Диссертация (1025280), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для случая нормальногопадения волны на границу раздела (Рис. 2.12) формулы Френеля имеют вид︀0 ,︀T = T︀12 EE︀R = R︀12 E︀0 ,E√22n︀ε︀11√ ,=√T︀12 =n︀1 + n︀2ε︀1 + n︀√√ ε︀2 − n︀1ε︀2 − ε︀1︀12 = n√ ,R=√n︀1 + n︀2ε︀1 + ε︀2(2.37)77~E0~ET~ERε~1, n~1ε~2, n~2Рис. 2.12. Прохождение плоской электромагнитной волны черезграницу раздела двух сред︀0 , E︀T и E︀R ҫ комплексные амплитуды падающей, прошедшей и отраженгде E︀12 ҫ операторы пропускания и отраженияной электромагнитных волн, T︀12 и Rизлучения границей раздела 1-ой и 2-ой сред, а n︀1 , n︀2 и ε︀1 , ε︀2 ҫ комплексные показатели преломления и комплексные диэлектрические проницаемости двух сред.
Хотя соотношения (2.37) строго справедливы для нормального падения волны на границу раздела, они также применимы для описаниявзаимодействия с ней слабо-сфокусированных оптических пучков (вплоть доапертурного угла σA = 20...30 ∘ ), так как коэффициенты пропускания и отражения медленно меняются с ростом угла падения. Более того, формулы(2.37) могут применяться в случае наличия незначительной погрешности угловой ориентации оптической оси терагерцового пучка относительно нормалик границе раздела сред. Формулы Френеля справедливы для границ раздела, характеризующихся пренебрежимо малыми по сравнению с длиной волныизлучения шероховатостями, что накладывает ограничение на качество подготовки поверхностей исследуемых образцов.Фазовый набег и затухание амплитуды плоской электромагнитной волны при ее распространении сквозь среду описывается законом БугераЛамберта-Бера [67, 72]︀0 ,︀Z = P︀1 EE−1−1P︀1 (z) = e−i2πνc n︀1 z = e−i2πνc√ε︀1 z,(2.38)︀0 , E︀Z ҫ амплитуды электромагнитной волны в точках 0 и z пространгде Eственной оси, а P︀1 ҫ оператор, описывающий прохождение волны от 0 к z√в среде с n︀1 = ε︀1 .
Закон Бугера-Ламберта-Бера (2.38) может нарушаться78в случае сильного рассеяния излучения на объемных неоднородностях среды. Тем не менее он справедлив для описания взаимодействия терагерцовогоизлучения с большим классом сред, в том числе с биологическими тканямиin vivo и in vitro, для которых рассеяние терагерцовых волн несущественноиз-за малых по сравнению с длиной терагерцовой волны масштабов неоднородностей.Опираясь на соотношения (2.37) и (2.38), можно сформулировать методику описания распространения терагерцового излучения в плоско-слоистыхсредах и построения математических моделей спектроскопического измерения.
Данный подход предполагает:1. задание начальной комплексной амплитуды электромагнитной волны,падающей на плоско-слоистую среды;2. трассировку волны сквозь исследуемую среду и корректировку ее комплексной амплитуды с учетом деления волнового фронта на границахраздела, а также поглощения и фазового набега при распространениив объеме вещества;3. суммирование всех волн, прошедших сквозь слоистую среду или отраженных от нее, в зависимости от геометрии проведения эксперимента;4. нормировку результирующей комплексной амплитуд электромагнитнойволны на начальную комплексную амплитуду (вычисление комплекснойпередаточной функции образца).В качестве примера рассмотрим процесс взаимодействия электромагнитной волны с плоскопараллельной пластинкой конечной толщины.
Какпоказано на Рис. 2.13, в результате взаимодействия с пластинкой падаю︀0 , помимо основной однократно прошедшей сквозь исследуещей волны, E2︀10︀0 P︀0 T︀01 P︀13 T︀10 R︀0 P︀0 T︀01 P︀1 T︀10 , возникают волны-спутники E,мую среду волны E4︀10︀0 P︀0 T︀01 P︀15 T︀10 Rи т.д., где операторы P︀0 и P︀1 описывают распространениеEизлучения в свободном пространстве и материале образца (2.38), операторыT︀01 и T︀10 описывают прохождение излучением границ раздела воздух/образец︀10 описывает внутреннее отражение изи образец/воздух (2.37), а оператор Rлучения от границе раздела образец/воздух (2.37).
