физ_печатать_с_оптики! (1022110), страница 2
Текст из файла (страница 2)
+x +x1!2!n!(n + 1)!.Неопределенный и определенный интегралы♦ Табличные интегралы:dx =x α +1+ C (α ≠ −1);α +1∫x∫ a dx =ax+ C (0 < a ≠ 1);ln a∫e∫xα∫ sin x dx = − cos x + C ;dx∫ sin 2 x = −ctg x + C ;∫dxa −x2dx∫ 1 + x2xdx = e x + C;∫ cos x dx = sin x + C;dx∫ cos 2 x = tg x + C;x+ C;a∫dx1 − x2dx= arctg x + C ;= arcsin x + C;∫ a2 + x2=dx11xarctg + C ;aadx=1x−aln+ C (a ≠ 0 );2ax+a∫ x 2 − 1 = 2 lndx=1xarctg + C (a ≠ 0 );aa∫ x 2 + 1 = arctg x + C;∫ x2 − a2∫ x2 + a2∫= arcsin2dx= ln x + C;xdxx ±k2= ln x + x 2 ± k + C ;x −1+ C;x +1dx∫dxx ±12= ln x + x 2 ± 1 + C.♦ ∫ f (x ) d x x = ϕ(t ) = ∫ f [ϕ(t )]ϕ′(t ) dt — формула замены переменной в неопределенном интеграле.ξ ∈ (a , x ) .b♦ ∫ f (x) dx = ∫ f [ϕ(t )]ϕ′(t ) dt — формула замены переменной в определенном интеграле; ϕ (α) = a, ϕ (β) = b.a♦ ∫ u(x )v′(x) dx = u(x)v(x ) − ∫ v(x )u′(x ) dxинтеграле.bbaa— формула интегрирования по частям в неопределенном♦ ∫ u dv = uv ba − ∫ v du — формула интегрирования по частям в определенном интеграле.b∫ f (x ) dx = f (c)(b − a ) — формула среднего значения;ac ∈ [a , b] .bb∫ f (x ) dx = F(b) − F(a ) = F(x ) a — формула Ньютона-Лейбница.abn s = ∫ f (x ) dx— площадь криволинейной трапецииa0 ≤ y ≤ f (x ), a ≤ x ≤ b .βs = ∫ ψ (t ) ϕ′(t ) dt— площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрически:αx = ϕ (t ), y = ψ (t ), α ≤ t ≤ β .s=1β 2ρ (ϕ) dϕ2 ∫αкоординатах:L=b— площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярныхρ = ρ (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β .1 + ( f ′(x )) dx2∫a— длина дуги кривой, заданной уравнениемβL=y = f (x ) , a ≤ x ≤ b .22∫ (ϕ′(t)) + (ψ′(t )) dt — длина дуги кривой, заданной параметрически:x = ϕ (t ), y = ψ (t ), α ≤ t ≤ β .αL=β22∫ (ρ(ϕ)) + (ρ′(ϕ)) dϕ — длина дуги кривой, заданной в полярных координатах:ρ = ρ (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β .αbV = π ∫ f 2 (x ) dx— объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапецииabP = 2π ∫ f (x ) 1 + ( f ′ (x )) dx20 ≤ y ≤ f (x ), a ≤ x ≤ b .— площадь поверхности вращения вокруг оси Ox криволинейной трапецииa0 ≤ y ≤ f (x ), a ≤ x ≤ b .ФИЗИКАI.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИСредняя и мгновенная скорости материальной точкиv =∆r,∆tv =v=∆r,∆tv=∆s;`∆t∆s,∆tгде ∆r — элементарное перемещение точки за промежуток времени ∆t;— путь, пройденный точкой за промежуток времени ∆t.r — радиус-вектор точки; ∆sСреднее и мгновенное ускорения материальной точкиa =∆v,∆ta=dvdt.Полное ускорение при криволинейном движенииa = a τ + an,гдеaτ =dvdta = aτ2 + an2,— тангенциальная составляющая ускорения;an =ускорения ( r — радиус кривизны траектории в данной точке).v2r— нормальная составляющаяПуть и скорость для равнопеременного движенияs = v0t ±at 2;2v = v0 ± at,гдеv0— начальная скорость.Угловая скоростьω=dϕdt.ε=dωdt.Угловое ускорениеУгловая скорость для равномерного вращательного движенияω=ϕ 2π== 2πn,tTгде T — период вращения; n — частота вращения ( n = N / t , гдесовершаемых телом за время t ).N— число оборотов,Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движенияε t2;2ω = ω0 t ± ε t ,ϕ = ω0 t ±гдеω0— начальная угловая скорость.