Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений (1024957), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Можно показать, что если√dp(3 − 2 2)p ≥tg α,dαsin α ≥ 0,(3.66)то условие (3.65) выполнено на большем решении этого квадратного уравнения.Рассмотрим задачу терминального управления для системы (3.63) с граничными условиямиαt=t0 = α0 ,αt=tf = αf ,pt=t0 = p0 , z t=t0 = z0 ,pt=tf = pf , z t=tf = zf .(3.67)Для решения задачи (3.63), (3.67) используем следующий алгоритм.1.pt=t0Находим функцию p∗ (α), удовлетворяющую граничным условиям= p0 , p = pf , например,t=tfp∗ (α) =pf (α − α0 ) + p0 (α − αf ).αf − α0(3.68)132Функция p∗ (α) должна удовлетворять граничным условиям и условию (3.66).2.
Полагаяp(α) = p∗ (α) + c1 (α − α0 )(αf − α) + c2 (α − α0 )(αf − α)2 ,решая первое уравнение системы (3.64) относительно u и проверяя условие(3.65), находим c1 , c2 из системыZαfzf − z0 =ludα,lp + u sin αZαftf − t0 =α0ldα.lp + u sin α(3.69)α0Если условие (3.65) не выполнено, меняем функцию p∗ (α).3. Для найденных c1 , c2 находим зависимость u∗ (α).4. Используя найденную функцию u∗ (α), решаем задачу Коши для системы (3.63) с начальными условиямиαt=t0 = α0 ,pt=t0 = p0 ,z t=t0 = z0 ,где значение u∗ (t) вычисляем на каждом шаге интегрирования по известномузначению α(t).Данный алгоритм был применен для решения терминального управлениядля системы (3.63) с параметром l = 10(см) и граничными даннымиt0 = 0(c),α0 = 0,tf = 3(c),αf = 0.8,p0 = 1(1/сек),z0 = 3(см),pf = 0.8(1/сек),zf = 0(см).Несложно убедиться, что при заданных граничных условиях для функции p∗ (α), заданной соотношением (3.68), выполнены условия (3.66).
Находязначения c1 , c2 из соотношений (3.69), получимc1 ≈ 8, 4406,c2 ≈ −26, 7272.Условия (3.65) для такой функции p(α) и найденной с ее помощью функциейu(α) также выполнены.133Рис. 3.44. График функции p∗ (α)Рис. 3.45. График управления u∗ (α)На Рис. 3.44 приведен график зависимости p(α) при заданных значенияхc1 , c2 . Штриховыми линиями на рисунке изображен график функции p∗ (α).На Рис. 3.45 изображен график полученного управления u∗ (α).Из графика управления видно, что при t → tf управление достигает достаточно больших численных значений.
Это может вызвать неточности при численном моделировании системы. Чтобы избежать таких проблем, будем выключать управление, когда значения переменных состояния достигают значений, достаточно близких к конечным, т.е. будем считать, что u (α), если |α − α | > ε,∗fũ∗ (α) = 0, если |α − αf | ≤ ε.1343.4.3.
Результаты численного моделированияГрафики переходных процессов для переменных состояния α(t), z(t), p(t)приведены на рисунках 3.46, 3.47, 3.48.Рис. 3.46. График функции α(t)Рис. 3.47. График функции p(t)Как видно из графиков, предложенный алгоритм решает задачу терминального управления (3.67) для системы (3.63).135Рис.
3.48. График функции z(t)Выводы по третьей главеВ этой главе приведены примеры решения задач терминального управления с учетом ограничений.Для решения задачи терминального управления вертолетом вдоль горизонтальной прямой применяются зеркальная симметрия и метод накрытий.Зеркальная симметрия задачи терминального управления позволяет снизитьколичество граничных условий задачи, а для полученной задачи терминального управления, с меньшим количеством условий, уже применяется методнакрытий.Для терминального управления вертолетом при движении в вертикальнойплоскости используется декомпозиция системы. Удается разбить эту задачуна две более простые и решать их последовательно.Для решения задачи терминального управления четырехвинтовым минивертолетом используется метод динамической обратной связи для плоскихсистем.
Показано, как замена плоского выхода позволяет учесть ограничения на их значения.Задача терминального управления для системы, описывающей движениеавтомобиля, решается с использованием декомпозиции. Мы модифицируем136метод предварительного выбора пути, который используется в работе [16],и на первом этапе, при выборе траектории учитываем часть ограниченийна систему.
Ограничения на скорость и ускорение учитываются на второмэтапе.Для демонстрации метода накрытий в случае лиувиллевой системы рассмотрена задача терминального управления маятником Капицы. Показано,что соответствующая система лиувиллева, построено r-замыкание и накрытие, которые позволяют решить поставленную задачу.Результаты численного моделирования решения всех рассмотренных задач демонстрируют эффективность всех предложенных методов и подходов.137Основные выводы и заключение по работеВ диссертации рассмотрены различные дифференциально-геометрическиеподходы к решению задач терминального управления плоскими и лиувиллевыми системами при наличии ограничений.На примере решения задачи управления движением вертолета вдоль горизонтальной прямой показано, как использование зеркальной симметрии задачи позволяет снизить количество граничных условий.Сформулированный в работе метод накрытий применен к плоским и клиувиллевым системам.
