Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем (1024983), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Значения же коэффициентов равных k1i = 3, k0i = 2 в алгоритме стабилизации задают резко убывающуюдинамику, для изменения ошибки, что может привести к достаточно сильному эффекту перерегулирования. Управление достаточно долго «лежит наполке», иногда даже до конца отведенного на переориентацию времени, илистремительно убывает под конец отведенного отрезка времени, что ведет кдостаточно большим угловым ускорениям и, как показали вычислительныеэксперименты, обычно к наличию небольших угловых скоростей в конечныймомент времени. В этом случае, по окончании процесса переориентации необходимо переходить в режим стабилизации положения покоя КА.
Выборпараметров стабилизации порядка k1i = 0.75, k0i = 0.125 позволяет избежать больших остаточных угловых скоростей и ускорений, однако ведет кбо́льшим ошибкам по угловому положению.2.7.3. Переориентация космического аппарата с недиагональнойматрицей инерции при наличии ограничений на управленияРассмотрим решение задачи переориентации КА из начального положенияпокоя в конечное положение покоя в случае недиагональной матрицы инерцииКА.Исходные данные:— начальное состояниеΛ0 = (0.5, 0.5, 0.5, 0.5), ω0 = (0, 0, 0), u0 = (0, 0, 0),t0 = 0;51— конечное состояниеΛ∗ = (1, 0, 0, 0), ω∗ = (0, 0, 0), u∗ = (0, 0, 0), t∗ = 30;— матрица моментов инерции КА 46614 22044 15437 22044 46614 −15437 ;15437 −15437 49778— нормирующие множители в критерии (2.11)l1 = 1, l2 = 1, l3 = 1Рассмотрим сначала решение поставленной задачи без учета ограниченийна управления.
Значение критерия J (2.11) без использования оптимизацииравно J = 32004. На Рис. 2.11 приведены полученные по результатам моделирования графики угловых скоростей вращения КА и управлений, стабилизирующих программные траектории, построенные с помощью полиномиальногорасширения (полиномы 6-й степени).
В алгоритме стабилизации использовались значения параметров k1i = 3, k0i = 2. Полученное значение критерияJ = 20297.абРис. 2.11. Полиномиальные расширения, ki = 4: а — управления, стабилизирующие программную траекторию; б — угловые скорости52Было проведено моделирование с использованием полиномиальных расширений (полиномы 7-й и 8-й степени) в случае отсутствия ограничений на управления. Значения критерия (2.11) равнялись J = 19282, J = 17165.
Графикиугловых скоростей вращения КА и управлений приведены на Рис. 2.12–2.13.абРис. 2.12. Полиномиальные расширения, ki = 5: а — управления, стабилизирующие программную траекторию; б — угловые скоростиабРис. 2.13. Полиномиальные расширения, ki = 6: а — управления, стабилизирующие программную траекторию; б — угловые скоростиРассмотрим теперь решение поставленной задачи при наличии ограничений на управления, для чего примем ui max = 700, что практически точносовпадает со значением максимального момента управления в неоптимизированной траектории.
Согласно Таблице 4 значения стабилизирующих упра-53влений по абсолютной величине превышают значение ui max . Было проведеномоделирование стабилизирующих управлений с учетом ограничения |ui | 66 ui max = 700, i = 1, 3 с помощью управлений с насыщением с использованием полиномиального расширения.
В алгоритме стабилизации использовались значения параметров k1i = 0.75, k0i = 0.125 из системы (2.15).Результаты моделирования приведены на Рис. 2.14, значение критерия J == 20336.абРис. 2.14. Ограничения на управления ui max = 700, управление с насыщением: а — управления, стабилизирующие программную траекторию;б — угловые скоростиВ Таблице 4 приведены основные результаты расчетов.Моделирование показало, что «основную» часть выигрыша в значениикритерия удалось, как и в предыдущих примерах, достигнуть при использовании полиномов 6-й степени.
Уменьшение значения критерия составило37% при увеличении максимального момента управления на ≈ 6%. Благодаря небольшой разнице между ui max и максимальным развиваемым моментомуправления, наличие ограничений на управления привело лишь к небольшомуувеличению значения критерия (≈ 1%) при ≈ 5% уменьшении максимальногомомента управления.
В целом качественные результаты полностью совпадают с результатами моделирования, проведенного в случае диагональнойматрицы инерции КА в примерах 2.7.1–2.7.2.54Таблица 4.Сравнительные результаты моделирования переориентации КА снедиагональной матрицей инерции из начального положения покоя вконечное положение покояМетодЗначениеУменьшениеМаксимальныйкритериякритериямомент управленияJ (2.11)в %0702Полиномы 6-й степе- 20297ни37741Полиномы 6-й степе- 20336ни, ui max = 700, управление с насыщением36700Полиномы 7-й степе- 19282ни40840Полиномы 8-й степе- 17165ни461122Без оптимизации320042.7.4. Работа алгоритма стабилизации в условиях неточной информации об инерционных характеристикахкосмического аппарата и наличии ограничения на управленияМетодом математического моделирования исследуем влияние ошибок взначениях элементов матрицы инерции КА на точность решения задачи переориентации. В качестве исходных данных использовались данные из примера 2.7.1.
На основании этих данных производился расчет программнойтраектории и программного управления, а при моделировании движения КАиспользовалась новая «возмущенная» матрица инерции КА, тем самым моделируя работу алгоритма стабилизации в условиях не точной информации обинерционных характеристиках КА. Моделировались ошибки в матрице инерции КА в 1%, 10% и 20%. «Возмущенная» матрица инерции получалась из55исходной по следующей формуле:100 − k· 6238200 100100 + kJвозм = 0· 686580100100 − k· 1196500100,где k — величина ошибки в процентах.
Моделирование проводилась какпри наличии ограничений на управления вида (2.22), где ui max = 700, таки без ограничений. При учете ограничений использовалось управление снасыщением, а так же вариант учета ограничений на этапе оптимизации программной траектории. В алгоритме стабилизации использовались два наборакоэффициентов kij из (2.15): k1i = 0.75, k0i = 0.125 и k1i = 3, k0i = 2.абвРис. 2.15. Исходная матрица инерции: а — ошибки по углам между одноимёнными осями; б — ошибки по углам Крылова; в — ошибки поугловой скорости56абвгРис. 2.16.
Возмущение в матрице инерции 10%, нет ограничений на управления: а — ошибки по углам между одноимёнными осями; б —ошибки по углам Крылова; в — ошибки по угловой скорости; г —управления, стабилизирующие программную траекториюНа Рис. 2.15 приведены графики ошибок переориентации при известнойматрице инерции и отсутствии каких-либо возмущающих воздействий. Видно, что ошибки достаточно малы (≈ 10−4 ) и их порядок совпадает с используемой точностью в настройках методов численного интегрирования системы (2.1). В алгоритме стабилизации использовались k1i = 0.75, k0i = 0.125.На Рис. 2.16–2.18 приведены графики ошибок переориентации при ошибках в матрице инерции в 10%.На Рис. 2.16 приведены соответствующие графики при отсутствии ограничений на управления.
Ошибки по углам в некоторые моменты временидостигают ≈ 1◦ , уменьшаясь, благодаря работе алгоритма стабилизации, кконцу времени переориентации до ≈ 0.26◦ по углам между одноименными ося-57ми и ≈ 0.02◦ по углам Крылова. В алгоритме стабилизации использовалисьk1i = 0.75, k0i = 0.125. Результаты моделирования при различных величинах ошибки в матрице инерции КА при указанных значениях коэффициентовстабилизации kij приведены в Таблице 5. В Таблице 6 приведены результатыаналогичного моделирования в случае использования k1i = 3, k0i = 2.Таблица 5.Сравнительные результаты моделирования работы алгоритмастабилизации в условиях не точной информации о инерционныххарактеристиках КА и отсутствии ограничений на управление.Коэффициенты стабилизации k1 = 0.75, k1 = 0.125Возмущениематрициинерции1%10%20%|∠(Xi , Xi )(t∗ )|,t = t∗ , градусы0.0259620.2593960.571603Углы Крылова, t = t∗ ,градусы0.0039530.0211280.091693max(|ωi (t∗ )|), max(|ω̇i (t∗ )|),1/сек1/сек20.0001420.0012680.0009870.0029770.0301870.034229Таблица 6.Сравнительные результаты моделирования работы алгоритмастабилизации в условиях не точной информации о инерционныххарактеристиках КА и отсутствии ограничений на управление.Коэффициенты стабилизации k1 = 3, k1 = 2Возмущениематрициинерции1%10%20%|∠(Xi , Xi )(t∗ )|, Углы Крыградусылова, t = t∗ ,градусы0.0028520.0021770.0283880.0214130.0383960.019966max(|ωi (t∗ )|), max(|ω̇i (t∗ )|),1/сек1/сек20.0000210.0002070.0003260.0004290.0042660.004191Видно, что в случае отсутствия ограничений на управления, использование в алгоритме стабилизации коэффициентов k1 = 3, k1 = 2 вместо k1 = 0.75,k1 = 0.125 дает лучший результат.
Следует заметить, что к выбору данных коэффициентов надо подходить внимательно, поскольку не всегда их58увеличение ведет к уменьшению ошибки из-за чрезмерного эффекта перерегулирования.абвгРис. 2.17. Возмущение в матрице инерции 10%, ограничения на управления,управления с насыщением: а — ошибки по углам между одноимёнными осями; б — ошибки по углам Крылова; в — ошибки поугловой скорости; г — управления, стабилизирующие программную траекториюНа Рис. 2.17–2.18 приведены графики ошибок переориентации в случае наличия ограничений на управления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
