Диссертация (1025720), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Модифицированная функция Лагранжа в случае использования одногоусловия типа «неравенство» имеет следующий вид:(, , ) = () +12(( + ℎ())+ − 2 ),2где ( ) – минимизируемая функция,106 – вектор варьируемых параметров,ℎ() – накладываемое ограничение (условие ℎ() ≤ 0), – некоторая константа.Величина вычисляется на каждой итерации по следующей зависимости:+1 = ( + ℎ( ))+Знак «+» внизу у выражения в скобках обозначает «положительную срезку»функции.В рассматриваемом случае = , () = 2 , ℎ() = 1 − .Опишем алгоритм решения поставленной задачи оптимизации:1. Выбираемначальноеприближениедлязначенийварьируемыхпараметров = {0 , 1 , … , 2 }. Выбираем значение константы достаточно большое для существования минимума функции (С, , );2. Решаем задачу безусловной минимизации функции (С, , );3.
Полагаем +1 = ( + ℎ( ))+4. Увеличиваем : = + 1 и идем на шаг 2.Графическое представление указанного алгоритма показано на Рисунке 4.14.107Рисунок 4.14. Алгоритм решения задачи условной оптимизации.Шаг 2 описанного алгоритма требует проведения процедуры безусловнойминимизации.
При этом модифицированная функция Лагранжа может бытьинтерпретирована как обычная целевая функция, минимум которой следует найти.Существует большое количество методов безусловной минимизации. При выбореконкретного метода для данной задачи следует руководствоваться следующимисоображениями: Минимальное количество вычислений целевой функции для уменьшениявремени счета. Отсутствие обязательных требований к гладкости минимизируемойфункции. Возможность поиска глобального минимума. Отсутствие необходимости вычисления производной целевой функции.108Стоит оговориться, что отсутствие возможности поиска глобального минимумасредствами того или иного метода можно компенсировать заданием хорошегоначального приближения. В таком случае для решения поставленной задачи можноиспользовать метод Нелдера-Мида, известный также как метод «деформируемогомногогранника».Метод Нелдера-Мида является очень эффективным алгоритмом поискаэкстремума функции многих переменных, не накладывающим ограничений нагладкость функции [69].
На каждой итерации алгоритма производится как правилоодно-два вычисления значений функции, что чрезвычайно эффективно если этивычисления очень медленны. Кроме того, алгоритм очень прост в реализации [70].Для работы метода необходимо задаться значениями нескольких параметров: коэффициент отражения α>0, обычно выбирается равным 1. коэффициент сжатия β>0, обычно выбирается равным 0.5. коэффициент растяжения γ>0, обычно выбирается равным 2.Алгоритм работы метода следующий:Инициализация.(1)(2)Произвольнымобразомвыбираетсяn+1точка =()( , , … , , ) образующие симплекс n-мерного пространства, где n – числоварьируемых параметров.
В этих точках вычисляются значения функции: 1 =(1)(2)(+1) ( ), 2 = ( ), …, +1 = ().1. Сортировка. Из вершин симплекса выбирают три точки: xh с наибольшим (извыбранных) значением функции fh, xg со следующим по величине значениемfg и xl с наименьшим значением функции fl. Целью дальнейших действийбудет уменьшение по крайней мере fh.2. Вычисляют центр тяжести всех точек, за исключением xh: =1∑ ≠ℎ3.
Отражение. Отразим точку xh относительно xc с коэффициентом α, получимточку = (1 + ) − ℎ . Вычисляем в ней значение функции = ( ).4. Далее сравниваем значение fr со значениями fh, fg, fl:109a. Если fr<fl, то производим растяжение. Новая точка = (1 − ) + , значение функции = ( ).Если fe<fl, то заменяем точку xh на xe и заканчиваем итерацию (на шаг8).Если fe>fl, то заменяем точку xh на xr и заканчиваем итерацию (на шаг8).b. Если fl < fr < fg, то заменяем точку xh на xr и переходим на шаг 8.c. Если fh > fr > fg, то меняем обозначения xr, xh (и соответствующиезначения функции) местами и переходим на шаг 5.d.
Если fr > fh, то переходим на шаг 5.5. Сжатие. Строим точку = ℎ + (1 − ) и вычисляем в ней значение = ( ).6. Если fs < fh, то заменяем точку xh на xs и переходим на шаг 8.7. Если fs > fh, то производим сжатие симплекса — к точке с наименьшимзначением xl: ← + −2для всех требуемых точек xi.8. Проверка сходимости. Суть проверки заключается в том, чтобы проверитьвзаимную близость полученных вершин симплекса, что предполагает иблизость их к искомому минимуму. Если заданная точность отысканияминимума не обеспечивается, то проводят следующую итерацию с шага 1.
