Диссертация (1026045), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Первое слагаемое в квадратной скобке преобразуемс учётом (2.7)R2Mz 2 max sin    p e min z R1 sin   h  u3 min i y u x  e r  i x u y  d d   max4r0A  erd d   max 1Fy  pu x  Fx  pu y    z R 4 2min(П.2.2)sin  3 h u0A  erd d  ,170pгде Fxи Fy p  компоненты проекций опорных реакций полусферы на осиAX a и AYa , посчитанные по формуле (2.19) только от давления воздуха p (при y   y  0 ). В аэростатическом режиме работы при смещениях существенно p Kux ,меньше зазора u  h0 можно линеаризовать опорные реакции FxFy p  Ku y тут K - радиальная жёсткость опоры. Тогда полученное выражениезаметноупрощаетсясh0 u  er  h0 ,учётом1KFy д u x  Fx дu y   u x u y  u x u y   0 .22Окончательноеупрощённоевыражениедлямоментавязкогосопротивления одной аэростатической опоры2 z R 4Mz h0Данноевыражениеявляется max sin  d .3(П.2.3) minаналогомформулыПетровадлясферического пояса с постоянной толщиной.П.2.2.

Вывод уравнений движения шпинделяП.2.2.1. Исходные уравнения динамики шпинделяТеорема об изменении количества движения в тензорном видеC  mr uC r  ms uC sFA  FB  FP m  mr  ms  g  muC   mrr  mss,или FA  FB  FP m  mr  ms g u(П.2.4)где FA и FB - реакции опор; FP  сумма остальных сил; g - ускорение силыC ускорение центра тяжести шпинделя C; r,s  ускорениятяжести; uприсоединённых масс mr и ms .171Кинетический момент количества движения K C относительно центратяжести C определён через тензор инерции шпинделя с присоединённымимассами J C и угловую скорость ωKC  J C  ω.(П.2.5)Теорема об изменении кинетического момента K C ,MC + MCgu = KC(П.2.6)где MC  момент сил тяжести и инерции присоединённых масс от движенияguточки C на вектор uC относительно точки С 0; MC  суммарный момент сил,приложенных к шпинделю (опорные реакции, силы резания, моментэлектродвигателя, трение...), относительно точки С .C  g  s  ms uC  g,MCgu  r  mr u(П.2.7)Уравнения (П.2.4) и (П.2.6) не удобны для численного интегрирования.П.2.2.2.

Замена векторно-тензорных величин и операцийматричными аналогамиФизический вектор k может быть записан математическим вектором столбцом из проекций на оси некоторой системы координат, например локальной C, Xc1,Yc1, Zc1k Xc1  k  kc1    kYc1 . kZc1 Матрицы-столбцы указываются в фигурных скобках kc1 , а матрицытаблицы – в квадратных  B .Тензору DXc 2 Xc 2 Dc 2    DYc 2 Xc 2 DZc 2 Xc 2DставитсяDXc 2Yc 2DYc 2Yc 2DZc 2Yc 2всоответствиематрица D ,напримерDXc 2 Zc 2 DYc 2 Zc 2  в системе координат C, X c2 ,Yc2 , Zc2  .DZc 2 Zc 2 172Скалярномупроизведениювекторовитензоровсоответствуютматричные перемножения следующих видов:a Xc 0  bXc 0  Tk  b  k c 0  bc 0    aYc 0   bYc 0  ,  a Zc 0   bZc 0  DXc 2 Xc 2 DXc 2Yc 2 DXc 2 Zc 2 bXc 2  D  b   Dc 2 bc 2    DYc 2 Xc 2 DYc 2Yc 2 DYc 2 Zc 2   bYc 2  ,  DZc 2 Xc 2 DZc 2Yc 2 DZc 2 Zc 2  bZc 2  Tk Xc 0   D Xc 0 Xc 0 DXc 0Yc 0 DXc 0 Zc 0  Tk  D  k c 0   M c 0    kYc 0   DYc 0 Xc 0 DYc 0Yc 0 DYc 0 Zc 0  ,  k Zc 0   DZc 0 Xc 0 DZc 0Yc 0 DZc 0 Zc 0 TN  D  Nc1  Dc1 .Отметим, что выполнение этих операций с матричными аналогамифизических векторов корректно проводить только, если проекции векторов итензоров записаны в одной системе координат.Для описания векторных произведений вектора d на вектор или тензорудобно ввести в рассмотрение матрицуD = d×E  E×d Dc1кососимметричного тензора, для которого, вектор d будет сопутствующим вектором ( E -единичный тензор).

