Диссертация (1026045), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

В этом случае вместо зависимостей (П.2.16) и (П.2.17) координатыточки приведения силы резания P удобно задавать непосредственно внеподвижной системе координат C0 , X c0 ,Yc0 , Zc0  .П.2.2.4. Матричные уравнения вращения шпинделяМатрица моментов инерции шпинделя постоянна в системе координатC, Xc2 ,Yc2 , Zc2  , привязанной к шпинделю:где I, I0I 0 0  J ш     0 I 0  , Cc 2  0 0 I 0 – экваториальный и осевой моменты инерции, соответственно.Матрицы моментов инерции присоединённых масс mr и ms постоянны вподвижной системе координат C, X c2 ,Yc2 , Zc2  rYc 2 2  rZc 2 2rXc 2 rYc 2rXc 2 rZc 2 (r)  J CcrXc 2 2  rZc 2 2rYc 2 rZc 2  , 2   mr  rXc 2 rYc 2 r rrYc 2 rZc 2rXc 2 2  rYc 2 2 Xc 2 Zc 2 sYc 2 2  sZc 2 2s Xc 2 sYc 2s Xc 2 sZc 2 (s) 22 s s J Ccmsssss Xc 2 Yc 2Xc 2Zc 2Yc 2 Zc 2  . 2 s ssYc 2 sZc 2s Xc 2 2  sYc 2 2 Xc 2 Zc 2Матрица моментов инерции шпинделя с присоединёнными массами всистеме координат C, Xc1,Yc1, Zc1 J Cc1   Ф  J Cc 2 Ф  ,Т(П.2.18)178шr  sгде  J Cc 2    J Cc 2    J Cc 2    J Cc 2   матрица  моментовинерциинеуравновешенного шпинделя в системе координат C, X c2 ,Yc2 , Zc2  .В матричном виде выражение (П.2.5) момента количества движениянеуравновешенногошпинделявсистемекоординатC, Xc1,Yc1, Zc1относительно точки C получено в виде KCc1    J Cc1  c1   Ф  J Cc 2 Ф   c1  .T(П.2.19)Уравнение (П.2.6) изменения количества движения относительно точкиC в матричном виде M Cc1    M Ccgu1    K Cc1  ,гдеMCc1(П.2.20)- суммарный момент сил, приложенных к шпинделю (опорныереакции, силы резания, момент электродвигателя, трение...) относительно точкиguC, M Cc- момент сил тяжести и инерции от переменного смещения точки C1на вектор uC относительно точки CM Ccgu1    Rc1 mr   S c1 ms   g c1   uCc1 ,где  g c1   0 g 0T(П.2.21)- вектор столбец удельной силы тяжести;  Rc1  ,  Sc1  -матрицы тензоров, для которых r и s будут сопутствующими векторами.Производная момента количества движения в уравнении (П.2.17)получена с учётом (П.2.11):M Cc1   M Ccgu1   Wc1 Ф  J c 2 Ф  c1  TФ  J c 2 Ф  Wc1 c1  Ф  J c 2 Ф   c1  .TTДанное уравнение можно упростить, так как Wc1   c1  0 .

Оставим вTлевой части слагаемые с производными по времени Rc1 mr   Sc1 ms uCc1    J Cc1   M Cc1  Wc1  J Cc1 c1    Rc1 mr   Sc1 ms  g c1 .(П.2.22)179П.2.2.5. Поступательное движениеУравнение (П.2.4), описывающие движение центра тяжести шпинделя вматричной форме выглядит так: Fc1  m  mr  ms gc1 uCc1  mr rc1  ms sc1 ,тутFc1(П.2.23)- вектор проекций на оси X c1 ,Yc1 , Zc1 суммы внешних сил (опорныхреакций, резания, …); uCc1 - ускорение центра тяжести шпинделя, точки C,относительно его центрального состояния;присоединённыхмассвсистемеrc1sc1и- ускоренияC, Xc1,Yc1, Zc1 .отсчётаУскоренияприсоединённых масс в системе отсчёта C, Xc1,Yc1, Zc1 могут быть определеныкак в матричном виде  r  rc1   Wc1   Wc1   rc1    Rc1 T   c1  ,r  ω  ω  r   ωs  ω ω  s  ω  s  s   W   W   s    S T    ,c1гдеWc1 ,  Rc1 ,  Sc1  матрицыc1тензоровc1c1видаc1ωE ,(П.2.24)c1rEиs E,соответственно, а координаты векторов rc1 и sc1 определяются по матрицеповорота  Lrc1   Ф rc 2   Ф r0 c 0  ,sc1   Ф  sc 2   Ф s0 c 0  .(П.2.25)Уравнение (П.2.23) с учётом (П.2.24) примет видFc 0   m  mr  ms gc 0  uCc0  Wc0 Wc 0 mr rc0   ms s0    Rc 0 mr  Sc 0 ms   c 0 .TОставим в левой части слагаемые с производными по времениm  mr  ms uCc0    Rc0 mr  Sc0 ms   c 0 TFc0   m  mr  ms  g Wc 0 Wc0 mr rc0   ms sc 0 .(П.2.26)180П.2.2.6.

