Диссертация (1025882), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Разделим контур , ограничивающий исследуемую область , на три части. Первая часть контура , проходит там, где резиновый массив привулканизован к металлическому ободу. Наней соблюдается условие непрерывности поля температур при переходе от ободак массиву. Обозначая температуру обода через , запишем = на .(4.92)Другая часть контура принадлежит поверхности массивной шины,контактирующей непосредственно с окружающей средой, температура которой137поддерживается постоянной и равной . С поверхности шины будет происходить теплоотдача, выражаемая законом Ньютона · = ( − ) на ,(4.93)где – внешняя нормаль к контуру ; – коэффициент теплоотдачи.Оставшийся участок границы принадлежит оси симметрии сеченияшины.
Через него тепловой поток равен нулю · = 0 на .(4.94)Для решения сформулированной задачи (4.89) - (4.94) воспользуемся методом конечных элементов. Cоставим функционал [174]:1=2∫︁ ∫︁2∫︁ ∫︁2 grad ·grad −01w +20∫︁ ∫︁2 ( − )2 . 0(4.95)Можно показать, что уравнением Эйлера-Остроградского и естественным граничным условием для функции , доставляющими минимум функционалу ,являются уравнения теплопроводности (4.89) и краевое условие (4.93).Заменим задачу (4.89) - (4.94) задачей о поиске минимума функционала (4.95) с внешними граничными условиями (4.92), (4.94) .
Рассмотрим вариацию функционала . Учитывая, что задача осесимметричная и подынтегральные функции не зависят от угловой координаты, получим∫︁∫︁∫︁ = grad ( )·grad − w + ( − ) = 0 . (4.96)Определим семейство функций среди которых будем искать функцию, удовлетворяющую уравнению (4.96).
Для этого разделим область на четырехузловых изопараметрических билинейных конечных элементов. В пределах каждого элемента температура выражается через узловые температуры Θ , = 1, 4при помощи функций формы , = 1, 4: = { } {Θ} ,(4.97)138{︁}︁{︁}︁где введены обозначения { } = 1 . . . 4 , {Θ} = Θ1 . . . Θ4 . Используя это равенство, определим градиент температуры в пределах конечногоэлемента.
Поскольку все вычисления осуществляются в осях цилиндрическойсистемы координат , показанной на Рисунке 4.9, получим{︃ }︃grad ={ } {Θ} = [] {Θ} ,(4.98)где через [] обозначена матрица производных функций форм[︃[] =11......44]︃.(4.99)Полученные равенства (4.97) и (4.98) введем в выражение (4.96). Получим вариационное уравнение⎧⎫∫︁∫︁⎬∑︁ ⎨ {Θ} [] [] {Θ} − w {Θ} { } +⎩⎭⎫⎧(4.100)∫︁⎬⎨)︁(︁∑︁ {Θ} { } { } {Θ} − = 0 ,+⎭⎩где – область тела, занимаемая одним конечным элементом; – сторонаконечного элемента, образующая границу тела. Поскольку вариации узловыхтемператур независимы, чтобы выполнялось равенство (4.100), множители перед этими вариациями должны обращаться в ноль.
Это условие приводит ксистеме линейных алгебраических уравнений относительно узловых температур. Окончательный ее вид представим в матричной форме[] { } = { } ,(4.101)где { } – вектор узловых температур всей системы, а матрица [] и вектор139{ } имеют вид[] =⎧⋃︁ ⎨∫︁{ } =⎩⎧⋃︁ ⎨∫︁где⋃︀⎩ [] [] +∫︁ { } { } w { } + { } ,(4.102)⎭∫︁⎫⎬⎫⎬,(4.103)⎭– обозначение операции ассемблирования элементов.4.8 Выводы по четвертой главе1.
Для решения поставленной задачи сформулирован принцип виртуальныхработ Лагранжа.2. Предложен приближенный способ вычисления вязких напряжений, заключающийся в интегрировании эволюционного уравнения Бергстрема-Бойсметодом Рунге-Кутта 4 порядка точности.3. Для решения задачи нормального и тангенциального контакта использованметод штрафа.4. Представлена конечноэлементная формулировка задачи свободного стационарного качения. Для учета вязкости материала использован метод последовательных приближений, позволяющий заменить решение вязкоупругойзадачи серией последовательно решаемых упругих задач.140ГЛАВА 5.
