Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем (1024983), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В частности к такимсистемам относятся обратимые системы см. п. 1.1.1 и, в частности, системыприводимые к каноническому виду см. п. 1.1.2.В процессе применения метода обратных задач динамики для построения требуемой программной траектории x(t) очень часто используется методРитца-Галеркина [34]. Суть данного метода, применительно к рассматриваемой задачи, заключается в задании программной траектории в классеизвестных функций, которые удовлетворяют заданным начальным или граничным условиям, т.е. в видеx(t) =nXβk ψk (t),(1.16)k=1где ψk (t) — известные линейно независимые функции, удовлетворяющие заданным начальным или граничным условиям (в зависимости от решаемой задачи), а βk —неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Опреде-22ление неизвестных коэффициентов βk происходит из каких-либо дополнительных условий, связанных с физическими особенностями системы или заданными дополнительным условиями.
Построенная таким образом программнаятраектория x(t) будет автоматически удовлетворять требуемым начальнымили граничным условиям.23Глава 2. Управление переориентациейкосмического аппаратаВ данной главе рассмотрена задача переориентации КА из произвольногоуглового положения в требуемое конечное положение покоя за заданное время.В качестве математической модели КА выбрана модель, описывающая КАкак твердое тело.Задача переориентации КА подразумевает изменение его ориентации винерциальной системе координат за заданное время. Под самой ориентацией КА обычно понимают положение связанной с КА системой координат поотношению к некоторой инерциальной системе координат.
В этом случаепараметры разворота известны заранее, еще до начала маневра, а исходныеуглы рассогласования начального и требуемого положения КА могут бытьлюбыми (от нескольких градусов до 180).В данной работе предлагается расширить множество программных траекторий и тем самым избежать достаточно традиционных ограничений на классдвижений в виде плоского поворота Эйлера или поворотов вокруг главныхосей КА.
Предлагаемый алгоритм управления переориентацией КА основанна результатах работ [21, 28]. Он базируется на концепции обратных задачдинамики [48] и предполагает, во-первых, построение программной траектории, переводящей КА из заданного начального положения в заданное конечноеположение покоя, и реализующего ее программного управления и, во-вторых,синтез управления, стабилизирующего траекторию КА.
Подобный подход позволяет синтезировать алгоритмы управления, обеспечивающие достижениятребуемых динамических характеристик динамических систем [49, 65]. Результаты, изложенные в [21], позволяют строить программные траекторииКА, удовлетворяющие заданным начальным и конечным условиям на основе дважды дифференцируемых функций. В [21] кинематическая траекториястроится на основе полиномов 5-й степени специального вида, которые однозначно определяются по граничным условиям.24Предлагается расширить множество таких полиномов до параметрических классов функций, на основе которых строится программная траектория.Это позволяет выбирать в таких классах траектории, оптимальные по некоторому критерию.
Таким критерием может быть расход топлива, максимальный управляющий момент и т.д. Подобный подход позволяет использоватьчисленные методы оптимизации программной траектории. С теоретическойточки зрения данный подход является применением метода Ритца-Галеркинав обратных задачах динамики [47], когда решение ищется в заданном классефункций, а определению подлежат лишь коеффициенты при данных известных функциях. Кроме того, данный подход позволяет учитывать ограничения, накладываемые на вектор управления и вектор угловой скорости КА.Выбор полиномов в качестве функций, на основе которых строиться программная траектория, диктуется прежде всего удобством и простотой вычислений. Предлагается использовать полиномы, степень которых выше 5или функции, построенные на основе кубического сплайна с дефектом 1.
Вслучае полиномов в качестве параметров оптимизации выступают коэффициенты при 6-й и старших степенях. При использовании кубических сплайнов сдефектом 1 все время переориентации разбивается некоторой сеткой на произвольные временные отрезки, а в качестве оптимизационных параметроввыступают значения сплайна во внутренних узлах сетки [39]. Так же в работе рассматриваются и другие способы задания функций, на основе которыхстроится программная траектория.Учет ограничений на управления и переменные состояния осуществлялсяметодами численной оптимизации.2.1.