С учетом многолучевойинтерференции результирующее оптическое поле может быть описано соот-79~~~ ~~E0P0T01P1T10~E0~~~ ~ ~ ~E0P0T01P13T10R102~~~ ~ ~ ~E0P0T01P15T10R104ε~0, n~0ε~1, n~1ε~0, n~0Рис. 2.13. Прохождение плоской электромагнитной волны сквозьплоско-параллельную пластинку при нормальном углепаденияношением︃︀s = P︀0 (L − l) T︀01 P︀1 (l) T︀10 1 +EN︁j=1︃︀2j ,P︀12j R10(2.39)где j и N ҫ номер волны-спутника и их полное число, L ҫ полная длинапути терагерцовой волны в свободном пространстве в отсутствии исследуемойсреды, а l ҫ толщина плоско-параллельной пластинки.Полагая, что в отсутствие пластинки амплитуда электромагнитной волны после прохождения свободного пространства имеет вид︀r = E︀0 P︀0 (L) ,E(2.40)запишем выражение для передаточной функции плоско-параллельной пластинки ҫ спектральной зависимости ее амплитудного коэффициента пропускания︃︃N︁︀Es︀2j .T︀ =(2.41)= P︀0 (−l) T︀01 P︀1 (l) T︀10 1 +P︀12j R10︀rEj=180Очевидно, что для бесконечно большого числа волн-спутников слагаемоеN︀︀2j в выражении (2.41) может быть переписано с учетом суммы геоP︀12j R10j=1метрической прогрессии2︀s︀10E1 + 2P︀12 R= P︀0 (−l) T︀01 P︀1 (l) T︀10.T︀ =︀r︀2E1 − P︀2 R1(2.42)10Выражение (2.42) учитывает все волны-спутники и поэтому применяется для описания измерений с помощью импульсной спектроскопии только в случае изучения образцов тонких диэлектрических пленок (в данномслучае во временное окно спектроскопической системы попадает бесконечнобольшое число импульсов спутников), а также для описания спектроскопических экспериментов, использующих непрерывные и квази-непрерывные высококогеретные источники терагерцового излучения.
В свою очередь соотношение (2.41) позволяет учитывать конечное число волн-спутников и поэтомуимеет общий характер. Оно используется для описания экспериментов, проводимых с помощью терагерцовой импульсной спектроскопии, характеризующейся конечным временным окном регистрации терагерцового поля E (t),а следовательно, учитывающей конечное число волн-спутников [67, 72].Рассмотренная математическая модель прохождения терагерцового излучения сквозь плоско-слоистые среды является основой для решения обратных задач спектроскопических исследований по проходящему через образец︀exp, s , и опорныйизлучению. Регистрируя в эксперименте сигнал образца, E︀exp, r , можно вычислить экспериментальную передаточную функциюсигнал, Eҫ экспериментальный коэффициент пропускания образца︀exp, sET︀exp =.︀exp, rE(2.43)Восстановление спектральных характеристик образца может выполняться засчет минимизации функционала ошибки Φ [72], построенного на основе экспериментального коэффициента пропускания (2.43) и одной из моделей ҫ (2.41)или (2.42)(2.44)ε︀1 = arg min [Φ]ε︀181где Φ имеет вид⃒2⃒2 ⃒⃒⃒⃒ ︀⃒⃒ ︀︀︀Φ = ⃒|T | − |Texp |⃒ + ⃒φ[T ] − φ[Texp ]⃒ ,(2.45)а |...| и φ [...] соответствует операторам извлечения модуля и фазы комплексной величины.
Так как все операторы, входящие в выражения для теоретического и экспериментального коэффициентов пропускания, являются спектрально зависимыми, операция минимизация функционала ошибки выполняется для всего дискретного набора частот, входящих в рабочий спектральныйдиапазон системы [70]. Для исключения возможных ошибок восстановленияспектральных характеристик, связанных с кратным 2π набегом фазы электромагнитной волны, прошедшей сквозь исследуемый образец, минимизацияосуществляется, начиная с низкочастотных спектральных компонент сигналов и переходя на более высокие частоты [70].Таким образом, приведен пример моделирования распространения излучения сквозь образец при измерениях его коэффициента пропускания, основанного на трассировке комплексной амплитуды терагерцового электромагнитного поля сквозь среду.
Подробное описание данной модели, а такжеисследование устойчивости решения обратных задач терагерцовых спектроскопических измерений на ее основе приведены в работах автора [70,72,76,81].Описанная модель прошла экспериментальную апробацию и в настоящее время широко применяется в экспериментальных исследованиях, в том числе при изучении оптических свойств образцов керамик [72] и полимерныхсред [71], а также для динамического анализа терагерцовых спектральныххарактеристик полимерной среды в процессе ее полимеризации [68].Рассмотренный подход к описанию эксперимента по проходящемусквозь образец излучению может быть обобщен на анализ жидкостей и мягких сред, помещенных между стеклами кюветы. Для этого необходимо обеспечить такую ширину стекол кюветы, которая исключит появление во временном сигнале импульсного спектрометра импульсов спутников, обусловленных переотражением излучения в данных стеклах.