Так для вектора d c1   d Xc1dYc1d Zc1  матрица  Dc1 T 0d Zc1 dYc1 0d Xc1  . В книге В.П. Журавлева [141] подобнаяимеет вид  Dc1    dZc1dYc1 d Xc10 матрица Wc0  , построенная для вектора угловой скорости ω, называетсяматрицей угловой скорости, однако общепринятого названия операциипостроения матрицы такого вида для произвольного вектора ещё нет.d× b   Dc1 bc1  ,b × d   Dc1  bc1    Dc1 bc1  ,Td×B   Dc1  Bc1 ,B×d   Bc1  Dc1 .173Диадноесоответствующихпроизведениевектороввектор-столбцовaиматричнымbописываетсяпроизведениемдляпослетранспонирования второго вектораa  b  ac1 bc1  .TП.2.2.3. Описания кинематики поворота вокруг точки СОсисистемыкоординатC, Xc2 ,Yc2 , Zc2 вращаютсявместесошпинделем и проходят через его центр масс C .

Проекции векторов a, b, r, s наоси данной системы координат постоянны и равны известным проекциям этихвекторов в начальный момент времени ac 2  t 0 , bc 2  t 0 , rc 2  t 0 , sc 2  t 0 . Всистемах координат C, Xc1,Yc1, Zc1 и C0 , Xc0 ,Yc0 ,, Zc0  проекции этих векторовописаны с помощью матрицы поворота Ф  , напримерr0 c1   r0 c 0   Ф rc 2   Ф rc 2  t 0 .Матрица поворотаФ получена перемножением матриц частныхповоротов относительно осей СX c1 , СYc1 , СZc1 [141]100  cos  yФx   0 cos  x sin  x  , Ф y    0 sin 0 sin  x cos  x ycos  z  sin  z 0,Фsincos0 z zz 001sin  y 0  и0 cos  y 01(П.2.8)соответственно.

Описание поворота физических векторов осуществляется спомощью трёх последовательных поворотов вокруг неподвижных осей C, Zc1 ,C,Yc1 , и C, X c1 , соответственно. Окончательный вид матрицы поворотаФ   Фx  Ф y  Фz  .(П.2.9)Относительная скорость точек шпинделя определяется векторомугловой скорости ω. Уравнения кинематической связи проекций вектора174угловой скорости и углов поворота можно получить, записав скорость ω  рточки шпинделя P:d р0 c1   Ф   рc 2   Wc0 Ф  рc 2 dtФ   Wc 0 Ф   Ф  Ф  Ф  x  y  z  Wc 0 Ф  ,или Ф  xy(П.2.10)zгде Wc0  матрица, соответствующая тензору ω  E , записанная в системекоординат C0 , X c0 ,Yc0 , Zc0  .

В обратных задачах динамики вращения твёрдоготела вокруг точки при заданных силовых воздействиях требуется найтизависимость углов поворота от времени. При заданных углах  x , y ,  z иугловой скорости ω можно найти производные углов поворота, рассматриваяматричное уравнение (П.2.10). Фактически, оно является системой из 9-тиалгебраических уравнений. В большинстве случаев ранг этой системыравняется 3 и задача определения производных углов поворота разрешима.

Принекоторых положениях углов  x , y и  z малыми изменениями угловповорота нельзя описать изменения положений шпинделя при некоторыхугловых скоростях. В этих случаях ранг системы алгебраических уравнений(П.2.10) становится меньше 3 и производные углов поворота определитьнельзя. Например, при  x   z  0 ,  y равны друг другу частные2 0 0 0Ф  Ф   .