Модель космического аппарата как твердого телаБудем предполагать, что КА представляет собой твердое тело. Выберемжестко связанную с КА систему координат с началом в центре масс. Назовемее связанной системой координат.25Движение твердого тела вокруг центра масс описывается следующей системой уравнений [5]2Λ̇ = Λ ◦ ω,I ω̇ + ω × Iω = u,(2.1)где кватернион Λ(t) = (λ0 (t), λ1 (t), λ2 (t), λ3 (t))T удовлетворяет условию нормировки|Λ(t)|2 = λ20 (t) + λ21 (t) + λ22 (t) + λ23 (t) = 1(2.2)и задает положение связанной системы координат относительно неподвижной системы координат, ω = (ω1 , ω2 , ω3 )T ∈ R3 — вектор угловой скорости в проекциях на оси связанной системы координат, u = (u1 , u2 , u3 )T ∈ R3 —управление, I — матрица моментов инерции КА, ◦ — операция умножениякватернионов. Под управлением мы понимаем суммарный момент, действующий на корпус КА со стороны исполнительных органов.
Будем предполагать,что компоненты вектора управления как функции времени непрерывны.Рассмотрим задачу переориентации КА из заданного начального положенияΛ(0) = Λ0 ,ω(0) = ω0(2.3)ω(t∗ ) = 0(2.4)в заданное конечное положение покояΛ(t∗ ) = Λ∗ ,за промежуток времени T = [0, t∗ ].Непрерывному управлению u = (u1 (t), u2 (t), u3 (t))T , t ∈ T и любому начальному состоянию системы (2.1), удовлетворяющему условию нормировки (2.2), соответствует кинематическая траектория Λ = (λ0 (t), λ1 (t), λ2 (t),λ3 (t))T , t ∈ T .
Эта траектория принадлежит классу C 2 (т.е. λi (t) ∈ C 2 (T )) ипри всех t ∈ T удовлетворяет условию нормировки (2.2). В работе [21] показано, что отображение вход-выход системы (2.1) с выходом y = Λ из множества26непрерывных управлений в множество функций класса C 2 , удовлетворяющихусловию нормировки (2.2), обратимо, а реализующее выход Λ(t) непрерывноеуправление имеет видu = u(t) = 2I(Λ−1 (t) ◦ Λ̈(t) − Λ−1 (t) ◦ Λ̇(t) ◦ Λ−1 (t) ◦ Λ̇(t)) ++ 4Λ−1 (t) ◦ Λ̇(t) × IΛ−1 (t) ◦ Λ̇(t). (2.5)При этом соответствующие угловые скорости ω(t), при заданном выходе Λ(t),могут быть вычесленны по следующей формуле, непосредственно вытекающей из (2.1)ω(t) = 2Λ̇(t) ◦ Λ−1 (t) = 2 ∗ Λ̇(t) ◦ Λ̃(t),(2.6)где через Λ̃(t) обозначен кватернион сопряженный к Λ(t), который совпадаетс обратным кватернионом в силу нормированности Λ(t).Таким образом, задача переориентации (2.3)–(2.4) сводится к построениюкинематической траектории Λ(t) класса C 2 , удовлетворяющей граничнымусловиямΛ(0) = Λ0 ,Λ(t∗ ) = Λ∗ ,Λ̇(0) = 0.5Λ0 ◦ ω0 ,Λ̇(t∗ ) = 0,(2.7)Λ̈(0) = 0.5(Λ̇0 ◦ ω0 + Λ0 ◦ I −1 (u0 − ω0 × Iω0 )), Λ̈(t∗ ) = 0,соответствующим условиям (2.3)–(2.4) и значениям управления u(0) = u0 ,u(t∗ ) = 0.В работе [21] показано, что построение кинематической траектории можно проводить следующим образом.
Сначала необходимо найти такие функции µi (t) ∈ C 2 (T ), i = 0, 3, что функция (ненормированный кватернион)Λ(µi ) = (µ0 (t), µ1 (t), µ2 (t), µ3 (t))T удовлетворяет граничным условиям (2.7)s3Pи дополнительному условиюµ2i (t) 6= 0, t ∈ T . Если такие функцииi=0найдены, то им соответствует кинематическая траектория КА, задаваемая27нормированным кватернионом Λ(t) = (λ0 (t), λ1 (t), λ2 (t), λ3 (t))T , гдеλi (t) = sµi (t)3Pi=0,i = 0, 3,(2.8)µ2i (t)удовлетворяющая условиям (2.7) и реализуемая управлением (2.5).В качестве µi (t) в [21] предложены многочлены 5-й степениµi (t) = λi∗ + ci1 (t − t∗ )3 + ci2 (t − t∗ )4 + ci3 (t − t∗ )5 ,i = 0,3,(2.9)коэффициенты cik , i = 0, 3, k = 1, 3, которых однозначно выражаются через граничные условия (2.7), определяя тем самым единственную кинематическую траекторию. Изменение этой траектории возможно только путемизменения общего времени маневра t∗ .
