Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений (1024957), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поэтому четвертое уравнение системы(3.32) можно рассматривать отдельно от остальных и исследовать системуmẍ = −u sin θmÿ = u cos θ sin ϕmz̈ + mg = u cos θ cos ϕθ̈ = τ̃θϕ̈ = τ̃ϕс состоянием (x, y, z, θ, ϕ, ẋ, ẏ, ż, θ̇, ϕ̇) и управлением u, τ̃θ , τ̃ϕ .(3.35)1023.2.2. Метод динамической обратной связидля математической модели квадрокоптераТеорема 3.1.
Функцииh1 = x,h2 = y,h3 = z(3.36)являются плоским выходом системы (3.35).J Количество функций плоского выхода равно количеству входов системы.Отсюда и из теоремы 2 из [100] следует, что достаточно выразить переменныесостояния через функции плоского выхода и их производные.Некоторые переменные выражаются тривиальным образом:x = h1 ,y = h2 ,z = h3 ,ẋ = ḣ1 ,ẏ = ḣ2 ,ż = ḣ3 .Чтобы выразить θ и ϕ, запишем первые три уравнения системы (3.35) в видеuḧ1 = − sin θ,muḧ2 = cos θ sin ϕ,muḧ3 + g = cos θ cos ϕm(3.37)Поделив второе уравнение в (3.37) на третье и выразив из полученного выражения ϕ, получимϕ = arctgḧ2ḧ3 + g!,(3.38)а поделив первое уравнение в (3.37) на третье и выразив оттуда θ, получимḧ1θ = − arctg cos ϕḧ3 + g!,(3.39)где ϕ выражается через h с помощью (3.38).Дифференцируя по времени равенства (3.38) и (3.39), получаем выражениядля θ̇ и ϕ̇.
I103(j)Заметим, что управления u, τ̃θ и τ̃ϕ могут быть выражены через t, hi ,i = 1, ..., 3, j = 0, ..., 4. Действительно, возведем в квадрат выражения (3.37)и сложим их. После всех сокращений получимqu = m ḧ21 + ḧ22 + (ḧ3 + g)2 .(3.40)Дифференцируя по времени полученные при доказательстве теоремы выражения для θ̇ и ϕ̇, получаем выражения для τ̃θ = θ̈ и τ̃ϕ = ϕ̈.Любая плоская система динамически линеаризуема [19].
Для построениядинамической обратной связи, линеаризующей систему (3.35), используем алгоритм, изложенный в [100]. Введем дополнительные переменные ξ1 , ξ2 равенствамиqξ1 = ḧ21 + ḧ22 + (ḧ3 + g)2 ,ξ2 = ξ˙1 .(3.41)Такой выбор дополнительных переменных объясняется тем, что функции (3.41) вместе с функциями состояния системы (3.35) определяют обрат(j)ную замену переменных к переменным hi , i = 1, ..., 3, j = 0, ..., 3.Используя указанную замену переменных, выразим производные ξ˙1 , ξ˙2 и(4)входы системы через ξ1 , ξ2 , переменные состояния и vi = hi , i = 1, 2, 3.
Продифференцировав (3.41) по времени, получаемξ˙1 = ξ2 ,ξ˙2 = ξ1 (cos2 θϕ̇2 + θ̇2 ) − sin θ · v1 + cos θ sin ϕ · v2 + cos θ cos ϕ · v3 .(3.42)Суммарная сила тяги u выражается, исходя из (3.40) и (3.41), тривиально:u = mξ1 .(3.43)Чтобы выразить τ̃ϕ = ϕ̈ и τ̃θ = θ̈, используем равенства (3.38) и (3.39). Получаем1 τ̃ϕ =sec θ · (v2 cos ϕ − v3 sin ϕ) − 2ϕ̇(ξ2 − ξ1 θ̇ tan θ) ,ξ11τ̃θ = − cos ϕ |sec ϕ| v1 cos θ + (v3 cos ϕ + v2 sin ϕ) sin θ +ξ12+ ξ1 cos θ sin θ · ϕ̇ + 2ξ2 θ̇(3.44)104Формулы (3.42), (3.44), (3.43) определяют динамическую обратную связь,линеаризующую систему (3.35).3.2.3.
