Физические основы методов исследования наноструктур (1027625), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ячейки. Квадратныеграни октаэдра рассекают пополам отрезки прямых, соединяющих центральнуюточку с центральными точками каждой из шести соседних кубических ячеек 78)Отметим, что элементарная ячейка содержит только одну точкурешетки Браве, поэтому объем любой элементарной ячейки независимо от ее определения равен обратной плотности точек в решеткеV0 = 1 / n .Условная элементарная ячейка – область, которая заполняетвсе пространство без перекрытия, будучи подвергнутой трансляциям, принадлежащим некоторому подмножеству всех трансляций,78) Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела. – М.: Мир, 1979.231образующих решетку Браве.
Таким образом, условная ячейка может не совпадать с элементарной и не обязательно содержит однуточку решетки. Обычно условную ячейку выбирают больше элементарной таким образом, чтобы она обладала необходимой симметрией. Так, для о.ц.к. решетки условной ячейкой является кубическая, в то время как элементарная ячейка имеет более сложнуюструктуру (см. рис.6.1, б). В то же время для простой кубическойрешетки элементарная и условная ячейки совпадают.Величина, определяющая характерный размер условной ячейки,называется постоянной решетки.
Таким образом, постоянная решетки может быть больше, чем минимальное расстояние междуатомами в кристаллической решетке.Ячейка Вигнера–Зейтса – это элементарная ячейка с центром внекоторой точке решетки и занимающая область пространства, лежащую ближе к данной точке, чем к остальным. Для о.ц.к. решеткиБраве ячейка Вигнера–Зейтса представляет собой «усеченный октаэдр», вписанный в куб условной ячейки (см. рис.6.1, в).Для каждой решетки Браве можно построить обратную решетку, образованную множеством точек с радиусами-векторами (векторами трансляции обратной решетки) :GGGHg = ha * + kb * + lc * ,(6.2)где основные векторы обратной решетки определяются соотношениями :G(G ) GG2π G Ga* =b ×c ,VG2π G Gb* =c ×a ,V2π G GKc* =a ×bV(6.3)(6.4)(6.5)и V = a × b ⋅ c . Вектор трансляции обратной решетки имеет разGGмерность волнового вектора и описывает плоскую волну exp(igr ) ,обладающую периодичностью прямой решетки Браве. Из условияпериодичностиGGG G Gexp(igr ) = exp(ig (r + R))GGследует, что exp(igR) = 1 и232GGgR = 2πm ,(6.6)где т – целое число.
Тогда из выражений (6.1) и (6.2) получаем2π (hα + kβ + lγ ) = 2πm .Следовательно, сумма произведений hα + kβ + lγ является целымчислом. Поскольку числа α , β и γ могут быть любыми целымичислами, то и h, k и l также являются целыми числами.Элементарная ячейка Вигнера–Зейтса для обратной решетки называется первой зоной Бриллюэна. В качестве примера на рис.6.1, гпоказана первая зона Бриллюэна для о.ц.к. решетки Браве.6.2.2.
Двумерные кристаллические решеткиПоверхность представляет собой разрыв трехмерной периодичности кристалла в одном из направлений. По аналогии с трехмерным случаем кристаллическую решетку поверхности характеризуют двумерным вектором трансляцииGGGR s = αa s + βbs ,(6.7)GGгде векторы a s и bs называются основными векторами поверхностной решетки. Анализ свойств симметрии двумерных системприводит к пяти различным типам поверхностных решеток Браве:1) квадратная (с осью вращения четвертого порядка), для которой основные векторы равны по модулю ( a s = bs ), а угол междуними составляет ϕ = 90 D ;2) прямоугольная ( a s ≠ bs , ϕ = 90 D );3) прямоугольная центрированная ( a s ≠ bs , ϕ = 90 D );4) гексагональная (с осью вращения шестого порядка,a s = bs , ϕ = 60D );5) косоугольная ( a s ≠ bs , ϕ ∀ ).Изображения ячеек данных решеток приведено на рис.6.2.233Рис.6.2. Пять типов поверхностных решеток Бра-GGве.
Векторы a s и b s –основные векторы решеткиБраве, ϕ – угол междуними. Элементарные поверхностные ячейки закрашены [5]Рис.6.3. Некоторые возможные способывыбора примитивной ячейки для двумерной (поверхностной) решетки Браве 79)Рис.6.4. Ячейка Вигнера–Зейтса для двумерной(поверхностной) решетки Браве. Шесть сторонячейки рассекают пополам отрезки прямых, соединяющих центральную точку с шестью соседними (эти отрезки показаны пунктиром) 79)Аналогично случаю трехмерной кристаллической решетки, длядвумерной (поверхностной) решетки также можно ввести понятияпримитивной или элементарной ячейки, условной элементарнойячейки, ячейки Вигнера–Зейтса и зоны Бриллюэна.
В качестве иллюстрации на рис.6.3 показаны четыре варианта выбора примитивной ячейки, а на рис.6.4 – ячейка Вигнера–Зейтса для косоугольнойповерхностной решетки Браве.79)Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела. – М.: Мир, 1979.2346.2.3. Индексы Миллера для атомных плоскостейОриентация любой плоскости может быть задана указанием вектора ее нормали. Поскольку для каждого семейства параллельныхатомных плоскостей трехмерного кристалла соответствующие имвекторы обратной решетки нормальны, то их используют для обозначения атомных плоскостей.
