Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем (1024983), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Предлагается наряду с критерием (2.11) принахождении программного управления использовать еще и сами ограничения на управления, что дает возможность учитывать ограничения (2.22) ужена этапе построения программной траектории и ведет к задаче оптимизациипри наличии ограничений. Аналогично можно учесть ограничения на угловые скорости КА ωi , i = 1, 3, которые также являются типичными для задачипереориентации.2.7. МоделированиеВ данном разделе приведены результаты численного моделирования предлагаемого алгоритма управления переориентацией КА при различных исходных данных. Моделирование реализовалось средствами среды Matlab.Движение КА моделировалось с помощью системы (2.1).
Во всех расчетах в37качестве независимой переменной было выбрано безразмерное время τ = t/t∗ ,τ ∈ [0, 1]. При интегрировании системы (2.1) использовался метод ДормандаПринса, являющийся одной из разновидностей методов Рунге-Кутты. Данный метод реализован в функции «ode45» среды Matlab.Для решения оптимизационной задачи без ограничений использовалисьфункции среды Matlab «fminsearch» и «fminunc». Функция «fminsearch» реализует метод деформируемого симплекса [60], который не требует дифференцируемости оптимизируемой функции.
В функции «fminunc» реализованыквази-Ньютоновские методы оптимизации. В качестве решения принимался лучший, с точки зрения используемого критерия, результат, полученныйодной из этих функций.При вычислении значений критериев (2.11) и (2.24) использовались адаптивный метод Симпсона, реализованный в функции «quad» среды Matlab.При решении задачи оптимизации при наличии ограничений использовалась функция среды fmincon. В качестве алгоритма численного решениязадачи использовался «Interior Point» алгоритм [76, 77, 92].Структура раздела. Поскольку во многих работах, посвящённых задаче переориентации КА, рассматривается переориентация из положения покояв положение покоя при диагональной матрице инерции КА, большинство примеров, приведённых далее, посвящены рассмотрению именно такой задачи.Однако следует особо подчеркнуть, что предлагаемый в работе подход позволяет решать задачу переориентации КА из заданного начального в заданноеконечное положение при произвольной матрицы инерции.Сначала рассматривается решение задачи переориентации при отсутствии ограничений на управления (см.
2.7.1). Целью данного рассмотренияявляется сравнение эффективности предложенных в разделах (2.2)–(2.4) параметрических расширений набора функций (2.9) по сравнению друг с другом,а так же с базовым алгоритмом [21].38Система управления, как правило, характеризуется наличием ограничений.Поэтому в (2.7.2) рассматривается решение задачи переориентацииКА при наличии ограничений на управления вида (2.22). Целью подобного рассмотрения является подтверждение работоспособности предложенногометода учёта ограничений и стабилизации программной траектории, а также оценка возможных ошибок ориентации КА в конечный момент времени,вызванных ограниченностью ресурсов управления.Большинство известных методов решения задачи переориентации КАпредполагает наличие точной информации об инерционных характеристикахобъекта. Однако в реальных задачах эта информация может быть известналишь приближённо.
В (2.7.4) моделируется работа предлагаемого алгоритмав условиях неточной информации о матрице инерции КА, а так же при наличии ограничений на управления. Приводятся значения ошибок ориентацииКА в зависимости от величины ошибок в инерционных характеристиках КАи ограничений на управления.Многие из известных алгоритмов переориентации строятся как решениезадачи оптимального управления [52,53,58], поэтому вопрос сравнения подобного алгоритма с предлагаемым в данной работе представляет достаточнобольшой интерес. В (2.7.5) приводятся результаты такого сравнения.В (2.7.3) приведены результаты моделирования работы алгоритма переориентации при произвольной матрице инерционных параметров КА.2.7.1.
Переориентация космическогоаппарата без ограничений на управленияРассмотрим решение задачи переориентации КА из начального положенияпокоя в конечное положение покоя в случае диагональной матрицы инерции КА.Исходные данные:39— начальное состояниеΛ0 = (0.5, 0.5, 0.5, 0.5), ω0 = (0, 0, 0), u0 = (0, 0, 0), t0 = 0;— конечное состояниеΛ∗ = (1, 0, 0, 0), ω∗ = (0, 0, 0), u∗ = (0, 0, 0), t∗ = 30;— матрица моментов инерции КА00 62382 06865800011965;— нормирующие множители в критерии (2.11)l1 = 1, l2 = 1, l3 = 1.На Рис.