Решение задач терминального управления и стабилизацииПредположим, нам нужно из нулевого начального положения попасть вточку (xd , yd , zd , 0, 0, 0), причем xd = yd = zd = hd . Пусть t0 = 0 — начальный момент времени, t = T — время окончания движения. Таким образом,поставлена задача терминального управленияx(0) = 0,y(0)= 0,z(0)= 0,ẋ(0) = 0,ẏ(0)= 0,ẋ(0)= 0,θ(0) = 0,θ̇(0)= 0,ϕ(0)= 0,x(T ) = hd ,y(T ) = hd ,ϕ̇(0) = 0,z(T ) = hd ,ẋ(T ) = 0,ẏ(T )= 0,ẋ(T )= 0,θ(T ) = 0,θ̇(T )= 0,ϕ(T )= 0,ϕ̇(T ) = 0.Начальные и конечные значения переменных ξ зададим следующим образом: ξ1 (0) = ξ1 (T ) = g, ξ2 (0) = ξ2 (T ) = 0.Для решения задачи ее нужно поставить в переменных h.
Воспользуемсяформулами (3.36), (3.37), (3.38), (3.39) и поставим задачу в переменных h:h1 (0) = 0,h2 (0)= 0,h3 (0)= 0,ḣ1 (0) = 0,ḣ2 (0)= 0,ḣ3 (0)= 0,ḧ1 (0) = 0,ḧ2 (0)= 0,ḧ3 (0)= 0,......h1 (0) = 0,h2 (0)h1 (T ) = hd ,...= 0,h2 (T ) = hd ,h3 (0)= 0,h3 (T ) = hd ,ḣ1 (T ) = 0,ḣ2 (T )= 0,ḣ3 (T )= 0,ḧ1 (T ) = 0,ḧ2 (T )= 0,ḧ3 (T )= 0,......h1 (T ) = 0,h2 (T )...= 0,h3 (T )= 0,105Решение этой задачи в переменных h в пространстве многочленов порядка7 выглядит следующим образом: 7 6 5 4tttth∗i = −20hd+ 70hd− 84hd+ 35hd.TTTTБлагодаря выбору начальных значений переменной ξ1 желаемая траектория по всем трем координатам одинакова, а также координата z не уходитв отрицательную подобласть.
Эта траектория изображена на Рис. 3.14 (дляT = 4c, hd = 10м).Рис. 3.14. Желаемая траектория по координате xПоскольку по условию задачи вертолет может испытывать внешние воздействия, необходимо решить задачу стабилизации системы вблизи желаемойтраектории. Для решения этой задачи рассмотрим следующую устойчивуюсистему обыкновенных дифференциальных уравнений:(4)...ei = −4 ei −6ëi − 4ėi − ei ,i = 1, 2, 3.(3.45)Полагая e1 (t) = x(t)−x∗ (t), e2 (t) = y(t)−y ∗ (t), e3 (t) = z(t)−z ∗ (t), а также v1 =x(4) (t), v2 = y (4) (t), v3 = z (4) (t), из формул (3.45) получаем стабилизирующуюобратную связь.106В качестве обратной связи по ψ выберем обратную связь, стабилизирующую нулевое положение равновесия угла крена, то естьτ̃ψ = −ψ − ψ̇.При решении задачи стабилизации необходимо проверить допустимостьнайденного управления.
По условию задачиfi > 0,i = 1, . . . , 4,(3.46)где fi — сила тяги i-того винта. Для проверки (3.46) вычислим матрицуIG инерции квадрокоптера. В силу симметричности квадрокоптера матрицаIG диагональная. Для простоты предположим, что квадкоптер представляетсобой систему точечных масс, причем в центре масс сосредоточена масса в1.2 кг, а на месте винтов — массы по 0.2 кг. Винты удалены от центра массна расстояние l = 0.25 м. Используя стандартные формулы, получаем0 0.02 0IG = 0 0.02 000 0.04Подставляя найденные в процессе решения значения τ̃ (t) и u(t) в формулы(3.33) и (3.34), находим f1 (t), . . . , f4 (t) и проверяем условия (3.46).Решим аналогичным образом задачу терминального управления квадрокоптера на этапе выполнения предпосадочных маневров.
Предположим, чтонам нужно перевести вертолет из положения (hd , hd , hd ) в положение (0, 0, hk ),где hk — достаточно близкое к нулю значение (после достижения этой точки ставится задача парковки, которая не рассматривается в рамках данной107работы). Таким образом, поставлена задача терминального управления:x(0) = hd ,y(0) = hd ,z(0) = hd ,ẋ(0) = 0,ẏ(0) = 0,ẋ(0) = 0,θ(0) = 0,θ̇(0) = 0,ϕ(0) = 0,x(T ) = 0,y(T ) = 0,z(T ) = hk ,ẋ(T ) = 0,ẏ(T ) = 0,ẋ(T ) = 0,θ(T ) = 0,θ̇(T ) = 0,ϕ(T ) = 0,ϕ̇(0) = 0,ϕ̇(T ) = 0.В качестве значений переменных ξ зададим опять же ξ1 (0) = ξ1 (T ) = g,ξ2 (0) = ξ2 (T ) = 0.
