Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений (1024957), страница 16
Текст из файла (страница 16)
3.25. График f3 (t)Рис. 3.26. График f4 (t)переменных.При введенном плоском выходе из соотношений (3.49) видно, что при произвольном изменении h̃i координата x может изменяться только в пределахот −Lx до Lx , а координата z — в пределах от 0 до 2Lz . Тогда, если поставлена задача терминального управления в исходных переменных, а граничныеусловия удовлетворяют ограничениям (3.47), то пересчитав начальные и конечные значения в переменных h̃i и вычислив траекторию в переменных h̃i ,с помощью соотношений (3.49) можно получить траекторию в исходных переменных системы и она будет удовлетворять ограничениям (3.47).114Рис. 3.27.
График координаты x(t) при посадкеРис. 3.28. График производной ẋ(t) при посадкеПредположим, что нужно решить следующую задачу терминального управления. Квадрокоптер сначала взлетает на некоторую заданную высоту zd ,потом движется по коридору (вдоль переменной y) до заданной величины yd ,потом совершает разворот на угол π/2, а далее совершает предпосадочныйманевр, опускаясь до высоты z0 . Задача посадки в данной работе не ставится,так как в нижней точке коридора ограничения на переменную z не выполнены, а значит, посадку с помощью плоского выхода (3.48) произвести нельзя.Для выполнения посадки с небольшой высоты достаточно выключить двигатели и опуститься под действием силы тяготения. Таким образом, поставлена115Рис.
3.29. График координаты z(t) при посадкеРис. 3.30. График производной ż(t) при посадкеследующая задача терминального управления:x(0) = 0,y(0) = 0,z(0) = 0,ẋ(0) = 0,ẏ(0) = 0,ż(0) = 0,θ(0) = 0,ϕ(0) = 0,ψ(0) = 0,θ̇(0) = 0,ϕ̇(0) = 0,ψ̇(0) = 0,x(T ) = 0,y(T ) = yd ,z(T ) = z0 ,ẋ(T ) = 0,ẏ(T ) = 0,ż(T ) = 0,θ(T ) = 0,ϕ(T ) = 0,ψ(T ) = π2 ,θ̇(T ) = 0,ϕ̇(T ) = 0,ψ̇(T ) = 0.(3.50)116Рис. 3.31. График изменения угла θ(t) при посадкеРис. 3.32. График изменения угла ϕ(t) при посадкеПоскольку начальные условия по переменной z не удовлетворяют ограничениям (3.47), то решение задачи терминального управления при взлетенеобходимо разбить на два этапа: подъем на небольшую высоту (z0 ) и взлетдо требуемой величины zd . Таким образом, все решение задачи терминального управления разбивается на следующие этапы:1. Подъем на небольшую высоту z1 .
В этом случае для решения промежуточной задачи терминального управления можно использовать плоскийвыход (3.36) и подход, подробно изложенный в пп. 3.2.2 – 3.2.3.1172. Подъем на высоту zd . В таком случае ограничения (3.47) выполнены, идля решения задачи терминального управления (3.50) можно применятьплоский выход (3.48).3. Движение вдоль коридора до заданной величины yd . По переменнымx и z достаточно стабилизировать значения, которых они достигли напредыдущих этапах. При этом используем плоский выход (3.48).4. Разворот.
Выполнение этого маневра подробно изложено в [77], здесьдостаточно просто повторить результаты, изложенные в той работе.5. Выполнение предпосадочного маневра. На данном этапе снова используем плоский выход (3.48).6. Посадка. Этот этап аналогичен этапу взлета на небольшую высоту ипоэтому не описан в этой работе.Первый этап.Начальные условия на первом этапе заданы следующим образом:x(0) = 0,y(0) = 0,z(0) = 0,ẋ(0) = 0,ẏ(0) = 0,ż(0) = 0,θ(0) = 0,ϕ(0) = 0,ψ(0) = 0,θ̇(0) = 0,ϕ̇(0) = 0,ψ̇(0) = 0.(3.51)Поскольку в конце этапа не обязательно останавливаться, желаемые траектории по переменным x, y, z можно задать следующим образом: 4tx∗0 (t) = 0, y0∗ (t) = 0, z0∗ (t) = z1,T1где T1 — время окончания движения на первом этапе.
Начальные и конечныеусловия на переменные ξ зададим следующим образом:ξ1 (0) = ξ1 (T1 ) = g,ξ2 (0) = ξ2 (T1 ) = 0.118Пересчитав траекторию и начальные условия в переменных h̃ и их производных до третьего порядка включительно, получим решение задачи терминального управления (3.51). При этом конечные условия первого этапазаданы в видеx(T1 ) = 0,ẋ(T1 ) = 0,y(T1 ) = 0,ẏ(T1 ) = 0,z(T1 ) = z1 ,ż(T1 ) = 4z1 /T1 ,θ(T1 ) = 0,ϕ(T1 ) = 0,ψ(T1 ) = 0,θ̇(T1 ) = 0,ϕ̇(T1 ) = 0,ψ̇(T1 ) = 0.Второй этап.Начальные условия на втором этапе берутся из конечных условий первогоэтапа.
