Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем (1024983), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . , y (ν) ), u = H(z, y, ẏ, . . . , y (ν) ),(1.4)называется левой обратной системой для системы (1.2), если выход u(t) системы (1.4) равен входу u(t) системы (1.2), всякий раз, когда вход y(t) системы (1.4) выбирается равным выходу системы (1.2).Выбор в [78] именно аффинной системы в качестве обращаемой, по видимому, обусловлен наличием для аффинных систем так называемого «структурного алгоритма» или, как его еще называют, «алгоритма обращения»,16позволяющего находить вход системы, с целью реализации требуемой выходной функции.Под обратимой системой, в данной работе, будет пониматься система, длякоторой существует правая обратная система, в смысле определения (1.1).Мы лишь расширим рассматриваемый класс систем и не будем ограничиваться только аффинными системами.Определение 1.3. Система ẋ = F (x, u), y = h(x),(1.5)называется обратимой, если для любого, наперед заданного выхода y(t) системы (1.5) найдется реализующий его вход u(t).1.1.2.
Аффинные системыСистема (1.1) называется аффинной системой, если она имеет следующийвидẋ = A(x) +mXBi (x)ui ,x ∈ Ω ⊂ Rn ,(1.6)i=1тгде A(x) = (a1 (x), . . . , an (x)) , Bi (x) = (b1i (x), . . . , bni (x))T , i = 1, m.Аффинная система (1.6) называется системой канонического вида, еслиона имеет следующий видmPż1 = z2 , . . . , żn1 −1 = zn1 , żn1 = f1 (z) +g1j (z)uji=1...mPż=z,...,ż=f(z)+gmj (z)uj ,n1 +...+nm−1 +2nm n1 +...+nm−1 +1(1.7)i=1где n1 + .
. . nm = n, z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Z ⊂ Rn — канонические переменные.Введем фазовые переменные, полагая(n1 −1)= zn1 , y1 = z1 , ẏ1 = z2 , . . . , y1...(nm −1) ym = zn +...+n +1 , ẏm = zn +...+n +2 , . . . , ym= zn .1m−11m−1(1.8)17Тогда каноническую систему (1.7) можно записать в виде системы из m дифференциальных уравнений(n1 )y1= f1 (ȳ) +mPg1j (ȳ)uj ,j=1...mP(nm )y=f(ȳ)+gmj (ȳ)uj ,mm(1.9)j=1(n1 −1)где ȳ = (y1 , ẏ1 , .
. . , y1(n −1) T, . . . , ym , ẏm , . . . , ym m) .Отметим, что системы канонического вида (1.7) и системы (1.9) обладают рядом преимуществ по сравнению с просто аффинными системами (1.6),не приводимыми к каноническому виду, поскольку для систем канонического вида разработано большое количество методов анализа множеств достижимости, управляемости, декомпозиции и синтеза алгоритмов управления [23, 40, 41, 64]. Кроме того, системы канонического вида с выходом h == (z1 , . . .
, zn1 +...+nm−1 +1 ) для (1.7) (h = (y1 , . . . , ym ) для (1.9)) в случае невырожденности матрицы G(z) =k gij (z) ki,j=1,m (G(ȳ) =k gij (ȳ) ki,j=1,m для (1.9))являются обратимыми системами (см. 1.1.1).Существуют необходимые и достаточные условия чтобы для аффиннойсистемы (1.6) в Ω существовали переменные, в которых она принимала быканонический вид (1.7) или (1.9).Теорема 1.1. Для того, чтобы для аффинной системы (1.6) в Ω существовали канонические переменные, в которых она имеет вид (1.7), необходимо идостаточно, чтобы существовали такие функции ϕ1 (x), . . . , ϕm (x) ∈ C ∞ (Ω),которые удовлетворяют в Ω системе уравнений в частных производныхBj Ak ϕi (x) = 0, k = 0, ni − 2, i, j = 1, m,(1.10)zn(i)+k = Ak−1 ϕi (x),(1.11)а соотношенияk = 1, ni , i = 1, m,где n(1) = 0, n(i) = n1 +. .
.+ni−1 , i > 1 задавали в Ω гладкую невырожденнуюзамену переменных.18Теорема 1.2. Для того, чтобы для аффинной системы (1.6) в Ω существовали канонические переменные, в которых она имеет вид (1.9) необходимо идостаточно, чтобы существовали такие функции ϕ1 (x), . . .
, ϕm (x) ∈ C ∞ (Ω),которые удовлетворяют в Ω системе уравненийadkA Bj ϕi (x) = 0,k = 0, ni − 2, i, j = 1, m,(1.12)k = 1, ni − 1, i = 1, m,(1.13)а соотношенияyik = Ak ϕi (x),задавали в Ω гладкую невырожденную замену переменных.
В этих переменных аффинная система имеет канонический вид (1.9), при этомgij (ȳ) = Bj Ani −1 ϕi (x),fi (ȳ) = Ani ϕi (x),где x = ψ(ȳ) — решение (1.13) относительно x.В данных теоремах использовались следующие обозначения:nP∂,A=ai (x)∂xii=1ad0A B= B,Bj =i=1adA B = [A, B],[A, B] = AB − BA,nXbij (x)∂,∂xij = 1, m,adkA B = [A, adk−1A B],Ak = AAk−1 ,k > 1,k = 2, 3, . . . .1.2. Терминальная задачаВернемся к рассмотрению нелинейной динамической системы (1.1) и рассмотрим некоторые условия для нееxi0 = xi (t0 ), i = 1, m, m < n,(1.14)xj∗ = xj (t∗ ), j = m + 1, n.Под терминальной задачей для (1.1), (1.14) мы понимаем нахождение программной траектории x(t) и программного управления u(t), обеспечивающихперевод системы из заданного начального состояния при t = t0 , в заданноеконечное состояние при t = t∗ .19Отметим, что в отличие от задачи Коши для (1.1), которая при фиксировании любого, например непрерывного управления u = u(t), имеет (хотябы локально) решение x = x(t) (разумеется, если функции Fi (x, t, u), i = 1, n,удовлетворяют теореме Коши), рассматриваемая краевая задача (1.1), (1.14)(при фиксированном управлении u = u(t)) может и не иметь решений или жеиметь их несколько, в том числе и бесконечное множество.
Кроме того, решение терминальной задачи может быть осложнено наличием ограниченийкак на переменные состояния системы x ∈ X ⊂ Rn , так и на управленияu ∈ U ⊂ Rm . Так же к терминальным задачам относятся случаи, когда количество граничных условий меньше размерности пространства состояниясистемы. Обычно к таким случаям относятся задачи с целым множествомдопустимых конечных состояний. Например, в задаче о поражении целиуправляемым боеприпасом, в качестве конечного состояния естественно указать лишь координаты цели, поскольку скорость боеприпаса при достижениизаданных координат нас не интересует, в то время как в качестве начального состояния необходимо рассматривать полный вектор состояния системы,включающий в себя координаты центра масс боеприпаса, его вектор скоростии, возможно, другие параметры, в зависимости от используемой математической модели.
Кроме того, в терминальной задачи время достижения системойконечного состояния может быть не задано точно, вместо этого может бытьуказан допустимы диапазон времени, как, например, в примере с управляемым боеприпасом.Таким образом под терминальной задачей в теории управления понимается нахождение программного движения, включающего в себя программнуютраекторию и программное управления, переводящего динамическую систему из заданного начального состояния в заданное конечное. При этом времяперевода системы может быть заданным или просто конечным и выбиратьсяиз каких-либо дополнительных соображений, а на переменные состояния иуправления могут быть наложены ограничения.201.3. Метод обратных задач динамикиПусть известна математическая модель движения системы, описываемаянекоторой нелинейной нестационарной динамической системойẋ = F (x, t, u),x ∈ Rn , u ∈ Rm , t ∈ R,(1.15)и задано ее начальное состояние x(0) = x0 .В динамике — науке о движении материальных систем — изучают методырешения двух основных задач.В первой задаче по известной математической модели (1.15), начальномусостоянию и заданному воздействию u(t) необходимо найти траекторию движения системы т.е.
x(t), t > 0. Решение данной задачи фактически сводитсяк интегрированию системы дифференциальных уравнений (1.15) с заданными начальными условиями, которое может быть выполнено аналитически иличисленно.Во второй задаче по известной математической модели (1.15), начальномусостоянию и назначенной траектории движения системы т.е. x∗ (t), t > 0необходимо найти такое входное воздействие u(t), которое обеспечивало быдвижение системы по назначенной траектории, т.е. x(t) = x∗ (t), t > 0.Сформулированные задачи противоположны по содержанию, поэтому первую из них в теории управления принято называть прямой задачей динамики,а вторую — обратной. Если входное воздействие u(t) представляет собойуправляющую силу и/или момент, то в математическом отношении содержание обратной задачи динамики составляет синтез алгоритма управления, прикотором управляемая система обладает требуемыми динамическими характеристиками.
Таким образом, метод обратных задач динамики состоит из двухосновных этапов: во-первых в построении требуемой траектории движенияобъекта управления и, во-вторых, в определении необходимых управляющихвоздействий для реализации требуемой траектории.21Согласно [47], содержание обратных задач динамики должно включатьопределение законов управления движением динамических систем и их параметров из условия осуществления движения по назначенной траектории.При таком подходе область применения обратных задач динамики не ограничивается задачами управления механическими системами, а охватываетуправление системами всех видов, которые по определению относятся к динамическим системам.
Таким образом, подобный подход применим не толькок механическим системам, но и к управляемым системам электромеханической, электрической, химической и другой природы.Отметим так же, что при решении задач управления при использованииметода обратных задач динамики мы получаем физически реализуемую траекторию движения объекта управления, в то время как при решении прямойзадачи, мы можем получить и не реализуемую на практике траекторию движения. Однако, определение закона управления u(t) при известной функцииF (x, t, u) (1.15) не всегда представляется возможным, хотя для некоторыхклассов систем такая задача может быть всегда решена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
