Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений (1024957), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , ∂/∂ζq образуют f –набор системы (2.28)–(2.29). Так как определение f –набора инвариантно относительно C–диффеоморфизмов, то поля(F −1 )∗ (∂/∂ζ1 ) , . . . , (F −1 )∗ (∂/∂ζq )образуют f –набор системы E, определяющий данную декомпозицию. Теорема 2.5 доказана. IАлгоритм построения декомпозиции по f –набору.Пусть (X1 , . . . , Xq ) — f –набор системы E, θ ∈ E ∞ — его регулярная точка.1) Определяем кольцо K и его образующие.2) В качестве новой независимой переменной τ системы E выбираем такойобщий первый интеграл векторных полей X1 , . . . , Xq , что τ ∈ K и Dt (τ )(θ) 6=0.3) Дополняем функцию τ функциями g1 , . .
. , gp ∈ K до максимального функционально независимого набора общих первых интегралов полейX1 , . . . , X q .4) Выбираем такие функции ζ1 , . . . , ζq ∈ K, что матрица Xi (ζj )(θ) невырождена (см. определение регулярной точки f –набора). Тогда в окрестностиθ любой элемент из K есть функция от τ, g1 , . . . , gp , ζ1 , . . . , ζq .5) Находим дифференциальные соотношения на g1 , .
. . , gp , ζ1 , . . . , ζq , получаем систему видаa(τ, g, Dτ (g), . . . , Dτl (g)) = 0.(2.34)Dτ (ζ) = b(τ, ζ, g, . . . , Dτl1 (g)).(2.35)696) Среди функций g1 , . . . , gp находим те, которые вместе со своими производными не содержатся ни в одном уравнении вида (2.34). Обозначаемих через ξ1 , . . . , ξm2 . Остальные функций набора g1 , . .
. , gp обозначаем через z1 , . . . , zn1 +m1 . Тогда уравнения (2.34) принимают вид (2.28), а уравнения (2.35) — вид (2.29).Если f –набор X системы E определяет декомпозицию (2.28)–(2.29), тосистему (2.28) называют факторизацией системы E вдоль X.Образую-щие какой-либо алгебры Ли классических симметрий системы образует ееf –набор.Теорема 2.6. Столбец X вертикальных полей X1 , . . .
, Xq на пространстве бесконечных джетов J ∞ π удовлетворяет равенству (2.30), где A — ма(l)трица функций на J ∞ π, тогда и только тогда, когда в координатах (t, xj )на J ∞ π столбец X имеет видX=∞X(D + A)s (ϕ)s=0∂,∂x(s)(2.36)где ϕ — матрица типа q×n произвольных функций на J ∞ π, ∂/∂x(s) — столбец(s)(s)производных ∂/∂x1 , . . .
, ∂/∂xn , а правая часть равенства (2.36) представляет собой сумму произведений матриц на столбцы.2.5. Декомпозиция задач терминального управленияРассмотрим произвольную систему видаẋ = f (t, x, u),x ∈ Rn , u ∈ Rm ,(2.37)x(tf ) = xf(2.38)и задачу терминального управленияx(t0 ) = x0 ,для нее.Граничные условия (2.38) вырезают на диффеотопе E ∞ систе-мы (2.37) два множества M0 и Mf , которые в канонических координатах70задаются системами уравнений {t = t0 , x = x0 } и {t = tf , x = xf } соответственно. На бесконечномерном геометрическом языке поставленная задачатерминального управления состоит в поиске такого решения системы (2.37),график которого в E ∞ проходит и через M0 , и через Mf .Рассмотрим теперь какой-либо f –набор системы (2.37), соответствующуюему декомпозицию (2.28)–(2.29) и C–диффеоморфизм F из системы (2.37) в систему (2.28)–(2.29).
C–Диффеоморфизм F отображает множества M0 и Mf вмножества F (M0 ) = {(F −1 )∗ (t) = t0 , (F −1 )∗ (x) = x0 } и F (M0 ) = {(F −1 )∗ (t) =˙ . . .), незавиtf , (F −1 )∗ (x) = xf } соответственно. Любая функция g(t, z, ξ, ż, ξ,сящая от ζ1 , . .
. , ζq и постоянная на F (M0 ) (или на F (Mf )), определяет граничные условия для системы (2.28) (здесь мы считаем, что ξ — это переменныесистемы (2.28)). Возникает граничная задача для системы (2.28). Решениеэтой задачи z(t), ξ(t) определяет системуζ̇ = b(t, ζ, z(t), . . . , z (l) (t), ξ(t), .
. . , ξ (l) (t)).(2.39)Диффеотоп Y ∞ этой системы вкладывается в диффеотоп системы (2.28)–(2.29). Для системы (2.39) возникает граничная задача с граничными множествами Y ∞ ∩F (M0 ) и Y ∞ ∩F (Mf ). Какое-либо решение этой задачи определяетодно из решений задачи терминального управления (2.37)–(2.38). А именно,чтобы получить это решение, достаточно в записи решения z(t), ξ(t), ζ(t)перейти от переменных t, ζ, z, ξ к переменным t, x, u, используя обратное отображение F −1 .
Таким образом, поставленная задача терминального управления сводится к двум граничным задачам для систем (2.28) и (2.39). Нетруднопроверить, что количество граничных условий новых двух задач в сумме равно количеству граничных условий первоначальной задачи. Такое разделениезадачи терминального управления на две граничные задачи будем называтьдекомпозицией задачи терминального управления.В случае, когда множество Y ∞ ∩ F (Mf ) совпадает со всем слоем {t = tf }в Y ∞ , конечных условий задачи для системы Y нет, а значит, это задача Коши. Аналогично, если Y ∞ ∩ F (M0 ) = {t = t0 }, то задача для системы Y есть71задача Коши с начальным условием в точке t = tf в сторону уменьшениявремени. Таким образом, поставленная задача терминального управлениясводится к задаче Коши и терминальной задаче с меньшим количеством граничных условий.
