Диссертация (1025882), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Напротив, если речь идет об отсчетной конфигурации, тоникаких специальных символов употребляться не будет. Геометрические величины, относящиеся к барабану, будем всегда снабжать индексом (∙) , чтобыотличать их от тех же величин, определенных для шины.Определим кинематические характеристики деформированной шины. Дляэтого введем радиус-вектор произвольной точки шины в отсчетной конфигурации c началом в точке «», расположенной на оси шины. Радиус-вектор точки115W0OТекущаяконфигурацияОтсчетнаяконфигурацияНачальнаяконфигурацияB0WcB0r0OwrB0=AAWOwr r’B0’=A’B0=AРисунок 4.2. Смешанный подход Эйлера-Лагранжа к наблюдению движенияточек деформируемого телав текущей конфигурации ′ связан с ним при помощи вектора перемещения :′ = + .Дифференцированием ′ по времени получим вектор полной скорости.
Поскольку режим качения стационарный, он совпадает с конвективной составляющей′ =( + )= 3 × + ,(4.2)где 3 – единичный вектор, направленный по оси вращения шины; – угловаякоордината точки шины в отсчетной конфигурации (Рисунок 4.3).Перейдем от инвариантной формы записи (4.2) к представлению скоростив декартовых координатах 1 2 3 .
Для этого введем оператор производной поугловой координате= 1− 2. ≡21Вектор скорости примет вид ′ = (−2 + 1 )1 + (1 + 2 )2 + ( 3 )3 .(4.3)Изучая стационарное качение с невысокими скоростями (максимальнаяскорость движения транспортного средства 70 км/час), будем пренебрегатьвлиянием сил инерции, и рассматривать процесс как статический. В этом случае уравнение равновесия элементарного объема, выделенного из тела, имеет116WcwOryРисунок 4.3. Декартова система координат для шины в конфигурации Ωвидdiv = 0 ,(4.4)где – тензор напряжений Коши; div – дивергенция, вычисляемая относительно отсчетной конфигурации системы.Предполагается, что однородный резиновый массив шины изотропен иподчиняется вязкоупругому закону поведения Бёргстрема-Бойс.
Связь междунапряжениями и деформациями задается системой уравнений = 1 + 2 + ,(4.5) = 2 ( − ) ,= ˙ √,2,˙ =(ℎ − 1 + 0 )(4.6)(4.7)(4.8)где функции с верхним индексом относятся к вязкому звену; – модуль объемного сжатия; = 1 – объемная деформация, равная в случае малых деформаций первому инварианту тензора ; , – равновесный и релаксационныймодули сдвига; , , , – тензоры девиатора напряжений и деформаций и√их вязкие составляющие; = – интенсивность касательных напряженийв вязком звене; ℎ – кратность усредненного вязкого удлинения макромолекулярной цепи эластомера; , , – параметры закона деформирования; 0 –малая постоянная деформация, добавляемая, чтобы описать скорость ползуче-117сти при нулевой деформации.Поскольку режим качения стационарный, поля напряжений и деформаций не должны изменяться за один оборот колеса, характеризуемый периодом = 2/.
Следовательно, должны выполняться условия периодичности() = ( + ) ,(4.9)() = ( + ) .(4.10)Сформулируем граничные условия задачи (4.4-4.10). Для этого выделимна недеформированной внешней поверхности резинового массива Ω область,предположительно вошедшую в контакт с барабаном Ωc (Рисунок 4.4). Оставшуюся часть поверхности, на которую действуют лишь заданные поверхностные силы, обозначим через Ω .
Область резинового массива, содержащую точки внутренней поверхности, обозначим Ω . Для стороннего наблюдателя перемещения точек, принадлежащих области Ω , отсутствуют.WcOРисунок 4.4. Области телаПри контакте шины с барабаном точки поверхности шины не должны про′никать в тело барабана. Введем скалярную функцию зазора g+между контактирующими телами. Эта функция определяется как минимальное расстояниеот заданной точки на поверхности шины с радиус-вектором ′ до поверхности′барабана. Вне области контакта функция g+должна быть положительной, авнутри обращаться в ноль.