Полная система уравнений динамики шпинделя с учётомдинамической неуравновешенностиУравнения (П.2.15), (П.2.22) и (П.2.26) описывают пространственнуюдинамику шпинделя с динамической неуравновешенностьюКинематические соотношения (П.2.15)1 x  1 0  y   Xc 0      0 1      .x  Yc 0  y  1    Zc 0  z  0 0Уравнения изменения момента количества движения (П.2.22) Rc0 mr   Sc0 ms uCc0    J Cc0  c 0   M Cc 0  Wc 0  J Cc 0 c 0    Rc 0 mr   Sc 0 ms g c 0 .Дифференциальныеуравнениявторогопорядка,описывающиеизменение импульса движения (П.2.25)m  mr  ms uCc 0    Rc0 mr  Sc0 ms   c 0 TFc0   m  mr  ms  gc0  Wc0 Wc0 mr rc 0   ms sc 0 .Таким образом, получена система дифференциальных уравненийдинамикишпинделядвенадцатогопорядкаотносительнодвенадцатинеизвестных.

Представление её упрощается в матрично-блочном виде. ВведёмuCc 0  x  qV    Cc 0  , где    y  , VCc0 uCc0  .вектор состояния шпинделя 12 1    z  c 0 Уравнения динамики шпинделя можно записать в виде181 E   0 00 0   0  A22   0  A24  0  0  0  A   0  q    033  0  A   0  A  04244 1212 E  00 00 00 01212 0  0  0 Q2  E  q   0 Q 0 4121(П.2.27)или кратко  Aq  Bq  QНиже приведены блоки размерностью (3х3), составляющие матрицыкоэффициентов  A ,  B и компоненты (3х1) вектора Q .0  0 0 0 ,T 0 0 0 1 0 0 0  0 0 0 ,  E   0 1 0 , 0 0 0 0 0 1 A22  m  mr  ms  E, A24   mr  Rc1   ms  Sc1 T1 0  y  A33   0 1  x  ,0 01  A42   mr  Rc1   ms  Sc1 ,, A44   JCc1 ,Q2   Fc1   Wc1 Wc1 mr rc1   ms sc1   m  mr  ms  gc1  ,Q4   M Cc1   Wc1  J Cc1 c1    Rc1 mr   Sc1 ms gc1 .Система уравнений (П.2.27) должна быть дополнена выражениями длявычисления сумм силFc0и моментов силMCc0относительно точки C,приложенных к шпинделю, правилами вычисления векторовrc0иsc0(П.2.24) и матриц  Rc0  и  Sc0 , а также начальными условиями для решениязадачи Коши.Данныеуравнениясвязанымеждусобойзасчётинерциинеуравновешенных масс, гироскопических моментов, переменной матрицы182моментовинерциидифференциальных JCc0 иуравненийнемогутменьшегобытьпорядкасведеныбезксистемедополнительныхдопущений.

Система уравнений (П.2.27) выведена с предположением малостиуглов поворота  x , y и угловых скоростей  Xc 0 , Yc0 . Это учитывалось привыводе уравнения (П.2.15). Если их заменить на зависимости (П.2.10), томожно будет рассматривать вращательно-поступательную динамику твёрдоготела с 6-ю степенями свободы и значительными поворотами. Одиннадцатьпараметров,характеризующихмассово-инерционныехарактеристики,позволяют описать произвольную динамическую неуравновешенность твёрдоготела. Но при этом надо учитывать "проблему больших поворотов" при углах  xи y близких к π/2.Угол  z не ограничен.183П.3. Примерыиспользованияполной2Dмоделисферическойаэростатической опорыВ этом приложении характерные решения демонстрируют влияниеотдельных кинематических факторов на распределение давления в смазочномслое.

На этих примерах оценены возможности расчёта аэростатическихсферических опор в программной среде COMSOL Multiphysics в нелинейнойпостановке. Для простоты расчёты проведены в полной «2D» постановке безучёта производной давления по времени (истории нагружения) в уравнении(2.11). С историей нагружения, в «2D+t» постановке, влияние линейнойскорости шпинделя на распределение давления и число Маха меньше.П.3.1. Последовательность расчёта опоры по полной модели1. Определяется состояние опоры следующими факторами: избыточноедавление подачи pe=ps-patm, проекции смещения u Aa  и скорости VAa центра сферы А, а так же проекции угловой скорости  a  в системекоординат  A, X a , Ya , Z a  .2. Задание расчётной области и граничных условий.3.

Формирование сетки конечных элементов.4. Вычисление в узлах сетки коэффициентов по формулам (2.6)… (2.10).5. Описание опций нелинейного решения.6. Расчёт давления в узлах сетки.7. Проверка физических гипотез, по числам Маха (2.1), (2.14) и Кнудсена (2.2).8. Вычисление силовых и моментных реакций опор (2.19) и расхода воздухапо (2.15) или (2.16).Для примеров взято давление подачи ps=591825 Па, (изб. давление pe=5кГс/см2). Расчётная область - прямоугольник - в осях φ, θ. Сетка содержала 2560шестиузловыхтреугольныхэлементов(Рис.П.3.1)сквадратичнымифункциями формы, обеспечивающими непрерывность давления, но не егопроизводных.184Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации