Диссертация (1025882), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ограничим окрестность области контакта, в которой напряжения и деформации отличны от нуля, углами − и + , фиксированными в отсчетнойконфигурации (Рисунок 4.4). При стремлении к границам области напряжения и деформации стремятся к нулю. Это эквивалентно выполнению условийпериодичности (4.9) - (4.10), которые заменяются граничными условиями(), () → 0, → − ∨ → + .(4.35)Аналитического решения сформулированной задачи (4.4) – (4.10) с граничнымиусловиями (4.19) - (4.22), (??), (4.35) нет.
В данной работе решение получаетсяприближенно на основе принципа виртуальных работ Лагранжа.4.2 Принцип виртуальных работ ЛагранжаСогласно принципу виртуальных работ, для равновесия сплошного теланеобходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на него внешних и внутренних сил на любых возможных перемещениях обращалась в ноль.Учитывая, что внешние силы возникают только в предполагаемой области кон-122такта, запишем для некоторого фиксированного момента времени :∫︁∫︁ ·· =f · .(4.36)ΩcΩРазложим вариацию вектора перемещения на нормальную и касательную составляющие к поверхности барабана (рис. 4.6)′ = ( · ′ ) ′ ,(4.37) ′ = ( · ′1 ) ′1 + ( · ′2 ) ′2 ,⏞⏟⏞⏟(4.38)1′2′где ′ , ′1 , ′2 – единичные векторы радиального, осевого и наружного направлений, вычисленные в той точке на поверхности барабана, которая ближе всегоотстоит от рассматриваемой точки поверхности шины. С учетом представлений (4.37), (4.38) виртуальную работу сил в области контакта можно записатьв виде следующей суммы:∫︁∫︁c =f · ′ +f · ′ =ΩcΩc∫︁(f ·=Ωc′ ) (·′ )∫︁ +(f ·′ ) (·′ )(4.39) ,Ωcгде первый интеграл представляет возможную работу сил давления , а второй — возможную работу сил трения в области контакта; при записиподынтегрального выражения для использовано правило суммированияпо повторяющемуся индексу = 1, 2.Преобразуем выражение для работы сил давления.
Для этого по аналогиис функцией зазора (4.18), введем функцию внедрения, которая положительнатолько тогда, когда контактирующие тела проникают друг в друга. Условиеотсутствия проникания примет вид′g−= g− − · 6 0 ,(4.40)где g− = 0 − 22 /(2 ) − 22 /(20 ). При варьировании перемещений, вариация123Точка на поверхности шиныПоверхность барабанаРисунок 4.6. Определение функции зазораэтой функции равна′g−= − · .(4.41)Нормальные контактные усилия направлены всегда против внедрения точекповерхности шины в тело барабана. Это силы контактного давления : = f · ′ .(4.42)Они совершают отрицательную работу на вариации функции внедрения.
С учетом (4.41) и (4.42) первый интеграл в выражении (4.39) примет вид:∫︁ = −′g− .(4.43)ΩcРассмотрим подынтегральные скалярные произведения, образующие вариациюработы сил трения . Поскольку уравнение принципа виртуальных работзаписано для заданного момента времени, произведение ′ = · ′ (см. выражения (4.37) - (4.38)) является вариацией проскальзывания вдоль -й линиикривизны поверхности барабана (рис. 4.6). Компоненты сил трения в областиконтактаf = f · ′(4.44)124совершают работу на этих вариациях∫︁ =f ′ .(4.45)ΩcВыражение для возможной работы сил в области контакта (4.39), с учетомполученных выражений для возможной работы нормальных (4.43) и касательных (4.45) сил, примет вид∫︁c = −′g−∫︁+Ωcf ′ .(4.46)ΩcОбратимся теперь к левой части уравнения принципа виртуальных работ (4.36).
Для вычисления работы внутренних сил запишем соотношения вязкоупругости (4.5) - (4.6) в интегральной форме = − 2∫︁ ˙ ˜,(4.47)−∞ = 1 + 2 ( + ) ,(4.48)где – мгновенные напряжения, определенные по соотношениям упругости;˙ – скорости вязких деформаций, определяемые по формулам (4.7), (4.8); точ˙ обозначено дифференцирование по времени. Для стационарного режикой (∙)ма качения интеграл по времени заменяется интегралом по угловой координате = относительно отсчетной конфигурации системы. Нижний пределинтегрирования, равный −∞, с учетом граничного условия (4.35) принимаетзначение − .
Полные напряжения вычисляются как() = () − 2 −1∫︁˜ ˜ ,˙ ()(4.49)−с начальными условиями(− ) = 0 ,(− ) = 0 .(4.50)125Заметим, что определить () на интервале [− , ] возможно лишь, в случаеизвестного поля деформаций.Проведенные преобразования позволяют записать принцип виртуальныхработ в виде⎛∫︁⎜ −1⎝ () − 2 Ω∫︁⎞˜ ˜⎟˙ ()⎠ ·· () =(4.51)−∫︁=−Ωc′g− +∫︁f ′ .Ωc4.3 Приближенное вычисление работы внутренних силВычисляемые при помощи соотношения (4.49) напряжения требуют знания заранее известного поля деформаций .
В связи с этим решение задачистроится итерационно. На начальном шаге деформации полагаются равныминулю. В этом случае решение задачи (4.51) будет чисто упругим. Полученноеиз этого решения поле деформаций полагается в основу вычисления интеграла (4.49). Снова решается задача (4.51) и вновь переопределяется поле деформаций. Так продолжается до тех пор, пока поле перемещений не перестает меняться.На каждой итерации интеграл, стоящий в правой части выражения (4.49),вычисляется методом Рунге-Кутта 4 порядка точности.
Для этого отрезок [− , + ]разбивается на шагов [−1 , ] величиной Δ = − −1 . На каждом изшагов последовательно подсчитываются тензоры коэффициентов [1]:Δ ˙ ( (−1 ) , (−1 )) ,(︂(︂Δ 1˙ (−1 ) + , −1 +2 =2(︂(︂Δ 23 =˙ (−1 ) + , −1 +2Δ ˙ ( (−1 ) + 3 , ( )) ,4 =1 =)︂)︂Δ,2)︂)︂Δ,2(4.52)где ˙ = / – скорость изменения тензора вязких деформаций, задаваемаяуравнениями (4.7), (4.8). По найденным коэффициентам определяется девиатор126вязких деформаций в конце -го шага интегрирования ( ) = (−1 ) +1(1 + 22 + 23 + 4 ) .6(4.53)В результате интеграл в выражении (4.49) заменяется суммой () =∑︁Δ ,(4.54)=1где Δ = 1/6 (1 + 22 + 23 + 4 ).При итерационном решении задачи на + 1-й итерации по полю деформаций, полученному с -й итерации, вычисляются компоненты вязких деформаций( ) . Затем пересматриваются полные напряжения+1 = ( )+1 − 2 ( ) .Вводя их в выражение для работы внутренних сил, получим∫︁∫︁ = +1 ·· ( )+1 − 2 +1 ·· ( ) .Ω(4.55)Ω4.4Выполнение условий нормального контакта шины с барабаномметодом штрафаДля решения задачи нормального контакта необходимо задать функциюдавления в зависимости от величины проникания точек контактирующих тел′g−.
В качестве такой функции можно предположить зависимость вида [126]: = (g− − · ) ,(4.56)где – постоянная величина. Выбранное выражение для давлений аналогично использованию метода штрафа для выполнения граничного условия (4.23).В вычислительном процессе играет роль штрафного параметра, при стремлении которого в бесконечность, приближенное решение задачи нормальногоконтакта стремится к точному. Вводя приведенное равенство в вариацию рабо-127ты сил давления, получим∫︁∫︁ = g− · − · ⊗ · ,Ωc(4.57)Ωcгде ⊗ – знак тензорного умножения.При численном решении задачи поиск действительной области контакта выполняется итерационно.
Ее пересмотр продолжается до тех пор, пока вкаждой точке, принадлежащей поверхности контакта, не будут выполнятьсяграничные условия (4.19) - (4.22).4.5Выполнение условий сцепления в области контакта шины сбарабаномРассмотрим отдельно виртуальную работу сил трения сцепления. В зонесцепления вариации относительных смещений и скоростей точек контактирующих тел равны нулю: ′ = 0, ˙′ = 0. Выполнение граничного условия (4.32)осуществляется методом штрафа. Представим касательные силы в виде функции = − ′ ,(4.58)где – коэффициент штрафа. Выражение для вариации работы касательныхсил st примет вид∫︁st = − ′ ′ .(4.59)ΩstВ дальнейшем будем считать, что в области контакта, при свободном качениишины, проскальзывание отсутсвует.
В этом случае область сцепления совпадает с областью контакта. Величины относительных проскальзываний точек,принадлежащих поверхности шины, относительно соответствующих точек наповерхности барабана в осевом 1′ и в окружном направлении 2′ определяютсяпутем интегрирования выражений для относительных скоростей (4.28) - (4.29)от момента входа в контакт, характеризуемого угловой координатой 0 , до те-128кущего момента времени, характеризуемого углом :1′ =∫︁˙1 = 3 − 3 (0 ) ,(4.60))︁(︁ ≈2˙ ′ 2= − 0 ( − 0 ) ,2 − 2 (0 ) −2⏟ ⏞(4.61)02′∫︁=02где при записи выражения (4.61) слагаемые, содержащие высшие степени угловой координаты , были опущены. Перепишем соотношения (4.60) - (4.61) ввекторном виде1′ = 3 · ( − (0 )) ,(4.62)2′ = 2 · ( − (0 )) − 2 .(4.63)Введем полученные выражения под интеграл (4.59).
Окончательно будем иметьst∫︁∫︁ 2 2 · −=Ωc ( − (0 )) ·2 ⊗ 2 · Ωc(4.64)∫︁− ( − (0 )) ·3 ⊗ 3 · .Ωc4.6Применение метода конечных элементов для решения задачиобкатки массивной шины по барабануВоспользуемся методом конечных элементов для получения приближенного решения вариационного уравнения (4.51) относительно поля перемещений.Для этого разобьем область Ω , занимаемую резиновым массивом шины в отсчетной конфигурации, на восьмиузловых трилинейных изопараметрическихобъемных конечных элементов. Такая дискретизация приведет к приближенному представлению геометрии телаΩ ∼= ℬ =∑︁ℬ ,129где ℬ , ℬ – области пространства, занимаемые одним и конечными элементами (КЭ), соответственно.Внутри каждого конечного элемента искомое поле перемещений представляется в виде аппроксимации известных значений этого поля в узлахКЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