Связь между линейными и угловыми величинамиs = Rϕ ;гдеRv = Rω ;an = ω2R ,aτ = Rε ;— расстояние от оси вращения.1.2.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГОТЕЛАИмпульс (количество движения) материальной точкиp = mv .Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)dv dp=.F = ma = mdtdtЭто же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точкиFτ = maτ = mdv;dtFn = man =mv 2= mω2 R .RСила трения скольжения,— сила нормального давления.Fтр = fNгдеf— коэффициент трения скольжения;NСила трения каченияFтр = fк N / r,где f — коэффициент трения качения; r — радиус качающегося тела.Закон сохранения импульса для замкнутой системыp=гдеn∑ mi v i= const,i =1n— число материальных точек (или тел), входящих в систему.Координаты центра масс системы материальных точек:xC =гдеmi— масса i-й материальной точки;Σmi xi;ΣmiyC =xC , yC , zCΣmi yi;ΣmizC =Σmi zi.Σmi— ее координаты.Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского)ma = F + Fp ,где реактивная силаFp = −udmdt( u — скорость истечения газов из ракеты).Формула Циолковского для определения скорости ракетыv = u lnгдеm0— начальная масса ракеты.m0m,1.3.
РАБОТА И ЭНЕРГИЯРабота, совершаемая постоянной силойdA = Fsds = Fds cos α ,где Fs — проекция силы на направление перемещения;перемещения.α— угол между направлениями силы иРабота, совершаемая переменной силой, на пути sA = ∫ Fs ds = ∫ F cos αds .ssСредняя мощность за промежуток времени ∆tN = ∆A / ∆t .Мгновенная мощностьN =dA,dtилиN = Fv = Fsv = Fv cos α .П = mgh,где g — ускорение свободного падения.Сила упругостиF = −kx ,где х — деформация;k— коэффициент упругости.Потенциальная энергия упругодеформированного телаП = kx2 / 2 .Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)T + П = Е = const .Коэффициент восстановленияε = vn′ / vn ,гдеvn′иvn— соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.Скорости двух тел массамигдеv1иv2m1иm2после абсолютно упругого центрального удара:v1′ =(m1 − m2 ) v1 + 2m2v2 ;v2′ =(m2 − m1 ) v2 + 2m1v1 ,m1 + m2m1 + m2— скорости тел до удара.Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удараv=m1v1 + m2v2m1 + m2.1.4.
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛАМомент инерции материальной точкиJ = mr 2 ,где m — масса точки; r — расстояние до оси вращения.Момент инерции системы (тела)n∑ miri2 ,J=где— расстояние материальной точки массойВ случае непрерывного распределения массrii =1до оси вращения.= ∫ r 2 dm .miJМоменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m — массатела):ТелоПолый тонкостенныйци-линдр радиусом RСплошнойцилиндрили диск радиусом RПрямойтонкийстержень длиной lПоложение оси вращения МоментинерцииОсь симметрииmR2Ось симметрии1mR22Осьперпендикулярнастержню и проходит черезего серединуПрямойтонкий Осьперпендикулярнастержень длиной lстержню и проходит черезего конецШар радиусом RОсь проходит через центршара1ml 2121 2ml32mR25Теорема ШтейнераJ = JC + ma 2 ,где JC — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J — момент инерцииотносительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m — масса тела.Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z ,Tвр.