Слагаемые λi∗ в (2.9) являются компонентами кватерниона конечного положения Λ∗ из (2.7). В выражении для µi (t)в (2.9) отсутствуют слагаемые соответствующие младшим степеням полинома. Такой выбор вида полинома 5-й степени для Λ(µi ) позволяет обеспечитьвыполнения граничных условий (2.7) в момент времени t = t∗ . Действительно, при t = t∗ µi (t∗ ) = λi∗ , µ̇i (t∗ ) = µ̈i (t∗ ) = 0. Выполнение граничныхусловий (2.7) в момент времени t = 0 достигается, как уже отмечалось выше, выбором коэффициентов cik , i = 0, 3, k = 1, 3, для определения которыхимеется ровно 12 условий.2.2. Полиномиальные расширенияПредлагается использовать различные параметрические расширения набора функций (2.9) до множеств функций из C 2 , удовлетворяющих граничнымусловиям (2.7). Это позволяет расширить класс рассматриваемых движенийи при выборе решения использовать оптимизационный подход.Рассмотрим расширение набора функций (2.9) до параметрического множества полиномиальных вектор-функций размерности 4.28Если к функциям µi (t), i = 0, 3, заданным в виде (2.9), прибавить полиномыµki i (t) = t3 (t − t∗ )3 (ci4 + ci5 t + .
. . + ciki tki −4 ),i = 0, 3,(2.10)то получим полиномы µ̃i (t) = µi (t) + µki i (t), для которых функция Λ(µ̃i ) такжеудовлетворяет граничным условиям (2.7), поскольку добавленные слагаемыевида (2.10) равны нулю при t = 0 и t = t∗ вместе со своими первыми двумя производными. Следовательно, можно использовать функции µ̃i (t) длязадания кинематической траектории по соотношениям (2.8), а затем по формуле (2.5) найти реализующее ее управление.Это управление зависит от коэффициентов cij полиномов (2.10), на которые не наложено каких-либо условий. Поэтому их значения можно найти какрешение задачи безусловной оптимизации.
В качестве критерия оптимизациипримемZT J=|u1 (τ )| |u2 (τ )| |u3 (τ )|++dτ,l1l2l3(2.11)0где l1 , l2 , l3 — нормирующие множители. Тогда для нахождения коэффициентов cij получаем задачу конечномерной оптимизацииJ(cij , i = 0, 3, j = 4, ki ) → min,которая может решаться различными численными методами. При наличииограничений на управления (u ∈ U ) или угловые скорости (ω ∈ Ω) для нахождения коэффициентов cij получаем задачу конечномерной оптимизации приналичии ограниченийJ(cij , i = 0, 3, j = 4, ki )→ min,u∈U,ω∈Ωкоторая так же может быть решена при помощи численных методов.292.3. Сплайн-расширенияДругой способ расширения набора функций (2.9) заключается в добавлении к каждой функции µi (t), i = 0, 3, слагаемогоµsi (t) = t(t − t∗ )pi (t),i = 0, 3,(2.12)где pi (t) — кубический сплайн дефекта 1, который вместе со своей первойпроизводной p0i (t) равен нулю на концах интервала времени T .
В результатефункция Λ(µ̂i ), где µ̂i = µi (t)+µsi (t), удовлетворяет граничным условиям (2.7).Известно [29], что кубический сплайн p(t) на отрезке [tj−1 , tj ] некоторогозаданного разбиения 0 = t0 < . . . < tn = t∗ интервала времени управления Tможно представить следующим образом:p(t) = α(v)pj−1 + β(v)pj + γ(v)p0j−1 + δ(v)p0j ,где∆j = tj − tj−1 , v = (t − tj−1 )/∆j ,α(v) = (1 − v)2 (1 + 2v), β(v) = v 2 (3 − 2v),γ(v) = v(1 − v)2 ∆j , δ(v) = −v 2 (1 − v)∆j .Величины pj = p(tj ), p0j = p0 (tj ) являются значениями сплайна p(t) и егопервой производной p0 (t) в момент времени t = tj .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
