20074086 (1032029), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Очевидно, шумы, лежащие вгде P0 – расчётная передаточная функция, ΔP – величина отдиапазоне частот, в котором |S(jω)| > 1, после замыканияобратной связи будут усиливаться, а шумы с частотами, наклонения от P0, которая должна быть устойчивой передаточкоторых |S(jω)| < 1, после замыкания обратной связи будутной функцией. Тогда петлевое усиление разомкнутой систеослаблены.мы можно представить в виде G = RP0 + RΔP = G0 + RΔP. ПоНаихудший случай (наибольшее усиление внешних возскольку расстояние от точки [–1, j0] до текущей точки A надействий) будет наблюдаться на частоте максимума Ms модугодографе невозмущённой системы (для которой ΔP = 0) равно |1 + G0| (рис. 17), условие устойчивости системы с отклонеля функции чувствительности (рис.

16):⎛⎞нием петлевого усиления RΔP можно представить в виде:1M s = max (S ( j ω) )= max ⎜(13)⎟.ωω ⎝ 1 + G (jω) ⎠R ΔP < 1 + G 0 ,Максимум функции чувствительности можно связать с запасом устойчивости sm (рис. 13). Для этого обратим внимание на то, что |1 + G(jω)| представляет собой расстояние отточки [–1, j0] до текущей точки на годографе функции G(jω).Следовательно, минимальное расстояние от точки [–1, j0] дофункции G(jω) равно:sm = min (1 + G ( j ω) ).ω(14)Сопоставляя (13) и (14), можно заключить, что sm = 1/Ms.Если с ростом частоты модуль G(jω) уменьшается, то, каквидно из рис. 13, (1– sm) ≥ 1/gm. Подставляя сюда соотношение sm = 1/Ms, получим оценку запаса по усилению, выраженную через максимум функции чувствительности:gm ≥Ms.M s −1(15)Аналогично, но с более грубыми допущениями можно записать оценку запаса по фазе через максимум функции чувствительности [2]:⎛ 1 ⎞.ϕ m ≥ 2arcsin ⎜⎝ 2M s ⎟⎠(16)Например, при Ms = 2 получим gm ≥ 2 и ϕm ≥ 29°.94РобастностьРобастность – это способность системы сохранять заданный запас устойчивости при вариациях её параметров, выwww.cta.ruоткудаΔP <1 + G0ΔP 1 + G 0 1 + G 01, или<==,RP0RP0G0Tгде T – дополнительная функция чувствительности (12).Окончательно можно записать соотношение:ΔP ( j ω )1<,P0 ( j ω )T ( j ω)(18)которое должно выполняться, чтобы система сохраняла устойчивость при изменении параметров процесса на величину ΔP(jω).Сокращение нулей и полюсовПоскольку передаточная функция разомкнутой системыG = RP является произведением двух передаточных функций, которые в общем случае имеют и числитель, и знаменатель, то возможно сокращение полюсов, которые лежат вправой полуплоскости или близки к ней.

Поскольку в реальных условиях, когда существует разброс параметров, такоесокращение выполняется неточно, то может возникнуть ситуация, когда теоретический анализ приводит к выводу, чтосистема устойчива, хотя на самом деле при небольшом отклонении параметров процесса от расчётных значений онастановится неустойчивой.Поэтому каждый раз, когда происходит сокращение полюсов, необходимо проверять устойчивость системы при реальном разбросе параметров объекта.СТА 4/2007© 2007, CTA Тел.: (495) 2340635 Факс: (495) 2321653 http://www.cta.ruВ ЗАПИСНУЮ КНИЖКУ ИНЖЕНЕРАВторым эффектом сокращения полюсов является появление существенногоразличия между временем установленияпереходного процесса в замкнутой системе при воздействии сигнала уставки ивнешних возмущений. Поэтому необходимо проверять реакцию синтезированного регулятора при воздействии не только сигнала уставки, но и внешних возмущений.Безударное переключениережимов регулированияВ ПИДрегуляторах могут существоватьрежимы, когда их параметры изменяютсяскачком.

Например, когда в работающейсистеме требуется изменить постояннуюинтегрирования или когда после ручногоуправления системой необходимо перейти на автоматический режим. В описанных случаях могут появиться нежелательные выбросы регулируемой величины, ес Рис. 17. Пояснение к выводу соотношения (18)ли не принять специальных мер. Поэтомувозникает задача плавного («безударного») переключения11режимов работы или параметров регулятора.I (t ) =e(t )dt или I (t ) = ∫e(t )dt .∫()TtTii (t )Основной метод решения проблемы заключается в построении такой структуры регулятора, когда изменение паВ первом случае при скачкообразном изменении Ti (t) инраметра выполнятся до этапа интегрирования.

Например,тегральный член будет меняться скачком, во втором случае –при изменяющемся параметре Ti = Ti (t) интегральный членплавно, поскольку Ti (t) находится под знаком интеграла,можно записать в двух формах:значение которого не может изменяться скачком.95СТА 4/2007www.cta.ru© 2007, CTA Тел.: (495) 2340635 Факс: (495) 2321653 http://www.cta.ruВ ЗАПИСНУЮ КНИЖКУ ИНЖЕНЕРААналогичный метод реализуется в инкрементной формеПИДрегулятора (см. подраздел «Инкрементная формацифрового ПИДрегулятора») и в последовательной формеПИДрегулятора [1], где интегрирование выполняется назаключительной стадии вычисления управляющего воздействия.Дискретная форма регулятораНепрерывные переменные удобно использовать для анализа и синтеза ПИДрегуляторов.