Решение этой задачи в пространстве многочленов порядка7 имеет вид: 7 6 5 4tttth∗i = hd + 20hd− 70hd+ 84hd− 35hd,TTTTi = 1, 2; 7 6tth∗3 = hd + 20(hd − hk )− 70(hd − hk )+TT 5 4tt+ 84(hd − hk )− 35(hd − hk ).TTНа рисунках 3.15 и 3.16 изображена желаемая траектория по координатамx и z (при hk = 0, 5).3.2.4. Результаты численного моделированияПриведем графики изменения переменных состояния и силы тяги от времени.
Как известно, вертолет может испытывать внешние воздействия. Предположим, что эти воздействия ограничиваются тем, что в начальный моментвремени систему отклонили от нулевого положения так, чтоx(t0 ) = −1;y(t0 ) = −1;z(t0 ) = 0.2;ẋ(t0 ) = 0.5;ẏ(t0 ) = 0.5;ż(t0 ) = 0.5;В качестве времени окончания движения выберем T = 10 с, чтобы обратная связь ”успела сработать”. На рисунках приведены графики изменения108Рис. 3.15. Желаемая траектория по координате xРис. 3.16. Желаемая траектория по координате zпеременных состояния (графики y и ẏ совпадают с приведенными графикамиx и ẋ) и силы тяги от времени при отсутствии внешних воздействий и приналичии указанных внешних воздействий.На графиках видно, что желаемая траектория движения квадрокоптераявляется ассимтотически устойчивой, и выполняются условия допустимостиуправления.Приведем графики изменения переменных состояния на этапе выполненияпредпосадочных маневров.
Предположим, что внешние возмущения ограничиваются начальным воздействием на систему так, чтоx(t0 ) = y(t0 ) = z(t0 ) = hd + 1;ẋ(t0 ) = ẏ(t0 ) = ż(t0 ) = −0.5;109Рис. 3.17. График координаты x(t)Рис. 3.18. График производной ẋ(t)В заключение приведем графики изменения переменных состояния на этапе выполнения предпосадочных маневров (в качестве времени окончания интегрирования выбрано T = 10 c).Видно, что желаемая траектория является ассимптотически устойчивой.Графики сил тяги здесь не приводим, так как их можно найти в [81].
Изграфиков видно, что выполняются условия допустимости управления.110Рис. 3.19. График координаты z(t)Рис. 3.20. График производной ż(t)3.2.5. Решение задачи терминальногоуправления для системы с ограничениямиПредположим, что поставлена задача движения квадрокоптера по коридору. Таким образом, его перемещение в высоту ограничено полом и потолком,а перемещение вправо и влево ограничено стенами. Оси координат можнонаправить таким образом, чтобы перемещение в сторону стен соответствовала изменению координаты x, перемещение вдоль коридора соответствовалоизменению координаты y, а изменение высоты — изменению координаты z.111Рис.
3.21. График изменения угла θ(t)Рис. 3.22. График изменения угла ϕ(t)Таким образом, допустимая область значений координат есть:−Lx < x < Lx ,Здесь Lx =Lz =h2S20 < z < 2Lz .(3.47)− a — максимально допустимое отклонение по оси Ох, а− a — максимальное допустимое отклонение по оси Oz Здесь S —ширина коридора, h — высота потолка, a — размер квадрокоптера, то естьмаксимальное расстояние от точки на квадрокоптере до его центра масс.112Рис. 3.23. График f1 (t)Рис. 3.24. График f2 (t)Введем следующий плоский выход:πx, h̃2 = y,h̃1 = tg2Lxh̃3 = tgπ z − Lz2Lz!,(3.48)В таком случае переменные x, y, z выражаются через введенные переменные следующим образом:x=2Lxarctg h̃1 ,πy = h̃2 ,z=2Lzarctg h̃3 + Lz .π(3.49)Функции h̃i (t) также образуют плоский выход системы (3.32), поскольку напрямую выражены через плоский выход с помощью обратимой замены113Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
