20074086 (1032029), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Иногда робаст Рис. 13. Три годографа КЧХ разомкнутой системы G(jω) для объекта второгоность и грубость используют как эквивалентные поня порядка при T1 = T2 = 0,1 с, L = 0,01 с и пропорциональном коэффициентетия.регулятора K = 6www.cta.ruСТА 4/2007© 2007, CTA Тел.: (495) 2340635 Факс: (495) 2321653 http://www.cta.ru© 2007, CTA Тел.: (495) 2340635 Факс: (495) 2321653 http://www.cta.ruВ ЗАПИСНУЮ КНИЖКУ ИНЖЕНЕРАко скорость затухания колебаний и форма переходногопроцесса у них различная. Интуитивно понятно, что система с параметрами Ti = 0,01 с, Td = 0,1 с наиболее близкак тому, чтобы перейти в состояние незатухающих колебаний при небольшом изменении её параметров.
Поэтомупри проектировании ПИДрегулятора важно обеспечитьне столько устойчивость, сколько её запас, необходимыйдля нормального функционирования системы в реальныхусловиях.Запас устойчивости оценивают как степень удалённостиКЧХ от критической точки [–1, j0]. Если |G(jω0)| < 1, то можно найти, во сколько раз осталось увеличить передаточнуюфункцию, чтобы результирующее усиление вывело систему вколебательный режим: gm|G(jω0)| = 1, откудаРис.
14. Переходная характеристика замкнутой системы, котораяимеет годографы, показанные на рис. 13gm =1.G ( j ω0 )(6)Запасом по усилению gm называется величина, на которуюнужно умножить передаточную функцию разомкнутой системы G(jω180), чтобы её модуль на частоте сдвига фаз 180°(ω180) стал равен 1.Если на частоте ω180 коэффициент усиления разомкнутого контура равен G(jω180) = –1/gm (рис. 13), то дополнительное усиление величиной gm переведёт систему в точку[–1, j0], поскольку (–1/gm) gm = –1.Аналогично вводится понятие запаса по фазе: это минимальная величина ϕm, на которую нужно увеличить фазовыйсдвиг в разомкнутой системе arg(G(jω)), чтобы суммарныйфазовый сдвиг достиг 180°, то естьϕ m = 180° + arg(G ( j ω1)).Рис.
15. Оценка запаса по усилению и фазе для системыс годографом, показанным на рис. 1392Комплексную частотную характеристику G(jω) графически изображают в виде годографа (диаграммы Найквиста) – графика в координатах Re[G(jω)] и Im[G(jω)](рис. 13). Стрелка на линии годографа указывает направление движения «карандаша» при возрастании частоты. ТочкаG(jω0) = –1, которая соответствует условию существованиянезатухающих колебаний в системе, на этом графике имееткоординаты Re[G(jω)] = –1 и Im[G(jω)] = 0. Поэтому критерий устойчивости Найквиста формулируется следующимобразом [6]: контур, устойчивый в разомкнутом состоянии,сохранит устойчивость и после его замыкания, если егоКЧХ в разомкнутом состоянии не охватывает точку с координатами [–1, j0].
Более строго, при движении вдоль траектории годографа в направлении увеличения частоты точка[–1, j0] должна оставаться слева [2], чтобы замкнутый контур был устойчив.На рис. 14 показаны реакции замкнутой системы с тремя различными годографами (рис. 13) на единичный скачок уставки. Во всех трёх случаях система устойчива, однаwww.cta.ru(7)Знак «+» перед arg(G(jω1)) стоит потому, что arg(G(jω1)) < 0.Для оценки запаса устойчивости используют также минимальное расстояние sm от кривой годографа до точки [–1, j0](рис.
13).На практике считаются приемлемыми значения gm = 2...5,ϕm = 30…60°, sm = 0,5...0,8 [2].Для графика на рис. 13 эти критерии имеют следующиезначения:● gm1 = 12,1; ϕm1 = 15°; sm1 = 0,303 (для случая Ti = 0,01 с,Td = 0,1 с);● gm2 = 11,8; ϕm2 = 47,6°; sm2 = 0,663 (для случая Ti = 0,05 с,Td = 0,1 с);● gm3 = 1,5; ϕm3 = 35,2°; sm3 = 0,251 (для случая Ti = 0,05 с,Td = 1,1 с).Если кривая годографа пересекает действительную ось внескольких точках, то для оценки запаса устойчивости берутту из них, которая наиболее близка к точке [–1, j0].
