Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем (1024983), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Таким образом значения pjи p0j являются параметрами, изменяя которые, мы можем влиять на свойствафункций µi (t) + µsi (t) и, следовательно, на свойства получаемой согласно (2.8)кинематической траектории.Поскольку сплайн p(t) должен равняться нулю на концах интервала времени управления вместе со своей первой производной, то p0 = pn = 0 иp00 = p0n = 0.

При любом выборе остальных значений p(tj ) и p0 (tj ) j = 1, n − 1,сплайн p(t) будет непрерывным вместе со своей первой производной на [0, t∗ ].Для непрерывности его второй производной p00 (tj ) значения p0j должный удовлетворять условиямaj p0j−1 + 2p0j + (1 − aj )p0j+1 = ej ,j = 1, n − 1,30где∆j+1aj =,∆j + ∆j+1pj − pj−1pj+1 − pjej = 3 aj+ (1 − aj ).∆j∆j+1Учитывая то, что p00 = p0n = 0, получаем следующую систему уравнений дляопределения значений p0j :0p 0 = 0,aj p0j−1 + 2p0j + (1 − aj )p0j+1 = ej , p0 = 0.nj = 1, n − 1,(2.13)Данная система линейных алгебраических уравнений всегда имеет единственное решение [29].Следовательно, задав любые значения pij , j = 1, n − 1, i = 0, 3 и решив2систему (2.13), получим функции pi (t) ∈ C[0,t.

Тогда функции∗]µsi (t) = t(t − t∗ )pi (t),µ̇si (t) = (2t − 1)pi (t) + t(t − t∗ )p0i (t),µ̈si (t) = 2pi (t) + 2(2t − 1)p0i (t) + t(t − t∗ )p00i (t).равны нулю на концах отрезка T . Поэтому получаем функции µ̂i = µi (t) ++ µsi (t), i = 0, 3, для которых Λ(µ̂i ) также удовлетворяет удовлетворяютграничным условиям (2.7) и, согласно теореме 1 из [21], можно использовать функции µ̂i , i = 0, 3 для построения кинематической траектории, азатем, по формуле (2.5) найти реализующее ее управление. В результатебудет получено pij -параметрическое множество решений терминальной задачи j = 1, n − 1, i = 0, 3. Для выбора значений pij можно использоватькритерий (2.11) и решить соответствующую задачу конечномерной оптимизацииJ(pij , i = 0, 3, j = 1, n − 1) → min .При наличии каких-либо дополнительных ограничений, как и в случае полиномиальных расширений (см.

c. 27), получаем задачу конечномерной оптими-31зации при наличии ограниченийJ(pij , i = 0, 3, j = 1, n − 1)→ min,u∈U,ω∈Ωкоторая так же может быть решена при помощи численных методов.Отметим, что количество внутренних узлов в сплайнах может выбираться достаточно большим и ограничено лишь вычислительными трудностямирешения задачи конечномерной оптимизации.2.4. Другие способы задания кинематическойтраектории. Кубические В-сплайныРассмотрим альтернативные способы выбора функций µi (t) из (2.8) дляпостроения кинематической траектории. Будем искать функции µi (t) в виделинейной комбинации кубических B-сплайнов, построенных на отрезке времени [0, t∗ ] по сетке с m + 1 узлом 0 = t0 < t1 < .

. . < tm = t∗ :µi (t) =m+1X(3)bij Bj (t) i = 0, 3,(2.14)j=−1(3)где bij — подлежащие определению неизвестные коэффициенты, а Bj (t) —кубический В-сплайн, задающийся, в случае равномерной сетки с шагом hследующим соотношением:31 t − tj+2 ,h632 21t−tt−tjj−,+2hh32(3)t − tj 3t − tj 2Bj (t) = 2 + 1−2,hh321t − tj 32−,h60,t ∈ [tj−2 , tj−1 ];t ∈ [tj−1 , tj ];t ∈ [tj , tj+1 ];t ∈ [tj+1 , tj+2 ];иначе.(3)Функция Bj (t) ∈ C 2 и отлична от нуля только на 4-х последовательных отрезках [tj−2 , tj−1 ], [tj−1 , tj ], [tj , tj+1 ], [tj+1 , tj+2 ]. Отрезок [tj−2 , tj+2 ] называется(3)носителем функции Bj (t).32Граничные условия (2.7) дают по 6 линейных уравнений на коэффициентыbij для каждой функции µi (t) i = 0, 3 из (2.14).