2.1 приведены результаты математического моделирования решения рассматриваемой задачи в классе программных управлений по формулам,приведенным в [21]: кинематическая программная траектория Λ строилась спомощью только многочленов 5-й степени (2.9). Значение критерия J (2.11)при реализующем эту траекторию программном управлении равно 25618.Порядок максимальной ошибки между полученными численными решениями и решениями, построенными по аналитическим выражениям для программной кинематической траектории (2.9) и программных угловых скоростей (2.6), совпадает с порядком используемой точности в настройках методовчисленного интегрирования системы (2.1).На Рис. 2.2–2.5 приведены полученные по результатам моделированияграфики угловых скоростей вращения КА и управлений, стабилизирующихпрограммные траектории, построенные с помощью полиномиального расширения и сплайн-расширения.
В алгоритме стабилизации использовались значения параметров k1i = 3, k0i = 2 из системы (2.15). При полиномиальном40абвРис. 2.1. Результаты моделирования: а — программное управление; б — кинематическая траектория; в — угловые скоростиабРис. 2.2. Полиномиальные расширения, ki = 4: а — программное управление;б — угловые скорости41абРис. 2.3. Сплайн-расширения, n = 4: а — программное управление; б —угловые скоростиабРис. 2.4. Полиномиальные расширения, ki = 5: а — программное управление;б — угловые скоростиабРис.
2.5. Полиномиальные расширения, ki = 6: а — программное управление;б — угловые скорости42расширении использовались многочлены (2.10) 6-й (ki = 4), 7-й (ki = 5) и8-й (ki = 6) степени, что привело к конечномерной задаче оптимизации с 4-я,8-ю и 12-ю параметрами соответственно. При сплайн-расширении использовались равномерные разбиения с 1-м (n = 2), 2-мя (n = 3) и 3-мя (n = 4)внутренними узлами, что привело к задаче конечномерной оптимизации, аналогичной по размерности полиномиальным расширениям.На Рис. 2.2 приведены графики угловых скоростей вращения КА и управлений, стабилизирующих программные траектории, построенные с помощью полиномиального расширения c использованием многочленов 6-й степени.
Значение критерия J (2.11) равно 13872. Аналогичные графики, полученные при использовании сплайн-расширений с 3-мя внутренними узламиприведены на Рис. 2.3. В этом варианте решения задачи переориентации КАJ = 12846.На Рис. 2.4–2.5 проведены графики угловых скоростей вращения КА иуправлений, полученные с использованием полиномиальных расширений припомощи полиномов 7-й и 8-й степеней соответственно. Полученные значениякритерия, при отсутствии ограничений на управления, равны J = 13077 иJ = 11546.Из приведенных графиков видно, что наибольшие программные управления требуются по первой и второй координате, поскольку моменты инерцииКА вокруг данных осей наибольшие.
Наличие в критерии (2.11) нормирующих множителей l1 , l2 , l3 , позволяет рассматривать дополнительные цели приоптимизации, к примеру, уменьшение программного управления по заданной координате. Уменьшение того или иного множителя ведет к увеличениювклада в критерий соответствующей компоненты программного управления.Для уменьшения требуемых управлений по первой и второй координате, былопроведено моделирование с использованием полиномов 8-й степеней и нормирующими множителями l1 = l2 = 0.5, l3 = 1.
Для удобства сравнения,итоговое значения критерии (2.11) вычислялось, как и в остальных приме-43рах, с одинаковыми нормирующими множителями l1 = l2 = l3 = 1, и былоравно J = 11611. Графики получившихся угловых скоростей вращения КА иуправлений приведены на Рис. 2.6.абРис. 2.6. Полиномиальные расширения, ki = 6, нормирующие множителиl1 = l2 = 0.5, l3 : а — программное управление; б — угловые скоростиНа Рис. 2.7–2.8 приведены графики управлений и угловых скоростей вращения КА, полученные при использовании для задания кинематической траектории кубических B-сплайнов. Были использованы варианты с 5-ю (m = 4)и 6-ю (m = 5) временными узлами соответственно. Полученные значениякритерия равны J = 17998 для случая с m = 4 и J = 14370 для случая сm = 5.абРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