Для технического воплощения необходимо перейти к дискретной форме уравнений,поскольку основой всех регуляторов является микроконтроллер, контроллер или компьютер, который оперирует спеременными, полученными из аналоговых сигналов послеих квантования по времени и дискретизации по уровню.Вследствие конечного времени вычисления управляющеговоздействия в микроконтроллере и задержки аналогоцифрового преобразования между моментом поступления аналогового сигнала на вход регулятора и появлением управляющего воздействия на его выходе появляется нежелательная задержка, которая увеличивает общую задержку в контуре регулирования и снижает запас устойчивости.Основным эффектом, который появляется при дискретизации и который часто «открывают заново», является появление алиасных частот в спектре квантованного сигнала вслучае, когда частота квантования недостаточно высока.Аналогичный эффект возникает при киносъёмке вращающегося колеса автомобиля.

Частота алиасного сигнала равнаразности между частотой помехи и частотой квантования.При этом высокочастотный сигнал помехи смещается в низкочастотную область, где накладывается на полезный сигнали создаёт большие проблемы, поскольку отфильтровать егона этой стадии невозможно.Для устранения алиасного эффекта перед входом аналогоцифрового преобразователя необходимо установить аналоговый фильтр, который бы ослаблял помеху, по крайней мере, на порядок на частоте, равной половине частоты квантования.

Обычно используют фильтр Баттерворта второго илиболее высокого порядка. Вторым вариантом решения проблемы является увеличение частоты квантования так, чтобыона, по крайней мере, в 2 раза (согласно теореме Котельникова) была выше максимальной частоты спектра помехи.Это позволяет применить после квантования цифровойфильтр нижних частот.

При такой частоте дискретизацииполученный цифровой сигнал с точки зрения количестваинформации полностью эквивалентен аналоговому, и всесвойства аналогового регулятора можно распространить нацифровой.96Переход к конечно(разностным уравнениямПереход к дискретным переменным в уравнениях аналогового регулятора выполняется путём замены производных иинтегралов их дискретными аналогами.

Если уравнение записано в операторной форме, то сначала выполняют переходиз области изображений в область оригиналов. При этомоператор дифференцирования заменяют производной, оператор интегрирования – интегралом.Существует множество способов аппроксимации производных и интегралов их дискретными аналогами, которыеизложены в курсах численных методов решения дифференциальных уравнений. В ПИДрегуляторах наиболее распространёнными являются простейшие виды аппроксимацииwww.cta.ruпроизводной конечной разностью и интеграла – конечнойсуммой. Рассмотрим интегральный член ПИДрегулятора:t1I (t ) = ∫ e(t )dt . Продифференцировав обе части по времени,Ti 0dI (t ) 1получим= e(t ).

Заменяя дифференциалы в этом выdtTiражении конечными разностями (левыми разностями),I −I1получим i +1 i = ei , где индекс i обозначает, что даннаяΔtTiвеличина взята в момент времени ti (обратим внимание, чтоздесь и далее индекс i в Ti обозначает не номер временногошага, а интегральный коэффициент ПИДрегулятора). Изпоследнего выражения получим:Δt(19)I i +1 = I i + ei .TiТаким образом, очередное значение интеграла можно вычислить, зная предыдущее и значение ошибки в предыдущиймомент времени.

Однако такая формула имеет свойство накапливать ошибку вычислений с течением времени, если отношение Δt/Ti недостаточно мало. Более устойчива другаяформула интегрирования – с правыми разностями, когдазначение ошибки берётся в тот же момент времени, что и вычисляемый интеграл:I i +1 = I i +Δte .Ti i +1(20)Рассмотрим дифференциальный член ПИДрегулятора с⎛⎞1e (s ) (см. раздел «Пофильтром: uD (s ) = (sTd )⎜⎝ sTd N + 1⎟⎠грешность дифференцирования и шум»). Переходя в этойформуле от изображений к оригиналам, получим:Td duD (t )de(t )+ uD (t ) = Td.

Заменяя дифференциалы конечN dtdtными приращениями, получим разностное уравнение:⎛ N Δt ⎞uDi +1 = ⎜ 1 −uDi + N (ei +1 − ei ).Td ⎟⎠⎝(21)Отметим, что для сходимости итерационного процесса(21) необходимо, чтобы 1 −N Δt< 1, то естьTdΔt < 2Td N .(22)При Δt > Td/N итерационный процесс (21) становится колебательным, что недопустимо для ПИДрегулятора.Лучшими характеристиками обладает разностное уравнение, полученное при использовании правых разностей:⎛⎞TdNTduDi +1 = ⎜uDi +(ei +1 − ei ).Td + N Δt⎝ Td + N Δt ⎟⎠(23)Здесь условие сходимости выполняется для всех Δt, и нипри каких значениях параметров не возникает колебаний.Кроме того, последняя формула позволяет «отключить»дифференциальную составляющую в ПИДрегуляторе путёмназначения Td = 0, чего нельзя сделать в выражении (21), поскольку при этом возникает деление на ноль.Можно использовать ещё более точные формулы численного дифференцирования и интегрирования, известные изкурса численных методов решения уравнений.Величина такта квантования Δt выбирается как можноменьше, это улучшает качество регулирования.

Характеристики

Список файлов учебной работы