Поэтому в (2.14) значениеm должно быть равно не менее 3-м, а каждая из точек t = 0, t = t∗ должнапринадлежать носителю не менее чем 3-х разных B-сплайнов. Следовательно решив эту систему линейных уравнений, можно использовать функцииµi (t) вида (2.14) для задания кинематической траектории по соотношениям (2.8), а затем по формуле (2.5) найти реализующее ее управление.

Еслив (2.14) m > 3, то получаем bij -параметрическое семейство решений. Длявыбора оставшихся коэффициентов bijj = 2, m − 2 можно использовать кри-терий (2.11) и решить соответствующую задачу конечномерной оптимизацииJ(bij , i = 0, 3, j = 2, m − 2) → min .При наличии каких-либо дополнительных ограничений, как и в случае полиномиальных расширений (см. c. 27), получаем задачу конечномерной оптимизации при наличии ограниченийJ(bij , i = 0, 3, j = 2, m − 2) |u∈U,ω∈Ω → min,которая так же может быть решена при помощи численных методов.2.5. Стабилизация программной траекторииУправление, построенное в разделах 2.2, 2.3 с помощью (2.5), является программным. Из-за ошибок его реализации, а также в силу различных возмущающих факторов, КА будет двигаться по некоторой траекторииΛ = (λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ), отличной от программной траектории Λ(t).

Найдем управление, стабилизирующее программную траекторию.Из-за условия нормировки (2.2) из четырех ошибок ei = λi − λi (t), i = 0, 3реализации программной кинематической траектории Λ(t) лишь три являются независимыми.33Построим стабилизирующее управление в виде нестационарной обратнойсвязи, из условия экспоненциального убывания ошибок e1 , e2 , e3 .Пусть эти ошибки удовлетворяют следующей системе системе уравненийλ̈i − λ̈i (t) + k1i (λ̇i − λ̇i (t)) + k0i (λi − λi (t)) = 0, i = 1, 3,(2.15)где постоянные kij положительны.Запишем управление (2.5) для текущего состояния,u = 2I(Λ−1 ◦ Λ̈ − Λ−1 ◦ Λ̇ ◦ Λ−1 ◦ Λ̇) + 4Λ−1 ◦ Λ̇ × IΛ−1 ◦ Λ̇.(2.16)В работе [28] показано, что если из управления (2.16) с помощью условияpнормировки (λ0 = 1 − λ21 − λ22 − λ23 в области λ0 > 0, а в области λ0 < 0pнеобходимо использовать равенство λ0 = − 1 − λ21 − λ22 − λ23 ) исключить λ0 ,λ̇0 , λ̈0 , а затем из полученного выражения для управления исключить λ̈1 , λ̈2 ,λ̈3 , воспользовавшись системой (2.15), то полученное управление стабилизирует программную траекторию системы (2.1) и имеет видu = u(λ1 , λ2 , λ3 , λ̇1 , λ̇2 , λ̇3 , t).Если производные λ̇1 , λ̇2 , λ̇3 записать как функции λ1 , λ2 , λ3 , ω (с помощью кинематических уравнений и условия нормировки), то стабилизирующееуправление будет представлено в виде функции uст = uст (λ1 , λ2 , λ3 , ω, t).

