Диссертация (1026016), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

2.2). Скорость движениякаретки при смене направления также должна измениться.Рис. 2.2. Система штифтов на торцах оправки для зацепления нитей присмене направления движения каретки для обеспечения непрерывностинамотки (фотография из буклета выставки MIKROSAM 2009 г.)Таким образом стенка сетчатой оболочки вращения образована сетьюиз двух несимметрично расположенных систем нитей. Поверхность такойоболочки удобно исследовать с использованием обычной системы гауссовыхкоординат s,  (Рис.

2.1):s — длина дуги меридиана от некоторой начальной параллели; — угол, определяющий положение меридиональной плоскости.31В произвольной точке оболочки направления нитей составляют смеридианом углы  П и  Л , которые зависят только от координаты s.Рис. 2.3. Элемент сетчатой оболочки ( ds1  ds , ds2  rd )Участок ds2  rd пересекает kds2dscos  П и k 2 cos  Л нитей каждого изhПhЛнаправлений, где hП , hЛ - шаги нитей левого и правого семейств (Рис. 2.3), k количество слоев.hП2  hП1 tg ПhЛ 2  hЛ1 tg ЛСуммарное усилие в меридиональном направлении, воспринимаемоеучастком ds2 , составляет (Рис. 2.3)T1ds2  kN Пds2dscos 2  П  kN Л 2 cos2  ЛhПhЛгде N П , N Л - усилие в нитях (натяжение) правого и левого семейства.32Отношение полученной силы к ds2 дает мембранное усилие T1 , усилияT2 и S получаются аналогично.Преобразовываяаналогично[22],получаемсоотношения,связывающие мембранные усилия T1 , T2 , S с натяжениями нитейNNПcos 2  П  k Л cos2  ЛT1  khПhЛNNПsin 2  П  k Л sin 2  ЛT2  khПhЛNN S  k П cos  П sin  П  k Л cos  Л sin  ЛhПhЛ(2.1)Система (2.1) связывает 3 мембранных усилия T1 , T2 , Sнатяжениями нитей N П , N Л .

Исключение N П ,NЛс двумяиз (2.1) приводит кследующему тождественному соотношению, связывающему T1 , T2 , ST2  S  tg  П  tg  Л   T1tg  П tg  Л(2.2)При отсутствии крутящего момента отсутствует и сдвигающая сила(S=0), что приводит к упрощенному варианту (2.3)(2.3)T2  T1tg  П tg  ЛСоотношение (2.3) обобщает хорошо известное уравнение (2.4) из[22,26] на случай несимметричной укладки нитейT2  T1tg 2 (2.4)В [22] показано, что из (2.4) следует результирующее геометрическоесоотношениеsin   A  r  P0 /  p  e 2tg 2 drrгде А - произвольная постоянная.(2.5)33Так как переход от симметричной укладки к несимметричнойфактически сводится к замене (2.4) на (2.3), то есть к замене2tg на tg  П tg  Л ,то очевидно, что аналогичная замена в (2.5) приводит к результирующемугеометрическому соотношению для несимметричной укладки нитейsin   A  r  P0 /  p  e 2tg  П tg  Лdrr(2.6)Соотношение (2.6) позволяет рассматривать любые законы измененияуглов укладки нитей  П   П  r  ,  Л   Л  r  .

В следующем пункте рассмотренодин из возможных законов укладки нитей – укладка по геодезическимлиниям.2.2.Построение профиля оболочки при несимметричной геодезическойнамоткеДля оболочек, изготовляемых намоткой натянутых нитей на оправку(например, для стеклопластиковых оболочек, получаемых спиральнойнамоткой) нити укладываются по кратчайшим расстояниям, т.е. погеодезическим линиям.

Уравнение геодезических линий на поверхностивращения имеет вид [22]sin  П гдеcП , cЛccП, sin  Л  Лrrгеометрическиепараметры,(2.7)определяемыетехнологиейизготовления. Постановка (2.7) в (2.6) приводит к неопределенномуинтегралу, вычисляемому в аналитическом виде:2222tg  П tg  ЛcП cЛ1 cЛ r  cП  cП r  cЛdrdrln r r r 2  c2 r 2  c22 cЛ r 2  cП2  cП r 2  cЛ2ПЛгде знак модуля вызван симметрией при замене индексов  cП  cЛ  .(2.8)34Из (2.8) и (2.6) следует основная формула, определяющая геометриюрассматриваемого класса оболочек2222P  c r  cП  cП r  cЛsin   A  r 2  0  Л p  cП r 2  cЛ2  cЛ r 2  cП21/2(2.9)Постоянная A определяется из условия на экваторе оболочки: длямаксимального радиуса оболочки r  R наклон нормали к оси составляетпрямой угол ( sin   1 ), это приводит к окончательному выражению для sinsin  2222 2 P0  cЛ r  cП  cП r  cЛr p  cП r 2  cЛ2  cЛ r 2  cП222П22Л1/21/2(2.10) 2 P0  cЛ R  c  cП R  cR  p cП R 2  cЛ2  cЛ R 2  cП2С учетом (2.7) этому соотношению можно придать несколько иной видP01/ 2 p  sin(  Л   П ) / sin(  Л   П ) sin  P R 2  0  sin( * Л  * П ) / sin( * Л  * П ) pr2 гдеsin * Л (2.10a)cЛc;sin * П  ПRRРис.

