Диссертация (1026045), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Длявычисления опорных реакций используются неподвижные системы координатопор  A0 , X a ,Ya , Z a  , B0 , X b , Yb , Z b  , проходящие через центры сфер корпуса А0 иB0 в соответствии с Рис. 3.2.A0Xa↑↑C0Xc0A0Ya↑↑C0Yc0A0Za↑↑C0Zc0B0Xb↑↑C0Xc0B0Yb↑↓C0Yc0B0Zb↑↓C0Zc0Рис. 3.2. Неподвижные системы координат91Дляописаниядвиженияиспользованавспомогательнаясистемакоординат C , X c1 , Yc1 , Z c1  , смещающаяся поступательно вместе с центромтяжести шпинделя на вектор uC (Рис. 3.3).С0Xс0↑↑CXc1С0Yс0↑↑CYc1С0Zс0↑↑CZc1С0Zс0 | | A0B0СZс2 | | ABРис. 3.3.

Подвижные системы координатСистема координат C , X c 2 , Yc 2 , Z c 2  вращается со шпинделем. Ось CZ c 2соединяет центры его сфер А и B. При центральном положении шпинделя осисистемы C , X c 2 , Yc 2 , Z c 2  параллельны C0 , X c 0 , Yc 0 , Z c 0  .3.3. Описание кинематикиПоложение шпинделя определено вектором смещения центра тяжестиuCи тремяуглами поворотасистемыC , X c 2 , Yc 2 , Z c 2  относительноC , X c1 ,Yc1 , Z c1 .

Изменение положения радиус-векторов точек шпинделя,рассмотрено, как поворот вокруг оси Z c 1 на угол  z , поворот вокруг оси Y c 1 наугол  y и поворот вокруг оси X c 1 на угол  x . Углы  x и  y характеризуютмалый перекос оси шпинделя CZ c 2 , а угол  z - произвольный поворотшпинделя вокруг этой оси. Обобщёнными координатами шпинделя выбраныпроекции центра тяжестиuCXc 0 ,uCYc 0 ,uCZc 0на оси системы отсчётаC0 , X c 0 , Yc 0 , Z c 0  и углы  x ,  y и  z . В качестве обобщённых скоростей взятиипроекции центра тяжести VCXc 0  uCXc 0 , VCYc 0  uCYc 0 , VCYc 0  uCYc 0 и вектораугловой скорости ωXc0, ωYc0, ωZc0 на оси системы координат C0 , X c 0 , Yc 0 , Z c 0  .92ВекторобобщённыхфазовогосостоянияперемещенийишпинделяскоростейнасоставленосиизсистемыпроекцийкоординатC0 , X c 0 , Yc 0 , Z c 0  , а также из углов поворотаq  uCc 0 T121где    xyVCc0 TT c 0 TT(3.1), z  - вектор-столбец углов поворота C , X c 2 , Yc 2 , Z c 2 .TСмещение, скорость и ускорение любой точки шпинделя можновычислить по обобщённым координатам и их частным производным повремени.

Формулы для вычисления смещения, скорости и ускорения точекшпинделя,которыепотребуютсяприописаниидинамики(выводвприложениях П.2.2.3 и П.2.2.5).u A  uC  a  a 0 ,du A u A  u C  a ,dtd 2u A A  u C  a,udt 2u B  uC  b  b 0 ,du B u B  u C  b ,dtd 2u B, B  u C  budt 2u P  uC  p  p0 ,du P u P  u C  p ,dtd 2u P , P  u C  pudt 2u R  u C  r  r0 ,du R u R  u C  r ,dtd 2u R R  u C  r,udt 2u S  uC  s  s0 ,du S u S  u C  s ,dtd 2u S S  u C  s.udt 2(3.2)3.4.

