Диссертация (1026016), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

3.1971Рис. 3.19. Форма меридиана оболочки, найденная минимизациейфункционалаПараметры задавались такими же, как в п. 3.4. Нагрузки при этом былиравны: p=0.2МПа,P0  0 Н , M 0  0 Нм . Деформации нитей при такомдавлении составляют десятые доли процента, что практически не сказываетсяна форме меридиана, т. е. Рис. 3.19 соответствует Рис. 3.5 при k=0.Расхождение в результатах весьма незначительно. Листинг программыприведен в приложении 4.Таким образом, подход, основанный на минимизации функционала,приводит к тем же результатам, что и интегрирование дифференциальныхуравнений. Выполненное сопоставление показывает надежность полученныхрезультатов и свидетельствует об отсутствии грубых ошибок и численныхпроблем в предыдущих пунктах данной главы.723.6.Преобразование внутреннего давления в крутящий моментРис.

3.20. Устройство для преобразования давления в крутящий моментЦилиндрическая сетчатая оболочка, поворот днищ которой запрещен(осевые перемещения свободны),из нерастяжимых нитей не будетдеформироваться под действием давления, так как нити расположены пократчайшим линиям. Так как цилиндрическая форма сохраняется, то длямембранных усилий справедливы котельные формулы1pR,2T2  pR.T1 (3.37)Из основного соотношения (2.2) следуетST2  T1tg  П tg  Л2  tg  П tg  ЛpR tg  П  tg  Л  2  tg  П  tg  Л (3.38)иM 0  2 R 2 S 2  tg  П tg  ЛpR 3 tg  П  tg  Л (3.39)73Обращение в нуль знаменателя не означает обращение крутящегомомента в бесконечность.

Скорее это означает, что система приобретаетбесконечную жесткость по отношению к вращению вокруг оси.Обнаруженная возможность применения сетчатых оболочек для созданиякрутящегомоментаможетбытьиспользованадлястрагиванияприржавевшего крепежа и т.п. При необходимости по разработанной в этойглаве методике может быть построена упругая характеристика такогоустройства M = M().

Для упомянутой характеристики существенно то, чтокрутящий момент не будет равен нулю при нулевом угле закручиванияM(0)=M0.Выводы по главе 3:1). Разработана методика расчета напряженно - деформированногосостояния сетчатых оболочек вращения с несимметрично уложенныминитями при произвольной начальной форме меридиана, произвольном законеукладки нитей обоих семейств и произвольных осесимметричных нагрузках.2). Методика сведена к решению краевой задачи для системынелинейных дифференциальных обыкновенных уравнений, которую удалосьпривести к форме Коши (цепочкой последовательных подстановок).

Новизнаметодики заключается в аналитическом решении системы трансцендентныхуравнений, связывающей радиус и углы наклона нитей.3). Показано, что учет деформаций нитей может быть произведеннесложной модификацией той же системы уравнений, которая используетсяв случае нерастяжимых нитей.4). Для вычисления угла закручивания получено дифференциальноеуравнение независимое от остальных уравнений. Таким образом, расчет углазакручивания сведен к вычислению квадратуры.745).

Представлены примеры численного решения нелинейной краевойзадачи для полученной системы дифференциальных уравнений методомпристрелки. Напряженно - деформированное состояние сетчатой оболочкиисследованоприразличныхсочетанияхвнешнихнагрузок.Продемонстрирован учет растяжимости нитей и расчет угла закручивания.6). Показано, что за счет перехода от симметричной укладка нитей кнесимметричной при сохранении нагрузок можно несколько повыситьпрочность конструкции.7). Предложено использовать эффект закручивания оболочки снесимметричной укладкой нитей для создания устройств, преобразующихдавление в крутящий момент.75ГЛАВА 4. БОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕКПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЗАКОНОМУКЛАДКИ НИТЕЙСетчатые оболочки, как правило, в исходном состоянии имеют формуоболочки вращения.

Как показано в предыдущей главе, при основных видахнагружения – осевой силе и внутреннем давлении осесимметричная формаоболочки сохраняется, даже если углы нитей левого и правого семейства неодинаковы (каждый из углов при этом не меняется в окружномнаправлении).Это положение резко меняется, если допустить переменные поокружности углы. В этом случае осесимметричная форма оболочки большене будет равновесной.

При приложении внутреннего давления оболочкаможет получить значительные поперечные перемещения.Существенные отклонения от осевой симметрии получит дажеоболочка вращения с симметрично уложенными нитями, если нагрузки нанее не обладают осевой симметрией (Рис. 4.1). Очевидными примерамитаких нагрузок являются поперечная сила и изгибающий момент.Рис.

4.1. Исходная и деформированная сетчатые оболочкис приложенными к торцу внешними силами76Методика расчета таких оболочек на основе минимизации полногопотенциала механической системы разработана в данной главе. В качествеприложений рассмотрены устройства управляемой упругой деформации наоснове сетчатых оболочек и шинно - баллонная муфта.4.1.Полныйпотенциалсетчатойоболочкивращенияспеременными по меридиану и по окружной координате углами наклонанитейЕсли в исходном состоянии сетчатая оболочка является оболочкойвращения, то удается построить функционал с использованием обычныхгауссовых координат s, .Полной потенциал сетчатой оболочки состоит из нескольких частей:Uн -энергия деформаций нитей; Uс - энергия деформаций связующего(резины); V - потенциал внутреннего давления, приложенного к оболочке; П1- потенциал сил давления и других нагрузок, приложенных к подвижномуднищу:  U н  U с  V  1 ,ЛЛ2 ПП2Uн    Eн FEн Fds0 d  ,2 cos  П 022 cos  Л 02 s0  Ehпр  21  2 Uс     2  1 2   2 2  12 ds0 r0 d ,2  12s0  2 1    (4.1) 1 r r V   p  r ds0 d  .3s0s0  где r - радиус - вектор деформированной поверхности оболочки; П, Л деформации нитей; 1, 2 , 12 – меридиональная, окружная и угловаядеформации; EнF-жесткость сечения нитей; E - модуль упругости резины; hпр– приведенная толщина по В.Л.

Бидерману;  - коэффициент Пуассонарезины ( = 0.5).77Смешанное произведение 1 r  r ds0  r d в (4.1) представляет собой3s0объем элементарной пирамиды, опирающейся на параллелограмм состоронамиrrds0 иd .s0Для вычисления деформаций составим градиент радиуса - векторадеформированной срединной поверхности оболочки 0r  t10 rr t 20 s0r0 (4.2)где t10, t20 - орты координатных линий на осесимметричной равновеснойконфигурации оболочки;  - символ диадного (тензорного) произведения.Важно заметить, что вектор 0, единичные орты и масштабыпринадлежат исходной поверхности, т.е.

являются известными. Через тензор 0r может быть выражена мера деформации, известная в нелинейной теорииTупругости (см., например, [86]), как мера Коши-Грина G   0r    0r  .По определению проекции градиента являются производными понаправлению, т.е.rrr e П 0   0r  cos  П 0 sin  П 0sП 0s0r0 rrr e Л 0   0r  cos  Л 0 sin  Л 0sЛ 0s0r0 (4.3)где sП0 , sЛ0 - дуги нитей левого и правого семейств в исходном состоянии;eП0 , eЛ0 - орты касательных к нитям в исходном состоянии.Модули векторов (4.3) представляют собой кратности удлиненийнитей.

Деформации нитей вследствие малости могут быть вычислены черезквадраты кратностей (2-1)/2 = ((1+)2-1)/2 = 2/2+ . Если нитинерастяжимы, то такой прием тем более справедлив (в сочетании с78использованием множителей Лагранжа). Представление деформаций нитейчерез квадраты кратностей приводит к выражениям:21   r П   1 2   sП 0 22 r  r 1r r22  cos  П 0  2 cos  П 0 sin  П 0 sin  П 0 1 2s0 r0  s0  r0   (4.4)21   r Л  1 2   sЛ 0 22 r  r 1r r22  cos  Л 0  2 cos  Л 0 sin  Л 0 sin  Л 0  12s0 r0  s0  r0  Эти выкладки представлены только для примера, так как привычислениях с использованием пакета Mathematica аналитические операциипрограммируются наравне с численными.Полученный функционал может использоваться с различными целями.В частности на основе него можно строить геометрически нелинейныеконечные элементы, аналогично п.

3.5. В данной диссертации он былиспользован для вывода линейных дифференциальных уравнений малыхдеформаций сетчатой оболочки, которые использованы в следующей главедиссертации. Ниже по сути такой же (но другой по форме) функционалстроится и минимизируется для оболочки, составленной из дискретногонабора растяжимых нитей.4.2.Расчет больших перемещений сетчатых оболочек произвольнойформы на основе принципа минимума полного потенциала системыРассмотрим расчетравновесной конфигурации сетчатой оболочкипроизвольной формы с произвольным законом укладки нитей (Рис. 4.2).79Рис. 4.2.

Сетчатая оболочка в деформированном состоянииНаиболее просто напряженно – деформированное состояние сетчатойоболочки удается найти на основе прямой минимизации полного потенциаламеханической системы. Механическая система включает упругие нити корда,жесткие торцы оболочки и внутреннее давление в оболочке. Оболочка(сетка) разбивается на отдельные прямолинейные упругие элементы –стерженьки, упругие свойства которых объединяют сразу несколько нитейодноименного направления. Жесткость сечения таких стерженьковKвычисляется сложением жесткостей, заменяемых ими нитей:(4.5)K  nEн Fгде n – количество нитей, приходящихся на один, заменяющий ихстержневой элемент.Энергия деформаций стержневого элемента с номерами узлов i и jравна l  l0 K l 2U ij K2l02l0где l0, l - длины2нитейдеформированном состояниях.(4.6)(стержневыхэлементов)в исходном и80Длины l0, l вычисляются по обычным формулам через координатыузлов элемента (Рис.

4.2)l0 lxx22j2j 0  xi 0    y j 0  yi 0    z j 0  zi 0 2 xi    y j  yi    z j  zi 22(4.7)где x,y,z – декартовы координаты; i,j – номера узлов стержневого элемента;индексом «0» помечено исходное состояние.Потенциал сил давления равен произведению давления на объемвнутренней полости оболочки взятый с обратным знаком:(4.8)W   pVДля вычисления объема поверхность оболочки разбивалась на группыиз 4-х треугольников (Рис. 4.2).

Объем тетраэдра с вершиной в началекоординат находился через определительxi1Vijk  x j6xkyiyjykzizjzkОбъем конуса с вершиной в начале координат, опирающегося наверхнее днище, равен1Vcone   R 2  e  rC 3где R – радиус верхнего днища, е – нормаль к плоскости днища, rC – радиусвектор центра днища.Полный потенциал системы складывается из упругой энергии всехнитей и потенциала сил давления81   U ij  p  Vcone   Vijk i, ji , j ,k(4.9)Граничными условиями являются условия жесткого закрепления нитейк нижнему неподвижному днищу и верхнему подвижному днищу.Координатыузловнанижнемднищеопределяютсяисходнойконфигурацией сетки и исключаются из списка неизвестных.

Характеристики

Список файлов диссертации