Третья частная100производные матрицы поворотов x z 0 1 01 0 0 Ф   . В этом случае000производная матрицы поворотов имеет вид y  0 0 1 x и  z входят в уравнение (П.2.10) с одинаковыми множителями, и не могутбыть разделены. Иными словами, из матричного уравнения (П.2.10) можновыделить три несовместных алгебраических уравнения175 x   x   z , y   z ,z  0 .Подобная трудность называется "проблемой больших поворотов".Однако, при выбранной последовательности поворотов и малых углах  x , yданная трудность не возникает.П.2.2.3.1.

Выражение угловой скорости при малых углах перекоса14Углы перекоса оси  x и y имеют порядок h0R  10x 1,(П.2.11) y  1 .При вращении шпинделя с конечной скоростью малы и угловыескорости перекоса оси по сравнению со скоростью вращения(П.2.12)Xc0  Zc0  Zc2 ,Yc0  Zc0  Zc2 .Величины  x , y ,  Xc 0 , Yc0 считаются одного (первого) порядкамалости. Выражение для матрицы поворотов можно получить, упростив (П.2.8)с учётом (П.2.11) и (П.2.12)1 00  1Фx   0 1  x  , Ф y    00  x1 yy 0  ,0 1  sin  zcos  z01(П.2.13)cos  zysin  z x  .Ф   Фx  Фy  Фz    sin    cos   cos    sin 1 zyzxzyz xПроизводная матрицы преобразования координат, полученная поформуле (П.2.10) после отбрасывания слагаемых второго порядка малости  Zc 0 sin  zФ   W Ф     Zc 0 cos  z    x Zc 0 Yc 0Связьпроекций Zc 0 cos  z Zc0 sin  z y  Zc 0   Xc 0вектораугловой Xc 0 sin  z  Yc 0 cos  z  Xc 0 cos  z  Yc 0 sin  z 0скорости Xc 0 , Yc0 ,производных углов поворота шпинделя  x , y ,  zсопоставляя (П.2.13) и (П.2.14):Т(П.2.14) Zc 0иможно получить,176 Xc0  1 0  y  x    0 1    .(П.2.15)x y  Yc0   Zc0  0 0 1  z Следует отметить, что система уравнений (П.2.15) совместна при любыхмалых углах  x , y и "проблема больших поворотов" не наступает.П.2.2.3.2.

Смещения и скорости центров сфер и точки приведениявнешних силДля вычисления опорных реакций подшипников необходимо призаданном состоянии шпинделя вычислять проекции смещенийuAc0  , uBc0 (смещения центров сфер А , B ) и их скорости VAc0  , VBc0  на оси системыкоординатC0 , Xc0 ,Yc0 , Zc0  ,(Рис. 3.2). Силы резания (или сумму другихвнешних сил) считается приведённой к точке P, двигающейся вместе сошпинделем (Рис.

3.4). Из геометрии (Рис. 3.1) следуетu A = uC + a - a0 ,uB = uC +b - b0 ,uP = uC +p - p0 .Представим это соотношение в матричном виде в неподвижной системекоординат C0 , X c0 ,Yc0 , Zc0  и преобразуемu Ac 0   uCc0   ac0   a0 c0   uCc 0   Ф   E a0 c0  ,uBc0   uCc0   bc 0   b0 c0   uCc 0   Ф   E b0 c0  ,(П.2.16)uPc0   uCc0    pc0    p0 c 0   uCc0   Ф   E  p0 c 0  .Дифференцированием этого выражения с учётом (П.2.10) полученыформулы для скоростей точек шпинделяVAc0   uCc 0   ac0   uCc0  Wc0 Ф a0 c0  ,VBc0   uCc0   bc0   uCc0  Wc0 Фb0 c0  ,VPc0   uCc0    p c 0   uCc0   Wc0 Ф  p0c 0 .(П.2.17)177Точку приведения внешних сил удобно считать двигающейся вместе сошпинделем в некоторых случаях технологической обработки, например, прифрезеровании летучим резцом, установленным на шпинделе («fly cuttingmachining»).В других случаях точку резания можно считать двигающейсяотносительно шпинделя, например, при точении детали, закреплённой нашпинделе.

Характеристики

Список файлов диссертации