Физические основы методов исследования наноструктур (1027625), страница 39
Текст из файла (страница 39)
рис.6.8).Рис.6.8. Схема дифракции Брегга–Вульфа на атомных плоскостях кристалла с межплоскостным расстоянием d. Показаны падающий и отраженный лучи для двух соседнихплоскостей. Разность хода равна2 d sin θ 80)Альтернативным описанием дифракции является описание Лауэ. Пусть на кристалл падает плоская волна с волновым векторомG 2π G Gk=n ( n – единичный вектор, задающий направление распро-λстранения волны), которая после рассеяния имеет волновой векторG 2π GGk′=n ′ . Обозначим через d вектор, соединяющий две парал-λлельные атомные плоскости, от которых происходит отражение, инаправленный по нормали к данным плоскостям.80)Н. Ашкрофт, Н.
Мермин, Физика твердого тела. – М.: Мир, 1979.238Рис.6.9. Иллюстрация к описанию дифракции Лауэ. Показаны падающий и отраG GGGженный лучи с волновыми векторами k = n ⋅ 2π / λ и k ′ = n′ ⋅ 2π / λ соответственно. Разность хода лучей, рассеянных на двух точках, отстоящих друг от другаG G Gна расстоянии d, составляет d ⋅ ( n − n′) 81)Тогда, как видно из рис.6.9, разность хода волн, отраженных отдвух атомных плоскостей, можно представить в видеGG GG G G Gd cos θ ′ + d cos θ = dn ′ − dn = d (n ′ − n ) .(6.10)В соответствии с условием Брегга-Вульфа (6.9) из выражения (6.10)следует:G G Gd ( n ′ − n ) = mλ .(6.11)GПоскольку вектор d совпадает с вектором трансляции прямой реGшетки R , то выражение (6.11) можно переписать в видеG G GR( k ′ − k ) = 2πm .(6.12)Сравнивая выражения (6.12) и (6.8) получаем, что разность волновых векторов падающей и отраженной волны совпадает с векторомтрансляции обратной решетки кристалла:G G Gk ′ − k = g hkl .(6.13)Выражение (6.12) отражает закон сохранения импульса при упру-GGGгом рассеянии k ′ = k + g hkl .
Закон сохранения энергии при этомзаписывается как k ′ 2 = k 2 .Графическое представление дифракции в описании Лауэ основано на построении сферы Эвальда (рис.6.10). В пространстве обратной решетки строятся волновые векторы падающей и отраженной волны, причем конец волнового вектора падающей волны по-239мещают в начало координат обратной решетки (т.е. в точку, дляG GGкоторой вектор трансляции обратной решетки g ≡ g hkl = g 000 ).Поскольку направление падающей волны известно, то такое построение однозначно задает точку Р, в которой располагается нача-GGло векторов k и k ′ .
На рис.6.10 представлена обратная решеткадля прямой кубической решетки с межатомным расстоянием (постоянной решетки) d. Период обратной решетки составляет приэтом 2π / d . Сферой Эвальда называется сфера радиуса k с центром в точке Р.Рис.6.10. Построение сферы Эвальда для дифракциина кристалле с простойкубической решеткой имежатомным расстояниемd. Волновой вектор паGдающего луча k 0 показанв том же масштабе, что исхема обратной решетки.GКонец вектора k 0 помещается в начало координат(000) обратной решетки.Сфера с радиусом k 0 ицентром в начале координат называется сферойЭфальда.
Если какая-либоточка обратной решеткиоказывается лежащей насфере Эвальда, то удовлетворяется дифракционное условие Брегга. При этом волновой вектор дифрагироGвавшего электронного луча равен k ′ . В показанном примере условие дифракцииGвыполняется лишь для одного единственного луча. Здесь 2θ – угол рассеяния, g– вектор обратной решетки, (hkl) – индексы Миллера данной точки на сфереЭвальда [4]Тогда если какая-либо точка обратной решетки А с координатами (hkl) попадает на сферу Эвальда, то для нее автоматически выполняется условие дифракции Брегга-Вульфа в записи Лауэ (6.12).Каждой такой точке можно сопоставить дифрагировавший луч, который образует точечный рефлекс на дифракционной картине.
Как240видно, этому условию удовлетворяет достаточно малое число точекобратной решетки.6.3.2. Дифракция на двумерной решеткеПри рассмотрении задачи о дифракции на двумерной периодической структуре также воспользуемся процедурой построениясферы Эвальда. Обратная решетка для двумерного кристалла будетпредставлять собой набор параллельных стержней. Это объясняетсятем, что при образовании поверхности периодичность в направлении, перпендикулярном к поверхности, нарушается, т.е. расстояниеd → ∞ . При этом расстояние между точками обратной решеткиd * = 2π / d → 0 , т.е. набор точек вырождается в прямую.
Нарис.6.11 представлена сфера Эвальда и обратная решетка для двумерной квадратной решетки. Напомним, что в отличие от двумерного рисунка, где сфера представлена окружностью, в действительности картина является трехмерной!Рис.6.11. Применение построения сферы Эвальда длярешения задачи о дифракцииэлектронного луча на двумерной квадратной решеткеатомов со стороной а. В данном примере могут возникнуть семь упругорассеянныхдифрагированныхлучей,если падающий пучок имеетволновой векторGk0и падаетпод углом ϕ к поверхностной нормали. Четыре лучарассеиваются обратно отповерхности кристалла, а трилуча входят внутрь кристалла. На самом деле число лучей будет больше семи, поскольку на рисунке показаны только лучи, лежащие в плоскости падающего пучка.На вставке приведена схема рассеяния в реальном пространстве [4]По аналогии с рассуждениями, проведенными для трехмерногослучая, получаем, что дифракционную картину будут давать лишь241Gте лучи (обозначаемые волновыми векторами k i ), которые проходят через точки пересечения сферы Эвальда со стержнями обратнойрешетки.
На рис.6.11 таких лучей будет семь, однако в действительности их намного больше, поскольку мы изобразили лишь телучи, которые лежат в плоскости падающего луча. Из семи изображенных лучей три будут рассеянны вперед внутрь кристалла, а четыре рассеются обратно и дадут дифракционную картину(рис.6.12).В силу потери периодичности поверхностной решетки вдольнормали к поверхности законы сохранения импульса и энергии вслучае дифракции на двумерной решетке имеют вид:G G Gk ||′ = k || + g hkиk ′2 = k 2 .(6.14)Здесь символом || обозначена составляющая волнового вектора, па-GGGраллельная поверхности, а g hk = ha * + kb * – вектор трансляцииобратной поверхностной решетки с основными векторамиGGG2π G G G * 2π G Ga* =b ×n и b =n × a ( S = ab ).
Нормальная к поверхноSSсти составляющая волнового вектора падающего излучения притаком рассеянии не сохраняется. С учетом того, что k || =k ||′ = k sin(π − ϕ − 2θ ) =2πλλλsin ϕ ,sin(2θ + ϕ ) , а g hk = h 2 + k 2 , то за-кон сохранения импульса принимает вид:2π2πsin(2θ + ϕ ) =2πλsin ϕ +2πdh2 + k 2 .Отсюда легко получить выражение для межатомного расстояния d:d=λ h2 + k 2.sin( 2θ + ϕ ) − sin ϕ242(6.15)Рис.6.12. Дифракционная геометриядля рассеяния на поверхностной решетке кристалла при угле падения ϕ ,азимутальном угле ψ и угле рассея-ния 2θ .
Показан падающий луч, двадифрагированных луча, рассеянныхобратно от поверхности кристалла, двадифрагированных луча, рассеянныхвнутрь кристалла, и прошедший луч[4]Для нормального падения ( ϕ = 0 ) имеемd=λ h2 + k 2.sin( 2θ )(6.16)Таким образом, измеряя брегговский угол, определяемый расположением рефлексов на получаемой дифракционной картине, изная длину волны падающего излучения, можно найти межатомноерасстояние.В общем случае выбор используемого излучения основываетсяна удовлетворении условия дифракции, т.е. сравнимости длиныволны излучения с межатомным расстоянием в кристалле d ~ 3 Å.Для электромагнитного излучения данному условию удовлетворяютрентгеновскиеквантысэнергией1÷10кэВ:−1510( E hv = hv = hc / λ ~ hc / d ~ 4.15 ⋅ 10 эВ⋅ с ⋅ 3 ⋅ 10 см/с ~ 4 кэВ ).3 ⋅ 10 -8 смРентгеновское излучение используется в методе рентгеноструктурного анализа объемных кристаллов.Для пучка электронов энергия должна составлять 10÷200 эВ:243E e = p 2 / 2m e = h 2 / 2m e λ 2 ~ h 2 / 2m e d 2 ~6.62 2 ⋅ 10 −68 Дж 2 ⋅ с 2 ⋅ 1.62 ⋅ 10 -19 Кл~ 20 эВ .2 ⋅ 9.1 ⋅ 10 -31 кг ⋅ 9 ⋅ 10 - 20 м 2На этом принципе основаны методы дифракции медленных ибыстрых электронов.В качестве излучения можно также использовать пучок «тепловых» нейтронов с энергиями 0.1÷0.01 эВ:~6.62 2 ⋅ 10 −68 Дж 2 ⋅ с 2 ⋅ 1.62 ⋅ 10 -19 Кл~ 0.01 эВ .2 ⋅ 1.7 ⋅ 10 -27 кг ⋅ 9 ⋅ 10 -20 м 2Преимущества использования для исследования структуры поверхности электронного пучка перед нейтронным и рентгеновскимизлучением заключается в простоте его фокусировки, большом сечении рассеяния (рис.6.13) и малой глубине проникновения электронов с данными энергиями в образец (длина свободного пробега~ 5÷10 Å).E n ~ 2m n d 2 ~Рис.6.13.
Примерные зависимостиамплитудатомного рассеяния отэнергии электронов ирентгеновскихквантовдля случая алюминия. Помере возрастания амплитуды рассеяния электронов средняя глубина анализируемого слоя убывает[4]6.4. Аппаратура, геометрия и структурныеэффекты в ДМЭСхема экспериментальной установки для дифракции медленныхэлектронов представлена на рис.6.14. В данной геометрии исполь-244зуется нормальное падение электронов на поверхность образца( ϕ = 0 ) при энергии электронов E 0 = 10 ÷ 500 эВ и токе в падающем электронном пучке 1÷2 мкА с диаметром пучка 0.1÷1 мм.Рис.6.14. Схема установкидля ДМЭ. Электронныйпучок падает по нормали кповерхности образца, адифрагированныеподразличными углами электроны проходят черезсистему задерживающихсеток 1–3 и попадают нафлюоресцентный экран,формируя дифракционноеизображение в виде светящихся рефлексов.
Экрани сетки представляют собой сферические секции,общий центр которыхнаходится на поверхностиобразца в той точке, кудападает первичный электронный пучок. Нить накала электронной пушки находитсяпод отрицательным потенциалом − V p , определяющим кинетическую энергиюпервичного электронного пучка KE = eV p . В области между заземленными образцом и сеткой 1 электроны движутся свободно. На задерживающие сетки 2 и 3подается отрицательный потенциал − V p + ΔV , создающий барьер для неупругорассеянных электронов с энергиями KE < eV p , а на флюоресцентный экран –ускоряющее положительное напряжение +5 кВ (рис.6.15) [4]На нить накала электронной пушки подается отрицательное напряжение − V p , а между заземленным образцом и полусферическим флуоресцентным экраном, визуализирующим дифрагированные электронные пучки, устанавливаются три замедляющие сетки,из которых внутренняя заземлена, а две внешних находятся под потенциалом, немного меньшим потенциала нити накала − V p + ΔV( ΔV << V p ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