Получим ее математическое представление. Обозначим ближайшую к точке ′ точку на поверхности барабана через ′ (Рису-118нок 4.5). Единичный вектор нормали к поверхности барабана в этой точке ′ .Условие непроникновения внутрь барабана примет вид′g+= ( ′ − ′ ) · ′ > 0 .(4.11)Разложим входящие в соотношение (4.11) векторы по базису показаннойна Рисунке 4.5 системы координат. Для этого воспользуемся уравнениями поверхностей шины и бегового барабана в исходном состоянии системы. Полагаяобласть контакта малой по сравнению с размерами контактирующих тел, запишем221 = 0 −2021 = 0 + 22(поверхность шины),(4.12)(поверхность барабана).(4.13)Используя эти уравнения, получим)︂(︂2()2+ 1 1 + (2 + 2 )2 + (3 + 3 )3 , ′ = 0 −20(︂)︂(2 )2′ = 0 +− 0 1 + 2 2 + 3 3 ,22′ = −1 +2 .(4.14)(4.15)(4.16)Из условия минимума расстояния между точками на поверхности шины и барабана и вида выражения (4.16) для вектора нормали, следует равенство 2 =′2 = 2 + 2 , которое устанавливает однозначное соответствие точек на поверхности шины и барабана.
Вводя это равенство в (4.14) - (4.16), и подставляяполученные соотношения в (4.11) получим окончательное выражение для функции зазора2′g+= g+ − 1 +2 > 0 ,(4.17)где g+ = −0 + 22 /(2 ) + 22 /(20 ) – начальный зазор между телами. Полученное неравенство в дальнейшем удобно использовать в векторном виде′g+= g+ + · > 0 ,где = −1 + 2 / 2 .(4.18)119WWwOywdРисунок 4.5. К описанию геометрии тела и определению функции зазораПри обращении функции зазора в ноль тела вступают в контакт. В области контакта возникает распределенная по поверхности шины нагрузка f . Такаяже, но обратная по направлению, нагрузка возникает на поверхности барабана.Определим нормальную f и касательную f составляющие нагрузки f . Введемвектор нормали ′ к деформированной поверхности резинового массива (Рисунок 4.4).
Выразим внешние усилия через напряжения в резиновом массивешины при помощи уравнений равновесияf = · ′ ,f = (f · ′ )′ ,f = f − f .Граничные условия задачи нормального контакта примут вид=0на Ω ,(4.19)f =0на Ω ,(4.20)′g+> 0, f = 0на Ωc ,(4.21)′g+= 0, f < 0на Ωc .(4.22)Совместное выполнение условий (4.21) и (4.22) приводит к равенству КарушаКуна-Таккера, записанному для задачи нормального контакта′|f | = 0 .g+(4.23)120Для формулировки тангенциальных граничных условий в области контакта приналичии сил трения, разделим эту область на зону сцепления Ωst и зону скольжения Ωsl .
Определим скорость относительного проскальзывания двух тел какразницу между скоростями точек поверхности шины и барабана ′ , а именно, ˙ ′ = ′ − ′ . В зоне сцепления скорость ˙ ′ = 0. Определим ее проекции наединичные орты, касательные к окружному и осевому направлениям барабана (Рисунок 4.5) ′1 , ′2 :˙1′ = ˙ ′ · ′1 ,˙2′ = ˙ ′ · ′2 .(4.24)(4.25)Отметим, что единичные векторы зависят от положения точки деформированной поверхности шины, для которой определяется скорость ˙ ′ . На это указывают штрихи у этих векторов.Касательные векторы вычисляются как′1 = 3 ,′2′2 =1 + 2 .(4.26)(4.27)Вводя соотношения (4.26), (4.27) и (4.3) в равенства (4.24) - (4.25), и учитывая что точка шины расположена на поверхности, т.е.
ее координаты должныудовлетворять уравнению (4.12), получим˙1′ = 3 ,(4.28)(︂)︂2222˙2′ = 0 − − 2 − 2 + 1+ 2 − 2 .20(4.29)Представим эти выражения в векторном виде˙1′ = 3 · ,˙2′ = ˙2 + 2 · − 1 · ,(4.30)(4.31)где ˙2 = 0 − − 22 / − 22 /(20 ) – начальная относительная скоростьконтактирующих точек в окружном направлении; 1 = 2 / 2 – вспомогательный вектор.121В зоне скольжения сила трения, совпадающая с касательным усилием f ,направлена в сторону противоположную скорости относительного проскальзывания двух тел. Если принять справедливым закон трения Кулона, то граничные условия примут вид|f | < |f |,˙ ′,f = −|f ||˙ ′ |˙ ′ = 0на Ωst ,(4.32)˙ ′ ̸= 0на Ωsl ,(4.33)где –коэффициент трения.
Совместное выполнение условий (4.32) - (4.33) приводит к эквивалентному равенству Каруша-Куна-Таккера, записанному длятангенциального контакта⃒ ⃒⃒ ⃒f · + |f | ⃒˙ ′ ⃒ = 0 .˙′(4.34)Действительная область контакта массивной шины с барабаном мала. Откликрезинового массива на контактное усилие быстро затухает при удалении отнее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