Вкачествеоценкивзаимнойблизостивершинсимплексаможновоспользоваться, например, следующим критерием:1|ср |где ср =1+1+1∑(| − ср |) < =1∑+1=1 – среднее арифметическое значений целевой функции ввершинах симплекса, – некоторая положительная величина.110Варьирование формы сигнала и выбор минимально необходимого числагармоник.Число варьируемых параметров в задаче оптимизации желательно сводить кминимуму. С другой стороны, это число должно быть достаточным для варьированияформы сигнала в широком диапазоне. Чтобы определить минимально необходимоечисло параметров, нужно проанализировать влияние числа гармоник в разложении вряд Фурье на форму воспроизводимой кривой.На Рисунке 4.15 показана одна из возможных форм кривых, соотнесенная сперемещением поршней.Рисунок 4.15.
Смещения поршней и золотников.Кривые 1а и 2а на Рисунке 4.15 показывают перемещение поршнейгидроцилиндров. Соответствующее этому случаю перемещение золотников (при ихгармоническом движении) представлено кривыми 1б и 2б. Кривые 1в и 2в111представляют собой модифицированный закон движения золотников. В общемслучае эти кривые могут описываться периодическими негармоническимифункциями.
Для разложения в ряд Фурье нужно иметь аналитически или табличнозаданные функции. Представленные на Рисунке 4.15 кривые 1в и 2в можно получитьпри помощи параметризованных кривых, задаваемых b-сплайнами. На сегодняшнийдень b-сплайны находят очень широкое применение в технике. Исследования,посвященныематематическомуаппаратусплайновиособенностямегопрактического применения приведены в работах [71], [72], [73], [74]. В работе [75]показано как можно применить b-сплайны для задания траектории движениявыходного звена электрогидравлического привода в случае, когда это движение неявляется периодическим. Воспользоваться таким же методом в текущей работепроблематично, т.к.
величина сигнала, подаваемого на электрогидравлическийусилитель, должна согласовываться с углом поворота вала и положением поршнягидроцилиндра. В таком случае можно при помощи параметрической кривойсинтезировать один период сигнала и сделать его приближенное описаниепериодическим при помощи преобразования Фурье.B-сплайн – это параметризированная кривая, которая задается наборомконтрольных точек (полюсов) и узлов [76], [77].
Описывается она уравнением: () = ∑ , () ∙ =0 () = ∑ , () ∙ =0где (), () – точки кривой B-сплайна, – степень B-сплайна, , – координаты контрольной точки,, () – базисная функция, – параметр, меняющийся в пределах от 0 до 1.Базисные функции вычисляются по следующим выражениям:1121, при ≤ ≤ +1,0 = {0, ℎ++1 − − (), =∙ ,−1 () +∙+1 − ++1 − +1 +1,−1Удобство использования b-сплайнов заключается в том, что варьированиемкоординат нескольких точек можно изменять форму кривой в широком диапазоне.Для реализации желаемой кривой можно выбрать сплайн с семьюконтрольными точками, как показано на Рисунке 4.16.Рисунок 4.16. Сплайн начального приближения.Такой набор точек задает положительную полуволну сигнала.
Отрицательнаяполуволна получена центральным симметрированием положительной полуволныотносительно точки P6.Период T и величина A могут быть выбраны произвольно и в дальнейшемпересчитаны до требуемых значений путем масштабирования. Для удобствапроведения расчетов на этом этапе выбраны значения T=1, A=1. Точки P4, P5 и P6получены зеркальным отражением относительно прямой x=T/4 точек P2, P1 и P0соответственно.
Точка P0 зафиксирована в начале координат. Координаты точки P3113также фиксированы: P3(T/4, A). В таком случае форма кривой задается набором изчетырех параметров: Px1, Py1, Px2, Py2. От задания непосредственно координат удобнееперейти заданию их положения относительно выбранных значений A и T. Для этоговведены следующие зависимости:2=∙21 = ∙21 = ∙ 2 = ∙ где a, b, c, d – некоторые параметры.В Таблице 4 приведены значения координат контрольных точек с учетомвыбранных параметров и наложенных ограничений.Таблица 4.Номер контрольной точкиАбсциссаОрдината00010.5aTcA20.5bTdA30.25TA40.5(1-b)TdA50.5(1-a)TcA6T0При расчете кривой B-сплайна по описанному выше алгоритму ее точки вдольоси X располагаются неравномерно.
Для удобства проведения преобразования Фурьезначения координат точек кривой между расчетными Si и Si-1 будем получать методомлинейной интерполяции, разбив период T на 1000 равных интервалов, получив приэтом 1001 точку на кривой. Таким образом будет получена таблично заданнаяфункция, описывающая кривую нужной формы. Эту функцию можно разложить в рядЭйлера-Фурье с точностью до N-ой гармоники:114022(, ) =+ ∑ ( cos + sin )2=1Где коэффициенты и могут рассчитываются по следующим формулам:<10002122 = ) + −1 cos ( −1 )), = 1, 2, 3, … , ∑ ( cos (21000=0<10002122 = ) + −1 sin ( −1 )), = 1, 2, 3, … , ∑ ( sin (21000=0Расчет коэффициента 0 в данном случае не требуется, т.к.
при выбранныхограничениях у функции отсутствует постоянная составляющая.Приведенные формулы для вычисления коэффициентов ряда являются ни чем2иным, как численным интегрированием функция = ∫0 () cos и =2∫ () sin , выполненным методом трапеций, с шагом интегрирования 1000.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
