции и описывается набором

, (1.8)

где ; ;

;

; означает .

Частный случай кооперативной игры может быть сформулирован на основе векторной оптимизации.

Определение 1.9. Кооперативной игрой называется набор

, (1.9)

где – множество ситуаций.

И, наконец, в плане иерархических игр один или несколько игроков ограничивают множество исходов остальных за счет права первого хода. Остальные игроки в зависимости от условий разыгрывают игру в рамках одного из четырех классов игр. В работе Э.Н. Вайсборда, В.И. Жуковского предложено следующее определение.

Определение 1.10. Иерархической игрой называется набор

, (1.10)

где N – число игроков в игре, L – число игроков, имеющих право первого хода, – число координируемых игроков, – общее множество стратегий, – множество стратегий координируемых игроков.

1.3. Математическая модель конфликтной ситуации в ММС

В соответствии с определениями игры математическая модель конфликтной ситуации должна содержать четыре компоненты: математическая модель ММС с выбором описания и управляющих сил, векторный целевой показатель, характер коалиционных объединений и принцип конфликтного взаимодействия на основе стабильности и эффективности. Далее последовательно раскрывается модель конфликтной ситуации в форме дифференциальной игры в нормальной форме, когда выбор стратегий связан с выбором управлений, которые однозначно определяют исход в виде значения вектора показателей игры.

1.3.1. Математическая модель ММС с выбором описания и управляющих сил

Математическое описание ММС. В качестве основного описания ММС принимается система динамико-алгебраических связей

(1.11)

где N – число объектов в ММС; – вектор состояния ММС с – динамическими и – алгебраическими состояниями;

– множество состояний;

y – вектор выхода ММС;

– вектор управления ММС;

– вектор параметров ММС,

которые характеризуют параметрическую неопределенность в (1.11а–в) и возможную параметризацию в (1.11г).

Выражения (1.11) характеризуют динамические связи (а), алгебраические связи (б), вектор выхода (в) и функцию принятия решения и управления (г). Управление

, (1.12)

– подвектор управления i-м объектом ММС.

Свойства правых частей (1.11а), (1.11б) типичные, в основном, это непрерывность и дифференцируемость, а для (1.11а) – выполнение условий Липшица.

О выборе управляющих сил. Как известно, существуют три основных способа задания управляющих сил:

1) Вектор параметров ;

2) Программное управление ;

3) Закон управления (или позиционное управление) , .

Свойства управлений и множеств управлений варьируются. Наиболее желаемые свойства U – это свойства выпуклости и компактности (или слабой компактности).

Ввиду сложности краевых задач в ММС имеет смысл ориентироваться на комбинацию приближенных гибких вычислительных схем и классических оптимизационных структур управления, например, математического программирования и оперативного управления, с существенной параметризацией управляющих сил во временных интервалах их приложения.

Поэтому, кроме трех указанных, рассматриваются следующие комбинации в представлении управляющих сил.

4) Параметризированное векторное программное управление , где

где : , ; – непрерывные функции, заданные на отрезке (1.13а) или на отрезке (1.13б); – интервал применения слагаемого управления (1.13б)

при этом и – заданное разбиение отрезка .

Возможны обобщения (1.13а), (1.13б). Так, например, функции могут быть заданы отдельно для каждой скалярной компоненты и принимают вид . Для сохранения числа l интервалов параметризации (1.13б) на каждом отрезке [t_j-1,T] достаточно (1.13б) представить в виде

(1.13в)

где .

Если управление (1.13а) непрерывное, то управление (1.13б) кусочно-непрерывное. Типичный частный вид последнего при f_j(t) = 1 на

. (1.14)

5) Параметризованный закон управления (стратегия)

где , , – заданные непрерывные функции.

6) Программно-корректируемый закон управления (ПКЗУ) (стратегия) при заданном разбиении отрезка с малым

, (1.16)

где – допустимое программное управление

на отрезке при известном начальном условии и реализуемое на .

Замечание 1.2. Данный ПКЗУ отличается от кусочно-программной стратегии Л.А. Петросяна

Характеристики

Список файлов книги