Хотя доказан только локальный факт, т.е. когданачальный момент близок к конечному, а начальные условия близки к конечным условиям, но представленная конструкция r-замыкания и накрытияможет быть применима и в нелокальной ситуации.Показано, что для плоской системы в качестве r-замыкания можно выбрать произвольную определенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, порядок которой равен количеству условий терминальной задачи. На примере управления автомобилем показано, как этот факт можетбыть использован для учета ограничений.
А именно, в качестве r-замыканиябыла выбрана система, обладающая инвариантным множеством, все точкикоторого удовлетворяют ограничениям задачи. Найденная траектория лежитв этом инвариатном множестве и поэтому удовлетворяет всем ограничениямзадачи.На примере терминального управления движением квадрокоптера в коридоре показано, как замена плоского выхода позволяет учесть ограничения наего значения.Использование декомпозиции системы позволяет разбить поставленнуюзадачу терминального управления на две более простые граничные задачи,что продемонстрировано на примере задачи объезда автомобилем трех столбиков.138Основные выводы диссертации.1.
Зеркальные симметрии могут быть применены при решении задач терминального управления нелинейными динамическими системами для уменьшения количества граничных условий.2. Метод накрытий может быть применен для решения задач терминального управления плоскими и лиувиллевыми системам.3. Для плоской системы в качестве r-замыкания может быть выбранапроизвольная определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений, порядок которой равен количеству условий терминальной задачи. Этопозволяет для учета ограничений задачи использовать инвариантные множества r-замыкания.4.
Использование декомпозиции системы позволяет разбить поставленнуюдля нее задачу терминального управления на две более простые граничныезадачи.5. При решении задач терминального управления плоской системой замена плоского выхода позволяет учесть ограничения на его значения.139Литература1.Ailon A., Zohar I. Motion Planning and Optimal Control in a KinematicModel of an Automobile // IFAC Proceedings Volumes. 2007. V. 40, № 15.P.
499-504.2.Beji L., Abichou A., Slim R. Stabilization and Motion Planning of aFour Rotor Mini-rotorcraft for Terrain Missions // Fourth InternetionalConference on Intelligent Systems Dsign and Application (ISDA). 2004.P. 335–340.3.Beji L., Abichou A. Trajectory and Tracking of a Mini-rotorcraftau// Proceedings of the 2005 Internetioanl Conference on Robotics andAutomation. 2005. P.
2618–2623.4.Belinskaya Yu. S. and Chetverikov V. N. Covering Method for Point-to-PointControl of Constrained Flat System // IFAC-Papers OnLine. 2015. Vol. 48,№ 11, P. 924-929.5.Biggs J.D., Horri N. Optimal Geometric Motion Planning for a Spinstabilized Spacecraft // Systems & Control Letters. 2012. V. 61, № 4. P. 609–616.6.Böhm T., Meurer T. Trajectory Planning and Tracking Control for theTemperature Distribution in a Deep Drawing Tool // Control EngineeringPractice. 2017.
V. 64. P. 127–139.7.Bryson A.E., Ho Y.-C. Applied Optimal Control. Ginn and Company,Waltham, Massachusetts, 1969.8.Castillo–Garcia P., Hernandez L.M., Gil P. Indoor Navigation Strategies forAerial Autonomous Systems. 1st Edition. 2016. 300 p.9.Charlet B., Lévine J., Marino R. On Dynamic Feedback Linearization //Systems & Control Letters. 1989. V. 13. P. 143–151.10. Chetverikov V.N. Flat control systems and deformations of structures ondiffieties // Forum Math.
2004. V. 16. P. 903–923.14011. Chetverikov V. N. On the structure of integrable C–fields // DifferentialGeometry and its Applications. 1991. V. 1. P. 309–325.12. Claude D. Decoupling of Nonlinear Systems // Systems & Control Letters.1982. V. 1, P. 242–248.13. Debreuwere F., Van Loock W., Pipeleers G., Dinh Q.T., Diehl M., DeShutter J., Swevers J. Optimal Robot Path Following for Minimal TimeVersus Energy Loss Trade-off Using Sequential Convex Programming //Proceedings of the 2013 IEEE International Conference on Mechatronics(ICM). 2013. P.
316–320.14. Doubrov B., Zelenko I. Symmetries of Trivial Systems of ODEs of MixedOrder // Differential Geometry and its Applications. 2014. V. 33. P. 123–143.15. Faulwasser T. Optimization-based Solutions to Constrained Trajectorytracking and Path-following Problems. // Shaker, Aachen, Germany. 2013.16.
Faulwasser T., Hagenmeyer V., Findeisen R. Constrained Reachibility andTrajectory Generation for Flat Systems // Automatica. 2014. V. 50, P. 1151–1159.17. Faulwasser T., Hagenmeyer V., Findeisen R. Optimal Exact Path Followingfor Constrained Differentially Flat Systems // Proceedings of the 18th WorldCongress IFAC. 2011. P. 9875–9880.18. Fliess M. Cascade Decomposition of Nonlinear Systems, Foliations and Idealsof Transitive Lie Algebras // Systems & Control Letters. 1985.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