ВЕРИФИКАЦИЯ МЕТОДА РАСЧЕТАСОПРОТИВЛЕНИЯ КАЧЕНИЮ И ТЕПЛООБРАЗОВАНИЯ НАМАССИВНОЙ ШИНЕ ТИПОРАЗМЕРА 630 × 1705.1Нормальный контакт неподвижной шины с плоской опорнойповерхностьюЭта задача рассматривалась в качестве тестовой для настройки математической модели, поскольку для неподвижной шины получены весьма обширныеэкспериментальные данные о параметрах контакта (см. § 3.1, 3.2).Расчет проводился для массивной шины 630×170. В расчетах статического обжатия шины поведение резины считалось упругим. Постоянные упругостипринимались равными = 4,3 МПа, = 108 МПа. Отметим, что принятымзначениям , соответствует коэффициент Пуассона 0,48. Поскольку напряжения и деформации быстро затухают при удалении от зоны контакта, расчетный сектор шины выделялся углами − = −/3 и + = /3. Остальной объемполагался недеформируемым.Число КЭ в окружном, радиальном и осевом направлениях выбрано равным 400, 13 и 48, соответственно.Для оценки влияния трения в контакте задача решалась в двух постановках: при наличии (случай 1) и отсутствии (случай 2) ограничений на тангенциальные перемещения точек, вошедших в контакт.
В первом случае запрещалисьтолько осевые перемещения. Для выполнения условий контакта задавались коэффициенты штрафа = = 2000 МПа/мм. Что касается испытаний пообжатию шины, то они также проводились в двух режимах: без смазки и сосмазкой, снижающей трение в контакте. На Рисунке 5.1 показаны нагрузочныехарактеристики шины, полученные расчетным путем и экспериментально.Числовые значения, соответствующие расчетным точкам вынесены в Таблицу 5.1.
Как видно, результаты расчета с условием сцепления в осевом направлении хорошо соответствуют эксперименту по обжатию шины на «сухую»поверхность. Расчеты без ограничения тангенциальных перемещений в контакте (светлые точки на Рисунке 5.1) приводят к некоторому занижению жесткостишины.Вывод о том, что для случая «сухой» опорной поверхности расчеты посхеме сцепления лучше соответствуют данным испытаний, подтверждается ана-1412212021816Сила, кН1412108642000.511.522.533.5Обжатие шины, ммРисунок 5.1. Нагрузочная характеристика шины.
1,2 – экспериментальные характеристики, полученные соответственно при отсутствии и приналичии смазки в области контакта. Темные ∙ и светлые ∘ точки – результаты расчетов, выполненных при запрещенных осевыхперемещениях в контакте и при отсутствии тангенциальных сил вконтакте, соответственноТаблица 5.1.Зависимость величины сближения 0 от силы прижатия шины к плоскойопорной поверхностиСила прижатия, кН0 , мм (случай 1)0 , мм (случай 2)1,90,680,744,71,261,388,11,802,0011,52,252,5414,02,582,8917,52,973,36лизом распределения давления в контакте (Рисунки 5.2, 5.3).В Таблице 5.2 сопоставлены теоретические и экспериментальные характерные размеры пятна контакта и максимальные контактные давления дляразличных сил прижатия шины к «сухой» поверхности.По результатам выполненных расчетов отметим, что варьирование коэф-142фициентов штрафа и в широком диапазоне от 20 до 2·105 МПа/мм, практически не влияет на получаемые контактные силы, значения которых весьмаустойчивы.p/pmaxp/pmax16016011401400.8120Осевое направление, ммОсевое направление, мм11000.680600.4400.2200.81201000.680600.4400.22000-500500-50050Окружное направление, ммОкружное направление, мм(а) = 1, 610 МПа(б) = 1, 637 МПа0Рисунок 5.2.
Распределение давлений в пятне контакта при нагрузке 11,5 кН.Результат на Рисунке (а) получен при запрещенных осевых перемещениях в контакте, (б) – при отсутствии тангенциальных силТаблица 5.2.Характеристики пятна контакта. Т – теоретически полученные результаты(случай 1), Э – экспериментальные данныеСила, кНПлощадь, смРазмер в окружном направлении,см2Максимальноедавление, МПаТЭТЭТЭ1,951493,603,480,530,524,774725,205,160,900,878,191906,346,251,281,2611,51041037,317,191,611,5414,01121128,107,811,861,70143221Давление p, МПа1.631.20.80.40-60-40-2002040Окружное направление, мм60(а)2312Контактные силы, МПа1.61.2p0.80.40ft1-0.4-0.8-80-60-40-2002040Осевое направление, мм6080(б)Рисунок 5.3. Эпюры изменения контактных сил по окружному (а) и осевому (б)направлениям в сечениях шины, проходящих через центр пятнаконтакта, при нагрузке 11,5 кН.
1, 2 - решения контактной задачисоответственно при наличии и отсутствии ограничений на осевыетангенциальные перемещения в области контакта; 3– результатыэксперимента при отсутствии смазки1445.2 Свободное качение шины по беговому барабануРассмотрим результаты численного моделирования контакта свободногокачения шины по барабану радиуса 1000 мм. Такой радиус имеет беговой барабан испытательного стенда Hasbach, на котором измерялись силы сопротивления качению (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