= Jz ω2 / 2 ,где Jz — момент инерции тела относительно оси z ; ω — его угловая скорость.Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,11T = mvC2 + JC ω2 ,22где m — масса тела; vC — скорость центра масс тела; JC — момент инерции тела относительно оси,проходящей через его центр масс; ω — угловая скорость тела.Момент силы относительно неподвижной точкиM = [rF ] ,где r — радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F.Модуль момента силыM = Fl ,где lj — плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).Работа при вращении телаdA = Mz dϕ ,где dϕ — угол поворота тела;Mz— момент силы относительно оси z .Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращенияLz =∑ miviri= Jz ,где ri — расстояние от оси z до отдельной частицы тела; mivi — импульс этой частицы;инерции тела относительно оси z ; ω — его угловая скорость.Jz— моментУравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной осиdLdω; Mz = Jz= Jz ε ,M=dtгде ε — угловое ускорение;Jzdt— момент инерции тела относительно оси z .Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системыL = const.Напряжение при упругой деформацииσ = F/S,где F — растягивающая (сжимающая) сила; S — площадь поперечного сечения.Относительное продольное растяжение (сжатие)ε= ∆l/l,где ∆ll — изменение длины тела при растяжении (сжатии); l — длина тела до деформации.Относительное поперечное растяжение (сжатие)ε'= ∆d/d,где ∆d — изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии);d — диаметр стержня.Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) ε' и относительным продольнымрастяжением (сжатием) εε'= µε,Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)σ= E ε,где Е — модуль Юнга.Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержняП =∆l∫ Fdx =021 ES(∆l )2 = Eε V2 l2,где V — объем тела.1.5.
ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯТретий закон КеплераT12T22гдеT1иT2=R13R23,— периоды обращения планет вокруг Солнца;R1иR2— большие полуоси их орбит.Закон всемирного тяготенияF =Gm1m2r2,где F —сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массамиr — расстояние между точками; G — гравитационная постоянная.m1иm2 ,Сила тяжестиP = mg ,где m — масса тела; g — ускорение свободного падения.Напряженность поля тяготенияg = F /m ,где F — сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точкуполя.Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массаминаходящихся на расстоянии r друг от друга,П = −Gm1m2 / r .m1Потенциал поля тяготенияϕ = П /m ,где П — потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностьюгде i, j, k — единичные векторы координатных осей.Первая и вторая космические скоростиv1 =гдеR0gR0 ,v2 = 2 gR0,— радиус Земли.Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчетаma′ = ma + Fин.,иm2 ,где a и a′ — соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета,—силы инерции.Fин.Силы инерцииFин.
= Fи + Fц + Fк,где Fи, — силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчета с ускорениема0: Fи = –ma0; F„ц — центробежныесилы инерции (силы инерции, действующие во вращающейсясистеме отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние R): Fц „= –mω2R; Fк —кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью v′ вовращающейся системе отсчета:Fк = 2m[v ′ω].1.6.
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙГидростатическое давление столба жидкости на глубине hp = ρgh ,где р — плотность жидкости.Закон АрхимедаFА = ρgV ,гдеFА— выталкивающая сила; V — объем вытесненнойжидкости.Уравнение неразрывностиSv = const ,где S — площадь поперечного сечения трубки тока;v— скорость жидкости.Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкостиρv 2+ ρgh + p = const ,2где р — статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; v — скоростьжидкости для этого же сечения; ρv 2 / 2 — динамическое давление жидкости для этого же сечения; h —высота, на которой расположено сечение; ρgh — гидростатическое давление.Для трубки тока, расположенной горизонтально,ρv 2+ p = const .2Формула Торричелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия воткрытом широком сосуде,,где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.v=2 ghСила внутреннего трения между слоями текущей жидкостиF=ηгде η — динамическая вязкость жидкости;слоев.∆v / ∆x∆vS,∆x— градиент скорости; S — площадь соприкасающихсяЧисло Рейнольдса, определяющее характер движения жидкости,Re = ρ < v > d / η ,где ρ — плотность жидкости; < v > — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерныйлинейный размер, например диаметр трубы.Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленнодвижущийся в вязкой среде шарик,F = 6πηr v ,гдеr— радиус шарика;v— его скорость.Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости.протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l,V = πR 4 ∆pt / (8ηl ) ,где R — радиус трубки;∆p— разность давлений на концах трубки.Лобовое сопротивлениеRx = Cxρv 2S,2где Cx — безразмерный коэффициент сопротивления; ρ — плотность среды;тела; S — площадь наибольшего поперечного сечения тела.v— скорость движенияПодъемная силаRy = CyгдеCyρv 2S,2— безразмерный коэффициент подъемной силы1.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