При более сложном годографе может быть использована оценка запаса устойчивости как запас по задержке [2]. Запас по задержке – это минимальная задержка, при добавлении которой в контур он теряет устойчивость. Наиболее часто этоткритерий используется для оценки запаса устойчивости систем с предиктором Смита.Частотный критерий устойчивостиДля графического представления передаточной функцииразомкнутой системы и оценки запаса устойчивости могутбыть использованы логарифмические АЧХ и ФЧХ (рис. 15).Для оценки запаса по фазе сначала с помощью АЧХ находятчастоту ω1 (частота среза, или частота единичного усиления),при которой G(jω1) = 1, затем по ФЧХ находят соответствуюСТА 4/2007© 2007, CTA Тел.: (495) 2340635 Факс: (495) 2321653 http://www.cta.ruВ ЗАПИСНУЮ КНИЖКУ ИНЖЕНЕРАщий запас по фазе.
Для оценки запаса по усилению сначалас помощью ФЧХ находят частоту ω180, на которой фазовыйсдвиг равен 180°, затем по АЧХ находят запас по усилению.На рис. 15 приведены примеры графических построений дляоценки запаса по усилению и фазе для системы, годографыкоторой показаны на рис. 13.Если запас по фазе разомкнутого контура равен 0° или запас по усилению равен 1, после замыкания контура обратнойсвязи система окажется неустойчивой.Функции чувствительностиПередаточная функция реального объекта P(s) может изменяться в процессе функционирования на величину ΔP(s),например, вследствие изменения нагрузки на валу двигателя, числа яиц в инкубаторе, уровня или состава жидкости вавтоклаве, вследствие старения и износа материала, появления люфта, изменения смазки и т.п.
Правильно спроектированная система автоматического регулирования должна сохранять свои показатели качества не только в идеальных условиях, но и при наличии перечисленных вредных факторов.Для оценки влияния относительного изменения передаточной функции объекта ΔP/P на передаточную функцию замкнутой системы Gcl [1]y (s ) =P (s )R (s )P (s )R (s )r (s ), G cl (s ) =1 + P ( s )R ( s )1 + P ( s )R ( s )(8):найдём дифференциал dGcldGcl =d ⎛ PR ⎞RRP dPdP =.⎜⎟ dP =2dP ⎝ 1 + PR ⎠(1 + PR )(1 + PR )2 P(9)Поделив обе части этого равенства на Gcl и подставив вправую часть Gcl = PR/(1+PR), получим:dGcldPdP1==S.GclP(1 + PR ) P(10)Из (10) виден смысл коэффициента S – он характеризуетстепень влияния относительного изменения передаточнойфункции объекта на относительное изменение передаточной функции замкнутого контура, то есть S является коэффициентом чувствительности замкнутого контура к вариации передаточной функции объекта.
Поскольку коэффициент S = S(jω) является частотнозависимым, его называютфункцией чувствительности [2].Как следует из (10),1S=.(11)1+( PR )Введём обозначение:T = 1− S =PR.1 + PR(12)Величина T называется комплементарной (дополнительной) функцией чувствительности [2], поскольку S + T = 1.Функция чувствительности позволяет оценить изменениесвойств системы после замыкания обратной связи. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы равна G =PR, а замкнутой Gcl = PR/(1+PR), то их отношение Gcl/G = S.Аналогично для разомкнутой системы передаточная функция от входа возмущений d на выход замкнутой системы равна (см.
[1]) P(s)/(1 + P(s)R(s)), а разомкнутой – P(s), следова93СТА 4/2007www.cta.ru© 2007, CTA Тел.: (495) 2340635 Факс: (495) 2321653 http://www.cta.ruВ ЗАПИСНУЮ КНИЖКУ ИНЖЕНЕРАзванных изменением нагрузки (например, при изменении загрузки печи меняются её постоянныевремени), технологическим разбросом параметров иих старением, внешними воздействиями, погрешностями вычислений и погрешностью модели объекта. Используя понятие чувствительности, можносказать, что робастность – это низкая чувствительность запаса устойчивости к вариации параметровобъекта.Если параметры объекта изменяются в небольшихпределах, когда можно использовать замену дифференциала конечным приращением, влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы можно оценить с помощьюфункции чувствительности (10). В частности, можно сделать вывод, что на тех частотах, где модульРис.
16. Функции чувствительности для системы с годографами, показаннымифункции чувствительности мал, будет мало и влияна рис. 13ние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы и, соответственно, на зательно, их отношение также равно S. Для передаточнойпас устойчивости.функции от входа шума измерений n на выход системы можДля оценки влияния больших изменений параметров объно получить то же отношение S.екта представим передаточную функцию объекта в виде двухТаким образом, зная вид функции S(jω) (например,слагаемых:рис. 16), можно сказать, как изменится подавление внешних воздействий на систему для разных частот после замы(17)P = P0 + ΔP ,кания цепи обратной связи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