2.4. Связь между осевой и радиальной координатамиОсевая и радиальная координата связаны следующим соотношением35dz  dr  tg  sin 1  sin 2 (2.11)drИз (2.10) и (2.11) следует, что определение уравнения меридианаоболочки z  z (r ) свелось к квадратуре. Однако вычисление указаннойквадратуры затруднительно из-за обращения знаменателя (2.11) в нуль наэкваторе оболочки. В связи с этим численное интегрирование производилосьпо меридиану оболочки на основе соотношений dz ds  sin  dr  cos    1  sin 2  ds(2.12)Для сокращения числа параметров, определяющих форму оболочки,были введены безразмерные параметрыП cP0cП, Л  Л ,  RRp R 2(2.13)Аналогичным образом вводились безразмерные переменныеsrz,  ,  RRR(2.14)Подстановки (2.13)-(2.14) в (2.10), (2.11)приводят к системебезразмерных дифференциальных уравнений, удобной для расчета профиляоболочки Л  2   П2   П2  2   Л2   Лsin      П1  Л 1   П2   П П 1   Л2   Л dd sin  ;  1  sin 2 d d 2   Л21/2 2   П21   Л21   П21/2(2.15)36Для интегрирования (2.15) применялись встроенные процедуры изкомпьютерного пакета Mathematica (cм.

Приложение 1). Нижняя границаинтервала интегрирования принималась равной нулю (σ=0), верхняя границаопределялась подбором. Система (2.21) интегрировалась со следующиминачальными условиями  0   0   0   1Построенные(2.16)профилиоболочек,полученныечисленныминтегрированием (2.15) с учетом (2.16) представлены на Рис. 2.5 и 2.6Рис. 2.5. Равновесные профили сетчатой оболочки приП=0, αЛ=0.5, αП={0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.45}37Рис. 2.6.

Равновесные профили сетчатой оболочки приП=0.5, αЛ=0.5, αП={0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.45}2.3.Натяжение нитей при несимметричной укладкеИзвестно, что при симметричной укладке нитей геодезическая намоткаобеспечивает постоянство натяжения по длине нити, такая оболочка являетсяравнопрочной («изотензоид»). В связи с этим большой интерес представляетвопрос о законе натяжения нитей при несимметричной укладке. Длявычисления натяжения нитей примем, что количество нитей левого и правогосемейств в оболочке равны п и л.Из равенства нулю крутящего момента или из условия S=0 получаем П N П sin  П   Л N Л sin  Л(2.17)38Связь мембранного усилия с натяжениями нитей вытекает изуравнения равновесия части оболочки в проекции на ось оболочки(2.18)2 rT1   П N П cos  П  Л N Л cos  ЛУравнения (2.17) и (2.18) можно рассматривать как систему двухуравнений относительно натяжения нитей.

Решением этой системы являютсяформулы П N П  2 rT1sin  Лsin(  Л   П )(2.19)sin  П Л N Л  2 rT1sin(  Л   П )Таким образом, для вычисления натяжения нитей необходимовычислитьмембранноеусилиеT1 .Изуравненияравновесия2 rT1 sin   P0  p r 2 следуетP0  p r 2T1 2 r sin (2.20)Поставляя (2.19) в (2.20) и учитывая формулу (2.10a) дляполучаем окончательные выражения для натяжений в нитях (2.21)sin1/ 2 sin( * Л  * П ) / sin( * Л  * П ) sin  П1NП  pR 2  P0 Пsin(  Л   П )  sin(  Л   П ) / sin(  Л   П ) 1/ 2NЛ (2.21) sin( * Л  * П ) / sin( * Л  * П ) sin  Л1 pR 2  P0 Лsin(  Л   П )  sin(  Л   П ) / sin(  Л   П ) Прочность сетчатых оболочек в основном определяется прочностьюнитей, поэтому для оценки прочности достаточно сопоставить полученныенатяжения нитей с допустимыми:NП   N ,N Л   N .(2.22)392.4.Примеррасчетанапряженно–деформированногосостояниясетчатой оболочки с несимметричной укладкой нитей по геодезическимлиниямВкачествепримерарассчитаемполностьюнапряженно–деформированное состояние сетчатой оболочки с несимметричной укладкойнитейпогеодезическимлиниям,определяемойпараметрамиcЛc 0.3; П  0.5;   0.5 .RRНаклон нормали полностью определяется заданными параметрами иформулой (2.10) (Рис.

2.7).Рис. 2.7. Синус угла Профиль оболочки, рассчитанный по методике, изложенной в п. 2.2,имеет вид, показанный на Рис. 2.8.40Рис. 2.8. Профиль равновесной конфигурации оболочкиМембранные усилия были найдены по формулам (2.20) и (2.3).Графики мембранных усилий показаны на Рис. 2.9. и 2.10.Рис. 2.9. Мембранное усилие Т141Рис. 2.10. Мембранное усилие Т2Натяжения нитей были определены по формулам (2.21).

Характеристики

Список файлов диссертации