Например, для плоскости основныхG Gвекторов прямой решетки a , b вектор обратной решетки( )G GKK Gc * ~ a × b ⊥ a, b .( )Индексами Миллера для атомной плоскости называются координаты наименьшего вектора обратной решетки, перпендикулярного к данной плоскости, в системе координат, заданной основнымивекторами обратной решетки. Так, атомная плоскость с индексамиМиллера (hkl ) – это плоскость, перпендикулярная к вектору об-GKGратной решетки ha * + kb * + lc * .Индексы Миллера имеют простую геометрическую интерпретацию: они обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым данной атомной плоскостью на координатных осях прямой решеткикристалла, задаваемых ее основными векторами. Так, плоскостьG(100) отсекает единичный отрезок от оси, задаваемой вектором a ,GGи параллельна осям, задаваемым векторами b и c , а плоскость(111) отсекает отрезки единичной длины от всех трех координатных осей (рис.6.5).Рис.6.5.
Три атомные плоскости и их индексы Миллера для простой кубическойG G Gрешетки Браве. a , b и c – основные векторы решетки Браве 80)Для обозначения плоскости в прямой решетке используют индексы Миллера в круглых скобках (hkl). Если обозначают не кон-235кретную плоскость, а семейство эквивалентных для данного кристалла плоскостей, то индексы Миллера заключают в фигурныескобки {hkl}. Для кубической решетки эквивалентными плоскостями являются плоскости (100), (010) и (001), которые могут бытьобозначены как {100}.
Для обозначения направления в прямой решетке (т.е. вектора нормали к определенной плоскости) используютиндексы Миллера в квадратных скобках [hkl]. Семейство эквивалентных направлений обозначают индексами Миллера в угловыхскобках hkl . Черта над индексом Миллера обозначает знак «минус».Поскольку поверхность монокристалла совпадает с одной из егоатомных плоскостей, для ее обозначения также используют индексы Миллера. Например, поверхность кристалла каменной соли скубической решеткой может быть задана как NaCl (100). Иногдадля удобства в обозначении индексов Миллера используют избыточный векторный базис, т.е. систему координат, задаваемую болеечем тремя векторами.
Типичным примером является обозначениеплоскости гексагональной решетки высоко ориентированного пиролитического графита ВОПГ (0001) (рис.6.6, б).абРис.6.6. Кристаллическая решетка NaCl. Черные и белые шары обозначают ионыNа+ и Cl-. По отдельности черные и белые шары образуют две вставленных друг вдруга г.ц.к. решетки 80) (а); кристаллическая решетка высокоориентированногопиролитического графита (ВОПГ), состоящая из параллельных атомных слоев сгексагональной атомной структурой [5] (б).В общем случае, вследствие явления реконструкции поверхностная кристаллическая решетка может отличаться от двумернойрешетки соответствующей атомной плоскости в объеме трехмерно-236го кристалла. Соотношение между векторами трансляции поверхностной и объемной решеток задается матрицей преобразования М:GGR s = MR(6.8)илиG⎛ a s ⎞ ⎛ m11⎜⎜ G ⎟⎟ = ⎜⎜⎝ bs ⎠ ⎝ m 21Gm12 ⎞⎛ a ⎞⎟⎜ G ⎟.m22 ⎟⎠⎜⎝ b ⎟⎠Для обозначения реконструированной поверхности, а такжедвумерной решетки, образуемой на поверхности кристалла адсорбированными атомами, используют систему обозначений Вуда.
Согласно этой системе, если соотношение модулей векторов поверхностной и объемной решеток составляет a s = Na и bs = Lb , поверхностная решетка повернута на угол ϕ относительно объемной,то обозначение плоскости поверхности (hkl) материала Х имеет вид:X (hkl )( N × L )Rϕ D . Решетка адсорбированных атомов вещества Ана поверхности Х обозначается как X (hkl )(N × L )Rϕ D − A . Например, адсорбции кислорода на поверхности никеля Ni(110) приводитк образованию поверхностной решетки Ni (110 )c(2 × 2 ) − O , гдесимвол с обозначает центрированную решетку (рис.6.7).Рис.6.7. Структура поверхностнойцентрированнойпрямоугольной( )()Ni 110 c 2 × 2 − O ,решеткиобразуемой атомами кислорода,адсорбированными на поверхноGGсти никеля Ni(110). Здесь a s и b s– основные векторы поверхностGGной решетки Ni; a ′s = 2 a s иGGb s′ = 2b s – основные векторыповерхностной решетки, образуемой адатомами кислорода [4]2376.3.
Дифракция на кристаллической решетке6.3.1. Дифракция на трехмерной решеткеЯвление дифракции на решетке наблюдается в том случае, когдапериод решетки d сравним с длиной волны λ падающего излучения. Условие наблюдения дифракции при зеркальном отражении отпараллельных атомных плоскостей (рассеянии на угол 2θ ) – условие дифракции Брегга–Вульфа, – имеет вид:mλ = 2d sin θ ,(6.9)где т – целое число, а θ – угол Брегга (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