Уравнения динамики шпинделя3.4.1. Силовое воздействие на шпиндельК шпинделю приложены реакции опор: силы FA, FB и моменты MA, MB,приведённые к точкам A и B; силы тяжести и инерции шпинделя иприсоединённых масс. Остальные факторы задаются равнодействующей силойFP и моментом MP, относительно точки Р (Рис. 3.4).93Рис. 3.4. Нагрузка, приложенная к шпинделюОпорные реакции FA , MA и FB , MB должны быть вычислены длякаждого момента времени в системах координат опор, A0 , X a ,Ya , Za  и B0 , X b , Yb , Zb  . Для этого могут быть использованы разработанные моделисферических аэростатических опор или линейная аппроксимацияFA K  u A  D  VA ,(3.3)где K – тензор позиционных сил, D – тензор сил, зависящих от скорости.Тензоры K и D могут быть получены по расчётам или экспериментально.3.4.2.

Уравнения динамики в тензорном видеТеорема об изменении количества движения шпинделя C  mr u C   C  s  ,FA  FB  FP  m  mr  ms  g  mur   ms u(3.4) C  r и u C  s ускорения точек C, R и S. Точками сверху C , uгде uобозначена производная по времени.Теорема об изменении момента количества движения вокруг точки С ,M C + M Cgu = KC(3.5)где MC - суммарный момент сил, приложенных к шпинделю (опорные реакции,силырезания,моментэлектродвигателя,остальныевнешниесилы),относительно подвижной точки С, M Cgu  момент сил тяжести и инерцииприсоединённых масс от переменного смещения точки С на вектор u C ; K C -94кинетический момент количества движения шпинделя с присоединённымимассами относительно точки С.3.4.3.

Уравнения динамики в матричном видеУравнения (3.4) и (3.5) представлены в матричном виде для численногоинтегрирования (вывод в приложении П.2.2) E   0 0 0 0   0  A22   0  A24  0  0  0  A   0  q   033  0  A   0  A  04244 12 12 E  00 00 00 012 12 0  0 Q2  0  E  q   0 Q 0  4 12 1(3.6)или кратко  A q    B q  Q где q  - вектор фазового состояния шпинделя; q  его производная повремени; а матрицы  A ,  B  и вектор Q  составлены из следующих блоков0 0 01 0 01 0  y  0  0 0 0 ,  E   0 1 0 ,  A33   0 1  x  ,0 0 00 0 10 01 0  0 0 0 ,T A22    m  mr  ms  E  , A24   mr  Rc1   ms  Sc1  A42   mr  Rc1   ms  Sc1  , A44    J Cc1  ,T,(3.7)Q2   Fc1 Wc1 Wc1 mr rc1  ms sc1  m  mr  ms  gc1 ,Q4   M Cc1 Wc1  J Cc1 c1   Rc1 mr  Sc1 ms  gc1 .где  Fc1 - матрица-столбец из проекций суммы векторов FA  FB  FP на осисистемы координат C , X c1 ,Yc1 , Zc1 ;  M Cc1 - матрица-столбец, составленная изпроекций векторной суммы M A  MB  MP  a FA  bFB  pFP на осисистемы координатC , X c1 ,Yc1 , Zc1 ;  Rc1  ,  Sc1  и Wc1  - кососимметричныематрицы размерностью (3х3), составленные из проекций векторов r, s и ω на95оси системы координат C , X c1 ,Yc1 , Zc1 по подобию выражения (П.2.15);  J Cc1  матрица моментов инерции, в соответствии с (П.2.18) из приложения П.2.2.4.Координаты векторов r, s и ω на оси системы координатC , X c1 ,Yc1 , Zc1вычисляются в соответствии с формулой (П.2.16) из приложения П.2.2.3.2.3.5.