Конечные условия на втором этапе заданы следующим образом:x(T2 ) = 0,y(T2 ) = 0,z(T2 ) = zd ,ẋ(T2 ) = 0,ẏ(T2 ) = 0,ż(T2 ) = 0,θ(T2 ) = 0,ϕ(T2 ) = 0,ψ(T2 ) = 0,θ̇(T2 ) = 0,ϕ̇(T2 ) = 0,ψ̇(T2 ) = 0.Начальные и конечные условия пересчитываются в переменных h̃ по формулам (3.48) и их производным по времени до третьго порядка включительно.Программная траектория в переменных h̃ представляет собой полином седьмого порядка. Таким образом, желаемая траектория по переменным x, y, zзадана в следующем виде:x(t) = 0,z(t) = Lz +y(t) = 0,2Lzarctg(a7 t7 + a6 t6 + a5 t5 + a4 t4 + a3 t3 + a2 t2 + a1 t + a0 ),πгде коэффициенты ai рассчитываются так, чтобы выполнялись ограниченияна переменные h̃3 и ее производные до третьего порядка включительно, вычисленные по формулам (3.48) в начальной и конечной точке.119Обратная связь vi задается с помощью соотношений......v1 = −4(x − x∗ ) − 6(ẋ − ẋ∗ ) − 4(ẍ − ẍ∗ ) − (x − x ∗ ),............v2 = −4(y − y ∗ ) − 6(ẏ − ẏ ∗ ) − 4(ÿ − ÿ ∗ ) − ( y − y ∗ ),v3 = −4(z − z ∗ ) − 6(ż − ż ∗ ) − 4(z̈ − z̈ ∗ ) − ( z − z ∗ ).Третий этап.Начальные условия на третьем этапе берутся из конечных условий второгоэтапа.
Конечные условия на третьем этапе заданы следующим образом:x(T3 ) = 0,y(T3 ) = yd ,z(T3 ) = zd ,ẋ(T3 ) = 0,ẏ(T3 ) = 0,ż(T3 ) = 0,θ(T3 ) = 0,ϕ(T3 ) = 0,ψ(T3 ) = 0,θ̇(T3 ) = 0,ϕ̇(T3 ) = 0,ψ̇(T3 ) = 0.Решение задачи терминального управления на третьм этапе производитсяаналогично решению этой задачи на втором этапе. Программная траекторияпо переменной y задается в виде полинома седьмого порядка от времени.Четвертый этап.Начальные условия на четвертом этапе берутся из конечных условий третьегоэтапа. Конечные условия на четвертом этапе заданы следующим образом:x(T4 ) = 0,y(T4 ) = yd ,z(T4 ) = zd ,ẋ(T4 ) = 0,ẏ(T4 ) = 0,ż(T4 ) = 0,θ(T4 ) = 0,ϕ(T4 ) = 0,ψ(T4 ) = π2 ,θ̇(T4 ) = 0,ϕ̇(T4 ) = 0,ψ̇(T4 ) = 0.Поскольку поворот представляет собой изменение угла рыскания (переменной ψ), решение задачи представляет собой полином третьего порядка отвремени (дифференциальное уравнение, описывающее динамику угла рыскания, имеет второй порядок и не зависит от остальных переменных).120Пятый этап.Начальные условия на пятом этапе берутся из конечных условий четвертогоэтапа.
Конечные условия на пятом этапе заданы следующим образом:x(T5 ) = 0,y(T5 ) = yd ,z(T5 ) = z0 ,ẋ(T5 ) = 0,ẏ(T5 ) = 0,ż(T5 ) = 0,θ(T5 ) = 0,ϕ(T5 ) = 0,ψ(T5 ) = π2 ,θ̇(T5 ) = 0,ϕ̇(T5 ) = 0,ψ̇(T5 ) = 0.Далее расчет программной траектории происходит аналогично второмуили третьему этапу.3.2.6. Результаты численного моделированияЗададим параметры задачи следующим образом:Lx = 3(м),T1 = 2(c),Lz = 1.5(м),T2 = 3(c),z1 = 0.2(м),T3 = 13(c),zd = 1.5(м),T4 = 16(c),yd = 7(м),T5 = 26(c).Выполним численное моделирование движения системы при указанныхпараметрах.
Графики решения приведены на рисунках.Рис. 3.33. График z(t) на первом этапе движенияНа Рис. 3.33 показано изменение координаты z(t) на первом этапе управления.121Рис. 3.34. График z(t) на втором этапе управленияИз Рис. 3.34 видно, что программная траектория является ассимптотически устойчивой и с незначительными отклонениями движение происходит поэтой траектории. Во время движения до T2 переменные x и y остаются равными нулю.
В начале движения происходит незначительное отклонение отпостроенной программной траектории. Отклонение при этом не превышает20% от текущего значения координаты. Это вызвано резким переключениемуправления при смене плоского выхода.Рис. 3.35. График y(t) на третьем этапе управленияПо Рис. 3.35 видно, что на третьем этапе управления по переменной yнаблюдается хорошее следование по заданной траектории.
При этом координата x остается равной нулю, а координата z — равной zd .На Рис. 3.36 видно, что за время от T3 до T4 переменная ψ изменяется отзаданного начального положения до заданного конечного.122Рис. 3.36. График ψ(t) на четвертом этапе управленияРис. 3.37. График z(t) на пятом этапе управленияИз Рис.
3.37 видно, что на пятом этапе координата z плавно уменьшается до заданного конечного значения, точно следуя заданной программнойтраектории. В конце пятого этапа квадрокоптер останавливается, чтобы переключить управление, и производит посадку.Отметим, что указанный подход требует тонкой настройки параметров:если время выполнения маневра на втором этапе задать слишком большим, топрограммная траектория приближается к границам коридора, а отклонениеот программной траектории может достигать достаточно больших значений,что продемонстрировано на Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