Необходимо скорректировать математическую модель образца ((2.41) или (2.42)), заменив в нейоптические характеристики воздуха на характеристики стекол кюветы. Измерение аморфных сред производится при фиксации их толщины проставками82между входным и выходным окном кюветы, а в качестве опорного сигналарегистрируется волна, прошедшая сквозь кювету спектрометра, содержащуюплотно прижатые друг к другу входное и выходное окна.Рассмотренный выше метод трассировки амплитуды электромагнитнойволны может быть использован для анализа процесса отражения терагерцового импульса от двухслойной среды, представленной на Рис. 2.14. Даннаямодель широко применяется при проведении спектроскопических измеренийпо отраженному от поверхности образца излучению, когда сильное поглощение излучения средой не позволяет регистрировать проходящие сквозь средутерагерцовые импульсы. Здесь среды с индексами 0, 1 и 2 соответствуют свободному пространству, опорному окну и исследуемой среде, при этом поглощение исследуемой среды или ее толщина должны быть настолько велики,чтобы исключить влияние ее задней поверхности на результат измерения.︀0Как показано на Рис.
2.14, при отражении электромагнитной волны Eот среды возникнет совокупность волн ҫ отраженная от первой поверхности︀12 ,︀01 , отраженная от второй поверхности волна E︀0 P︀0 T︀01 T︀10 P︀12 R︀0 P︀0 Rволна E2 ︀3 ︀2︀0 P︀0 T︀01 T︀10 P︀14 R︀12︀0 P︀0 T︀01 T︀10 P︀16 R︀12и волны спутники ER10 и т.д. РезультиR10 , E~E0~~~E0P0R01~~~ ~ ~ ~E0P0T01T01P12R12~ ~ ~ ~ ~4~ 2~E0P0T01T01P1 R12 R10~ ~ ~ ~ ~6~ 3~ 2E0P0T01T01P1 R12 R10ε~0, n~0ε~1, n~1ε~2, n~2Рис.
2.14. Отражение плоской электромагнитной волны от двухслойной среды83рующая комплексная амплитуда электромагнитной волны, попадающей надетектор имеет вид [64, 67, 69, 75]︃︃︀01 + T︀01 T︀10 P︀12 R︀12 +︀s = E︀0 REN︁j=1︀j︀j+1 RP︀12j R1012︃︃,(2.46)где j ҫ номер волны спутника, а N ҫчисло учитываемых спутников. Выражение (2.46) может быть переписано с учетом суммы геометрической прогрессии аналогично (2.42), однако для спектроскопических исследований спомощью терагерцовых импульсных систем это не имеет смысла, так как число импульсов-спутников попадающее во временное окно спектрометра всегдаконечно благодаря достаточно большой толщине опорного стекла.Как и в предыдущем случае, помимо модели сигнальной волны (2.46)введем опорную волну, соответствующую отражению терагерцового излучения от среды 3, помещенной за идентичным опорным окном и имеющейизвестные диэлектрические характеристики.
В качестве такой среды могутвыступать воздух (изучение отражения от пустой плоско-паралелльной пластинки), вода, металлические поверхности и др. Опорной сигнал в данномслучае имеет вид︃︃︀r = E︀0 R︀01 + T︀01 T︀10 P︀12 R︀13 +EN︁j=1︀j+1 R︀jP︀12j R1310︃︃.(2.47)Теоретическая передаточная функция ҫ спектральная зависимость амплитудного коэффициента отражения, характеризующая отражение излученияот двухслойной среды, ҫ в простейшем случае задается выражением︀︀ = Es .R︀rE(2.48)Измеряя соответствующие экспериментальные данные Eexp, s и Eexp, r ивыполняя минимизацию функционала ошибки, можно восстановить частотную зависимость диэлектрической проницаемости исследуемой средыε︀2 = arg min [Φ]ε︀2(2.49)84где Φ имеет вид⃒2⃒2 ⃒⃒⃒⃒ ︀⃒⃒ ︀︀︀Φ = ⃒|R| − |Rexp |⃒ + ⃒φ[R] − φ[Rexp ]⃒ ,(2.50)а |...| и φ [...] соответствует операторам извлечения модуля и фазы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