Вычисление частот, коэффициентов демпфирования и формВ качестве примера в этом разделе описан модального анализауравновешенного, не вращающегося шпинделя на линейных опорах, описанныхв соответствии с (3.3). Уравнение динамики (3.6) записано в линейном видеq    A1 q ,(3.8)где матрица коэффициентов [A1] составлена по столбцам из значений q последовательной подстановкой в систему (3.6) векторов состояния вида{q1}  {1,0,...,0}T ,…,{q12 }  {0,...,0,1}T .121121Вектораформколебанийявляютсясобственными векторами матрицы [A1], а частоты f [рад·с-1] и коэффициентыдемпфированияλ[рад·с-1]–мнимымиидействительнымичастямисоответствующих собственных значения матрицы [A1].3.6.

Численная реализация динамической моделиЧисленное интегрирование уравнения (3.6) проводилось в программеMATLAB после задания начальных условий с помощью функции ode45,предназначеннойдлярешениязадачиКошиметодомРунге-Куттасадаптивным выбором шага по J.R. Dormand и P.J. Prince. При необходимостиможет быть использован другой решатель, использующий явные или неявныесхемыинтегрирования.НаРис.3.5приведенадифференциального уравнения по явной одношаговой схеме.схемарешения96t0 :q t0   q0 Вычисление при t iu Aa  , VAa  ,  Aa u Bb  , VBb  ,  Bb FAc 0  , FBc 0 M AAc 0  , M BBc 0  FPc 0 ti1 M CPc 0 ti1 Fc 0 ti1 M Cc 0 ti1 dq  A1  B q  Qdtti1  ti  tii  i 1qi1 ti1  Tqi (ti ) , i  1...

NРис. 3.5. Схема численного интегрирования уравнений динамики3.7. Примеры динамических расчётовВэтомразделеприведеныпримерыдинамическихрасчётов,демонстрирующие возможности применения разработанных моделей:прогнозирование: частот и демпфирований форм колебаний истатической жёсткости с разными расчётными моделями опор (раздел 3.7.1);оценка влияний остаточной неуравновешенности на уровеньбиений шпинделя (раздел 3.7.2)97прогнозирование качества обработки изделий при заданныхпараметрах шпиндельного узла и технологических режимах (раздел 3.7.3).В разделах 3.7.1, 3.7.2 расчёты выполнены на примере шпиндельного узлаРТШ 020 с зазором h0=10-5 м при избыточном давлении подачи pe=9 ат.В разделе 3.7.3 расчёты выполнены на примере шпиндельного узлаНШУС 110 с зазором h0=10-5 м.3.7.1.

Расчёты для качественных показателей шпиндельного узлаОсь вращения Zc0 расположена горизонтально, а Yc0 - вертикально.3.7.1.1. Свободные колебания при начальных смещенияхРассматривая свободные колебания, можно получить динамическиехарактеристики шпиндельного узла. Рис. 3.6 иллюстрирует отклик в видепоступательногодвиженияуравновешенногошпинделяприначальномсмещении uCZc0(0)=3·10-6 м и нулевых остальных обобщённых координатах искоростях. Результаты, очень сильно зависят от используемых моделей опор.Рис. 3.6.

Переходные процессы при uCZc0(0)=3·10-6 [м], полученные с полной p«2D»  0 и полной «2D+t» модели опор t p  0 tВ данном случае использована полная модель в «2D» постановке и в«2D+t» постановке. Для полной «2D+t» модели реакции линеаризованы без98учёта перекрёстных связей по (2.24) и (2.26). Методика линеаризации,описанная в разделе 2.4.12.1, требует выбора амплитуды u0 и частоты f0 длянахождения жёсткости и вязкого сопротивления опор. Амплитуды колебанийна силовые характеристики влияли не сильно, поэтому условно взяты по 10-6 м.Частоты колебаний fY, fZ определены из условий соответствия частоты ижёсткости при поступательных смещениях шпинделя:2KZ  fZ  f Z  874 Гц,m(3.9)2KfYY4 2 f Y 2  fY  1070 Гц.mЗависимости KZ(fZ) и KY(fY) определены расчётным путём аналогично тем,4 2 f Z 2 что показаны на Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации