Диссертация (1026016), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Площади треугольников на Рис. 3.2 могут быть51найдены либо через высоту и основание, либо через длины нитей и углымежду ними:11r0 d ds0  dlП 0 dlЛ 0 sin( П 0   Л 0 )2211rd ds  dlП 0 dlЛ 0 sin( П   Л )22(3.7)Из соотношений (3.6) и (3.7) следует система трех уравнений (3.8),которая связывает три неизвестных параметра  П ,  Л и А между собой: cos ПAcosП0 cos ЛAcosЛ0 r 1 sin     ПЛ rAsin П0 Л 0  0(3.8)Система (3.8) может быть решена аналитически, т. е., параметры  П ,  Ли А могут быть явно выражены через r с помощью тригонометрическихтождеств.

Из системы (3.3), которая равносильна (3.8), следуетcos  П   cos  Л  0sin  П   sin  Л  2  r(3.9)Возводя в квадрат и суммируя уравнения (3.9) друг с другом получимcos   П   Л  11   2  4 2r 2 2(3.10)Аналогичное выражение может быть записано и для величин синдексом «0». Далее sin   П   Л  в (3.8) выражаются через cos   П   Л  из(3.10), в результате получаются явные выражения для  П ,  Л и А через r52222 2 2r414r 0A2r 4 2  1   2  4  2 r0 2   П  arccos  A cos  П 0   Л  arccos  A cos  Л 0 (3.11)Отметим, что при выводе (3.11) не предполагалось, что параметрыr0 ,  П 0 ,  Л 0 постоянны, т.е. выражения (3.11) пригодны для произвольнойначальной формы сетчатой оболочки (не обязательно цилиндрической) и дляпроизвольных законов укладки нитей.Из геометрических величин большой интерес представляет также уголзакручивания поперечных сечений оболочки. Для его определения найдемнаклон линии, которая в исходном состоянии была меридианом.

Для этоговычислим длины отрезков на Рис. 3.2.AD  ds0tg  П 0(3.12)DB  ds0tg  Л 0При деформациях меняется радиус окружности и отрезки, лежащие наокружности, изменяются пропорционально увеличению радиуса:A D  rds0tg  П 0r0(3.13)rD B  ds0tg  Л 0r0Тангенс угла наклона линии меридиана равенtg ЕслиD MdsD  B   MB использоватьdsдлятреугольника, то получится (3.15)rds0tg  Л 0  dstg  Лr0rtg  Л 0  tg  Л (3.14)dsAr0определенияугладругуюсторону53tg  tg  П 1 rtg  П 0A r0(3.15)Очевидно, что соотношения (3.14) и (3.15) являются тождественными всилу полученных ранее геометрических соотношений. Покажем этоtg  tg '  tg  П sin   П   Л cos  П cos  Л r1 rtg  П 0  tg  Л 0  tg  Л  A r0 Ar0r sin   П 0   Л 0 0Ar0 cos  П 0 cos  Л 0(3.16)Тождественное равенство нулю в (3.16) следует из (3.8).Рис.

3.3. Относительный поворот сечений оболочкиПо найденному углу наклона меридиана и Рис. 3.3 находитсядифференциальное уравнение для угла закручивания сечения оболочкивокруг оси симметрии:d tg tg  П tg  П 0 tg  Л 0 tg  ЛdsrrAr0Ar0r3.2.(3.17)Система дифференциальных уравнений для расчета большихперемещений сетчатых оболочек с несимметрично уложенными нитямиНапряженно-деформированноесостояниесетчатойоболочкиописывается известными уравнениями равновесия безмоментной оболочки,54записанными для актуального состояния, и известными геометрическимисоотношениями [22]: d T1r  T2 cos  0rdsr T1 T2 R  R  p2 1 dr  cos  ds dz  sin  dsгде T1, T2 - мембранные силы(3.18)в меридиональном и окружномнаправлениях (Рис.

2.3), z - осевая координата, R1, R2 - главные радиусыкривизны, θ - угол наклона нормали к оси.Главные кривизны удобно выразить через угол наклона нормали,согласно [22]:1 d,R1 ds1 sin R2r(3.19)Мембранные усилия связаны соотношением, полученным в первой главеT2  S  tg  П  tg  Л   T1tg  П tg  Л(3.20)При этом сдвигающая сила элементарно выражается через крутящий моментSM2 r 2(3.21)Соотношения (3.18)-(3.21) совместно с (3.6) и (3.11) образуютследующую замкнутую систему дифференциальных и алгебраическихуравнений (3.22):55 d (T1r ) ds  AT2 cos 0 d A sin    pT2 r ds0 T1  dr A cos  ds0 dz A sin ds 0T2  S  tg  П  tg  Л   T1tg  П tg  ЛS  M 22 r2r0 4 2  1   2  4  2 r 2 A 2r 4 2  1   2  4  2 r0 2    arccos  A cos  П0 П  Л  arccos  A cos  Л 0 (3.22)Последние пять алгебраических соотношений фактически выражаютдополнительные переменные П, Л, A, S, T2 через основные r и Т1.Дополнительные переменные с помощью этих соотношений могут бытьисключены из системы, что целесообразно делать непосредственно на этапепрограммирования (см.

приложение 2). Так как система уравнений (3.22)фактически приведена к канонической форме Коши (после исключениядополнительных неизвестных), то для ее решения подходит любаяпрограмма численного интегрирования дифференциальных уравнений излюбого математического пакета.Дифференциальное уравнение для угла закручивания (3.23)tg  Лtg  П tg  П 0 tg  Л 0dAAds0rr0r0r(3.23)56целесообразно интегрировать после решения системы (3.22), так как этоуравнениеявляетсянезависимым.Фактическивычислениеуглазакручивания свелось к квадратуре.3.3.Учет растяжимости нитейДля растяжимых нитей соотношения (3.2) для деформированногосостояния заменяются следующимиds  (1   П )dlП 0 cos  П  (1   Л )dlЛ 0 cos  Лrd  (1   П )dlП 0 sin  П  (1   Л )dlЛ 0 sin  Л(3.24)где П, Л - деформации нитей.С учетом (3.2) и определения для масштаба A это приводит к системе,аналогичной (3.8)cos  П(1   П )Acos  П 0cos  ЛA(1   Л )cos  Л 0 r (1   )(1   ) sin     ПЛПЛ Asin   П 0   Л 0  r0(3.25)Если считать, что деформации нитей известны, то из (3.25) или (3.24)можно получить соотношения аналогичные (3.26) cos  П cos    Л sin  П    sin  Л  2 r(3.26)где  и  – функции, определяемые по исходной конфигурации оболочки идеформациям нитей:57(1   Л ) cos  П 0   (1   ) cos ПЛ0   sin   П 0   Л 0   2(1   П )r0 cos  Л 0(3.27)причем все величины в (3.27) в общем случае переменны, т.е.

являютсяфункциями координаты s0. Так как (3.26) по форме полностью совпадает с(3.3), то и решение будет аналогичным (за исключением мелких деталей)22 2 2 A  (1   П )(1   Л ) r0 1  1     4  r sin   П 0   Л 0  r4  2 Acos  П 0   П  arccos  (1   П )  П  arccos  A cos  Л 0  (1   Л )(3.28)Таким образом, для учета растяжимости нитей достаточно вразрешающей системе уравнений (3.22) заменить последние 3 уравнения на(3.28).Деформации нитей обычно невелики и связаны с натяжениями нитейлинейными соотношениямиП NПEн FNЛ  ЛEн F(3.29)где EнF - жесткость нити на растяжение. Натяжение нитей при этомнаходятся из системыN П П cos  П  N Л Л cos  Л  2 rT1N П П sin  П  N Л Л sin  Л  2 rS(3.30)Учет растяжимости нитей можно выполнить за один раз: подставить(3.30) в (3.29), затем (3.29) в (3.27), (3.27) в (3.28) и, наконец (3.28) в (3.22).Эти подстановки уместно делать на этапе программирования.

Процедура58NDSolve из пакета Mathematica допускает сочетание дифференциальных иалгебраических уравнений, что делает явные подстановке не нужными.Другим вариантом является итерационный процесс. На первойитерации считаем нити нерастяжимыми. Далее по (3.29) и (3.30) находимдеформации нитей и по (3.27) новые параметры , . Затем выполняемследующую итерацию и так до тех пор, пока итерации не сойдутся. Опытпоказывает, что при уровне деформаций нитей порядка 20% хватает обычно3х - 4х итераций.При меньшем уровне деформаций уже 2я итерацияявляется окончательной.3.4.Пример расчета сетчатой оболочкиСистема дифференциальных уравнений (3.22) решается сравнительнонесложно.

Ниже приводится пример расчета напряженно-деформированногосостояниясетчатойоболочкишиннойгеометриисоследующимипараметрами:радиус цилиндрического барабана r0  90 мм ,исходная длина меридиана l = 100мм,6углы укладки нитей на барабане  П 0  ,  Л 0 (и другие),3внутреннее давление p = 0.2 МПа  3,  1( следует из (3.3)).r0Рис.

3.4. Исходная конфигурация цилиндрической оболочки59Края оболочки s0  0 и s0  l соединяются с жесткими торцами радиусаr0. Кроме внутреннего давления оболочка нагружалась также крутящиммоментом M или осевой силой P0 (Рис. 3.1). Осевая сила задавалась в доляхравнодействующей сил давления на торцыP0  k  p r0 2(3.31)Нелинейная краевая задача для системы уравнений (3.22) решаласьметодом пристрелки.

На опорном торце оболочки задавались все 4граничных условия, необходимые для решения задачи Коши:T1  0 k  1 p r0 22 r0 sin  0  0   0(3.32)r  0   r0z 0  0Единственным неизвестным параметром в (3.15) является начальныйугол наклона нормали θ(0), который определялся подбором (методпристрелки в сочетании с приемом половинного деления) из граничногоусловия на другом торце оболочкиr  l   r0(3.33)Численное интегрирование уравнений (3.22) с начальными условиями(3.32)выполнялосьметодомРунге-Куттычетвертогопорядкасиспользованием встроенных процедур пакетов MATLAB и Mathematica.Результаты расчёта представлены в виде графиков.

На Рис. 3.5.показано изменение конфигурации сетчатой оболочки при изменении осевойсилы. Равновесная конфигурация отлична от цилиндрической даже принулевой осевой силе (k=0). Это говорит о том, что исходная конфигурация6сетчатой оболочки не является равновесной tg  П 0tg  Л 0  tg tg 2.360Рис. 3.5.

Форма меридиана деформированной оболочки при M= 0, Р0=kpr02На основании результатов представленных на Рис. 3.5 может бытьпостроена упругая характеристика этой оболочки, если ее рассматриватькак упругий элемент. Распределение мембранных усилий у углов укладкинитей для тех же случаев нагружения показано на Рис. 3.6-3.8Рис. 3.6. Мембранные силы T1 при M= 0, Р0=kpr0261Рис. 3.7.

Характеристики

Список файлов диссертации