В [28]показано, что аналогичные управления можно построить и в областях λi > 0(λi < 0) i 6= 0.Однако получение расчетных формул для управления, стабилизирующего программную траекторию, предложенным выше способом представляетсянесколько громоздким. Получим расчетные формулы для управления uст == uст (λ1 , λ2 , λ3 , ω, t) исключив λ0 , λ̇0 , λ̈0 , λ̇1 , λ̈1 , λ̇2 , λ̈2 , λ̇3 , λ̈3 на этапе получения управления (2.5). Для этого запишем кинематические уравнения из34системы (2.1) в координатной форме2λ̇0 = −λ1 ω1 − λ2 ω2 − λ3 ω3 , 2λ̇ = λ ω − λ ω + λ ω ,10 13 22 3(2.17)2λ̇2 = λ3 ω1 + λ0 ω2 − λ1 ω3 , 2λ̇3 = −λ2 ω1 + λ1 ω2 + λ0 ω3 .Используя обозначения Λ̄ = (λ1 , λ2 , λ3 ), 0 −ω1 −ω2 −ω3 ω3 −ω2  ω1 0 ω1 0ω3 −ω2  , M0 (ω) =  ω2 −ω3 0M (ω) = ,ω1 ω2 −ω3 0ω1 ω3 ω2 −ω1 0ω3 ω2 −ω1 0 λ0 −λ3 λ2 N0 (Λ) =  λ3λ0 −λ1 −λ2 λ1λ0из (2.1) и (2.17) получимΛ̇ = M (ω)Λ,Λ̄˙ = M0 (ω)Λ,Λ̄˙ = N0 (Λ)ω,¨ = M (ω)Λ̇ + N (Λ)ω̇,2Λ̄00или, с учетом динамических уравнений,¨ = M (ω)M (ω)Λ + N (Λ)(I −1 u − I −1 ω × Iω).2Λ̄00(2.18)Поскольку det N0 (Λ) = λ30 + λ0 (λ21 + λ22 + λ23 ) 6= 0 при λ0 6= 0, то из (2.18) можнонайти управление¨ − M (ω)M (ω)Λ) + ω × Iω.u = IN0−1 (Λ)(2Λ̄0Далее, записав (2.15) в виде¨ = F (Λ̄, Λ̄,˙ t),Λ̄(2.19)35где λ̈1 (t) − k11 (λ̇1 − λ̇1 (t)) − k01 (λ1 − λ1 (t))˙ t) = F (Λ̄, Λ̄, λ̈2 (t) − k12 (λ̇2 − λ̇2 (t)) − k02 (λ2 − λ2 (t))λ̈3 (t) − k13 (λ̇3 − λ̇3 (t)) − k03 (λ3 − λ3 (t)),из (2.19) получим˙ t) − M (ω)M (ω)Λ) + ω × Iω.u = IN0−1 (Λ)(2F (Λ̄, Λ̄,0(2.20)Воспользовавшись формулой Λ̄˙ = N0 (Λ)ω из (2.20) получимu = IN0−1 (Λ)(2F (Λ̄, ω, t) − M0 (ω)M (ω)Λ) + ω × Iω.(2.21)pЕсли в правой части выражения (2.20) положить λ0 = 1 − λ21 − λ22 − λ23 , вpобласти λ0 > 0 и λ0 = − 1 − λ21 − λ22 − λ23 , в области λ0 < 0, то оно совпадаетс функцией uст (λ1 , λ2 , λ3 , ω, t).2.6.

Учет ограниченийСистема управления, как правило, характеризуется наличием ограничений, что связано с ограниченностью ресурсов управления. Будем предполагать, что на управления наложены ограничения|ui | 6 ui,max ,i = 1, 3.(2.22)Программное управление (см. разделы 2.2, 2.3 и 2.4), реализующее кинематическую траекторию, получаемую из решения задачи конечномерной оптимизации, не всегда удовлетворяет ограничениям (2.22). Это влечет нарушениеограничений (2.22) и для стабилизирующего управления uст , построенного впункте 2.5. Одним из возможных подходов к решению данной проблемы является использование управления с насыщением, состоящее в замене обратнойсвязи u = uст = uст (λ1 , λ2 , λ3 , ω, t) = (u1,ст , u2,ст , u3,ст )T на обратную связьu = ũ = ũ(λ1 , λ2 , λ3 , ω, t) = (ũ1 , ũ2 , ũ3 )T , гдеui,ст ,|ui,ст | 6 ui,max ;ũi = sign(ui,ст ) ui,max , |ui,ст | > ui,max .36Если программное управление удовлетворяет ограничению (2.22) при строгих неравенствах, то при достаточно малых положительных постоянных kijстабилизирующее управление uст тоже удовлетворяет тем же неравенствам.В таких случаях на интервале времени управления ũ = uст .

В остальныхслучаях управления ũ и uст не совпадают. Использование управления ũ снасыщением расширяет множество программных траекторий, стабилизируемых управлением, удовлетворяющим ограничениям (2.22) [83].В случае, когда программное управление не удовлетворяет ограничению(2.22), то и стабилизирующее управление uст в общем случае так же не удовлетворяет этому ограничению, причем разность между uст и управлениемс насыщением ũ может быть достаточно большой.

Данное рассогласованиеведет к наличию ошибки в конечном положении твердого тела и наличию ненулевых угловых скоростей к концу времени переориентации, для ликвидациикоторых необходимо использовать алгоритм стабилизации заданного углового положения твердого тела. Поэтому было бы желательно получить такойалгоритм нахождения программного управления, который бы гарантировалвыполнение ограничения (2.22).

Характеристики

Список файлов диссертации