Равенство Y ∞ ∩ F (M0 ) = {t = t0 } означает, что поля изf –набора касаются множества M0 . Аналогично для Mf . Таким образом, еслиполя из f –набора касаются множества M0 или множества Mf , то граничныезадачи соответствующей декомпозиции имеют решения.Пример 4. Система видаẋ1 = x2 f1 (t, x1 , x2 , u) + uf2 (t, x2 , x1 − x2 u),ẋ2 = f2 (t, x2 , x1 − x2 u),(2.40)где f1 и f2 — произвольные гладкие функции, имеет классическую симметриюX = x2∂∂+.∂x1 ∂uИз определений следует, что любая классическая симметрия (в общем случае,алгебра Ли классических симметрий) есть f –набор системы. Факторизациясистемы (2.40) вдоль X имеет видẏ1 = vy2 ,ẏ2 = f2 (t, y2 , y1 ),(2.41)где y2 = x2 , y1 = x1 − x2 u, v = f1 (t, x1 , x2 , u) − u̇.Если для системы (2.40) поставлена задача терминального управленияx1 (t0 ) = x1,0 , x2 (t0 ) = x2,0 ,x1 (tf ) = x1,f , x2 (tf ) = 0,(2.42)то для системы (2.41) возникает граничная задачаy2 (t0 ) = x2,0 ,y1 (tf ) = x1,f ,y2 (tf ) = 0.Пусть (y1 (t), y2 (t), v(t)) — решение этой задачи.
В качестве переменной ζвозьмем функцию u. Тогда соответствующая система (2.39) имеет видu̇ = f1 t, y1 (t) + y2 (t)u, y2 (t), u − v(t).72Из граничных условий (2.42) следует только одно условие на решения последнего уравнения: u(t0 ) = (x1,0 − y1 (t0 ))/x2,0 , тогда как u(tf ) произвольно. Таким образом, одна из задач данной декомпозиции есть задача Коши, а втораяесть задача терминального управления с меньшим количеством граничныхусловий, чем первоначальная (3 вместо 4).Если же для системы (2.40) поставлена задача с x2 (tf ) = x2,f 6= 0, то,используя дважды указанную декомпозицию, мы можем перевести системуиз состояния (x1,0 , x2,0 ) в состояние (x1,f , 0), а потом из состояния (x1,f , 0) всостояние (x1,f , x2,f ).Случай, когда не все поля f –набора касаются множества M0 или множества Mf , также представляет интерес, если декомпозиция по ним имеетвид (2.28)–(2.29) с m1 , m2 > 0 (обе системы имеют управления).
Тогда обеграничные задачи есть задачи терминального управления, которые, как правило, разрешимы.Пример 5. Если система (2.37) плоская с плоским выходомy1 = h1 (t, x, u, u̇, . . . , u(l) ),ym = hm (t, x, u, u̇, . . . , u(l) ),...,(2.43)то имеют место соотношения вида(n1 −1)x = X(t, y1 , ẏ1 , . . . , y1(nm −1), y2 , . . . , ym),(n )(nm )u = U (t, y1 , ẏ1 , . .
. , y1 1 , y2 , . . . , ym),(2.44)(2.45)и любое решение x(t), u(t) системы (2.37) определяет кривую γ:yi = hi (t, x(t), u(t), u̇(t), . . . , u(l) (t)),i = 1, . . . , m,в пространстве Rm с координатами y1 , . . . , ym . Обратно, если кривая γ в Rmзадана параметрическими уравнениями yi = yi (τ ), i = 1, . .
. , m, с параметром τ, то для восстановления решения системы необходимо сначала задатьзависимость τ (t) параметра от времени, а затем, используя (2.44)–(2.45), вычислить x(t) и u(t). Кривую γ и функцию τ (t) можно понимать как плоские73выходы двух плоских систем S и Y соответственно.
Пара систем S и Y (система Y зависит от решений системы S) представляет собой декомпозициюсистемы (2.37).Граничные условия (2.38) в этом случае можно переписать в виде(km )X t0 , y1 (t0 ), . . . , ym(t0 ) = x0 ,(km )X tf , y1 (tf ), . . . , ym(tf ) = xf .Часть из этих условий не зависят от выбора функции τ (t), а значит представляют собой граничные условия на кривую γ.
Остальные есть граничныеусловия на функцию τ (t).Переменные плоского выхода могут иметь ограничения, которые возникают или из физической постановки задачи, или из ограничений на областьзначений функций (2.43). Часть из них есть ограничения на кривую γ, аоставшаяся часть — на функцию τ (t). Таким образом, задача терминальногоуправления (2.37)–(2.38) сводится к двум граничным задачам: на кривую γи функцию τ (t).
Обе задачи есть задачи на решения плоских систем с ограничениями.Пример 6.Движение автомобиля при отсутствии проскальзыванияописывается (см. [47]) системойẋ = u cos θ,ż = u sin θ,θ̇ =utg ϕ,l(2.46)где x, z — декартовы координаты середины задней оси автомобиля, u — скорость автомобиля, θ — угол между осью абсцисс и прямой, проходящей черезсередины двух осей, ϕ — угол поворота колес передней оси относительноуказанной прямой, а l — расстояние между серединами двух осей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
